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13.4 课题学习 最短路径问题 学案
（一）学习目标：
1.复习基本事实: 两点之间线段最短和垂线段最短;
2.掌握利用轴对称图形的特点构造对应点，解决最短路径问题;
3.经历探索最短路径问题的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,体验解决实际问题的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：掌握利用轴对 称图形的特点构造对应点;熟知并熟练运用两种数学模型,解决最短路径问题
学习难点：将实际问题抽象为数学问题，利用数学模型解决问题;锻炼学生掌握数形结合的数学思想方法，将数学知识与实际生活相联系
阅读课本，识记知识：
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的交点，如图所示。
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的对称点A＇，则点C是直线l与A＇B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B＇，则点C是直线l与直线AB＇的交点，如图所示。
【例1】 如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键．
依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：如图，
画出点关于的对称点，则：
连接，交直线于点，
，
此时，最小，
故选：．
【例2】 某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称最短路径的作图方法即可求解．
【详解】解：根据题意，作点关于的对称点，连接与交于点，即点的位置即为所求水站的位置，
故选：．
【点睛】本题主要考查对称轴最短路径的作图方法，掌握轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
选择题
1．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
2．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：
则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
3．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10．
【详解】解：连接，．
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值为．
故选：C
4．如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题，解答关键找到当的周长最小时，P点的位置．连接，根据等边三角形的性质得到垂直平分，进而得到当点B、P、E共线时的周长最小，即可得到P点的位置为等边三角形高线的交点．
【详解】解：连接，
∵在等边中，D是的中点，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴的周长为，
∵E是的中点，
∴当点B、P、E共线时，的周长最小，此时，
∵三角形的三条高线交于一点，且点P在线段上，
∴P点的位置在在三条高的交点处，
故选：D
5．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果．
【详解】解：连接，
∵l垂直平分，
，
，
的最小值是，值为7，
故选：C．
6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ）
A．78 B．39 C．42 D．30
【答案】D
【详解】如图，连接AD，交EF于点M．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为A，AM=CM，∴此时△CDM的周长最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．
7．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示，
则
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
8．如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小．
【详解】解：∵垂直平分，
∴点B，C关于对称．
∴当点P和点D重合时，的值最小．
此时，
∵，
周长的最小值是，
故选：C．
9．、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（ ）
A．点处 B．三条中线的交点处
C．点处 D．和的角平分线的交点处
【答案】B
【分析】本题考查了数学模型“费马点”，“费马点”是指三角形内部某一点到三个顶点之间的距离之和最短．当三角形的三个角都小于时，“费马点”在三角形的内部，同时“费马点”到两个顶点之间的夹角都是，当有个角大于等于时，“费马点”就是该角的顶点；但当且仅当三角形是等边三角形时，“费马点”和三角形的内角重合，而三角形的内心是三条角平线的交点．根据“费马点”的定义并结合题意即可得到答案．
【详解】解：∵图中为锐角三角形，且不是等边三角形，
∴A、C、D都不符合题意．
故选：B．
如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作，使，连接，
∵，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
连接交于，
在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，
∵，
，
在和中，
，
，
，
过点作于，
，
，
的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
填空题
11．如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意过点作于点,交于点,过点作于点,则即为的最小值,再根据三角形面积公式求出的长,即为的最小值．
【详解】解：过点作于点,交于点,过点作于点,
,
∵平分,,,
∴,
∴的最小值,
∵三角形的面积是,,
∴,即,解得:,
∴则的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题,角平分线性质,垂线段最短,三角形面积公式．
12．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题．
作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．
【详解】如图，作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．
由轴对称可得：，，，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：
13．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，
是、的对称轴，
即是线段的垂直平分线，
，
的最小值即为的最小值，即的最小值，
当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长，
在中，，，，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置．
14．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力．
【详解】解；如图，
因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关．
故答案为：①③．
15．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的轴对称性和将军饮马模型．
根据等腰三角形的轴对称性可知，C点与A点关于对称，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值．
熟练掌握将军饮马模型和“垂线段最短”是解题的关键．
【详解】
如图，连接，
∵在中，，平分，
，且 ，
是等腰三角形的对称轴，且C点与A点关于对称，
，
．
如图，当三点共线且时， ，
此时最小，即的值最小．
，
，
解得，
的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中画出关于x轴对称的；
(2)在y轴上画出点P，使得的值最小（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质得到，，作图即可．
（2）取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，即可得出答案．
【详解】（1）解：与关于x轴对称，
，，
如图，即为所求；
（2）解：如图，取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
17．按要求画图．
(1)①如图①由点A到河边l的最短路线的依据是________________．
②如果从点A经过点B再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图②，内有一点P．过点P作交于点C，交于点D．
【答案】(1)①垂线段最短 ②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据“点到直线的距离，垂线段最短”即可得到答案；②先连接，再过点B作直线l的垂线段，即为所求；
（2）利用平移的作法作出两条已知射线的平行线即可．
【详解】（1）解：①由点A到河边l的最短路线的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
②如图，即为所求作：
（2）解：如图，、即为所求作：
18．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)的面积为______；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析，
【分析】本题考查了作图——轴对称图形、三角形面积：
（1）利用割补法即可求解；
（2）根据轴对称图形的性质作出轴对称图形即可求解；
（3）作点关于x轴对称的点，连接，交x轴于，连接，根据轴对称图形的性质可得，则此时值最小，进而可求解；
熟练掌握轴对称图形的性质及割补法求图形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）根据轴对称图形的性质得：
如图所示，即为所求．
（3）作点关于x轴对称的点，连接，交x轴于，连接，
，
，
则此时值最小，
如图所示，点P即为所求，坐标为．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.复习基本事实: 两点之间线段最短和垂线段最短;
2.掌握利用轴对称图形的特点构造对应点，解决最短路径问题;
3.经历探索最短路径问题的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,体验解决实际问题的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：掌握利用轴对 称图形的特点构造对应点;熟知并熟练运用两种数学模型,解决最短路径问题
学习难点：将实际问题抽象为数学问题，利用数学模型解决问题;锻炼学生掌握数形结合的数学思想方法，将数学知识与实际生活相联系
阅读课本，识记知识：
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的交点，如图所示。
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
点A，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的对称点A＇，则点C是直线l与A＇B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B＇，则点C是直线l与直线AB＇的交点，如图所示。
【例1】 如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键．
依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：如图，
画出点关于的对称点，则：
连接，交直线于点，
，
此时，最小，
故选：．
【例2】 某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称最短路径的作图方法即可求解．
【详解】解：根据题意，作点关于的对称点，连接与交于点，即点的位置即为所求水站的位置，
故选：．
【点睛】本题主要考查对称轴最短路径的作图方法，掌握轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
选择题
1．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
3．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，在等边中，D，E分别是，的中点，且点P是线段上的一个动点，当的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
5．如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ）
A．78 B．39 C．42 D．30
7．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
9．、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（ ）
A．点处 B．三条中线的交点处
C．点处 D．和的角平分线的交点处
如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ．
12．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度．
13．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．
14．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ．
15．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中画出关于x轴对称的；
(2)在y轴上画出点P，使得的值最小（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
17．按要求画图．
(1)①如图①由点A到河边l的最短路线的依据是________________．
②如果从点A经过点B再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线．
(2)如图②，内有一点P．过点P作交于点C，交于点D．
18．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)的面积为______；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹）
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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