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14.1.4 整式的乘法 学案
（一）学习目标：
1.探究并掌握多项式除以单项式法则;会用多项式除以单项式法则计算。
2.体会数学的应用价值，培养数学思维.
3.利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则，掌握整式除法的运算.
（二）学习重难点：
学习重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用
学习难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用
阅读课本，识记知识：
1.单项式乘单项式
（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数幂：同底数幂相乘；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（3）知识拓展：①应先确定积的符号；②注意按运算顺序进行；③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。
2.单项式乘多项式：
（1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
；
（2）知识拓展：单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律，先将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以以此来检验是否漏乘。
3.多项式乘多项式：
（1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：；
（2）知识拓展:①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；③多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意先确定积中各项的符号；④相乘后，若有同类项应该合并。
【例1】 在下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
利用同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，分析每一个选项，只有符合题意，由此选出答案．
【详解】解：、，本选项不正确，故不符合题意；
、，本选项正确，故符合题意；
、与不属于同类项，不能合并，本选项不正确，故不符合题意；
、，本选项不正确，故不符合题意，
故选：．
【例2】 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意积的乘方和幂的乘方指数是相乘，同底数幂乘除法指数是相加减．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
选择题
1．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是令含x的系数为零．
首先根据多项式乘多项式的法则化简，然后根据题意得到，即可求出答案．
【详解】解∶，
由题意可知：，
∴，
故选∶B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟记相关运算法则逐项验证是解决问题的关键．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，对各选项计算求解，然后判断即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
，B错误，故不符合要求；
，C正确，故符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方．熟练掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方是解题的关键．
4．在等式（______）中，括号内的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，根据乘法和除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可．
【详解】解：
，
故选C．
5．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，积的乘方指数是相乘．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
7．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
8．根据流程图中的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了流程图的计算，理解运算流程是解题关键．把代入程序中计算，判断结果与0的大小，由此可确定y的值．
【详解】解：当时，
，
当时，
，
即．
故选：C．
9．下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
填空题
11．如果，那么 ．
【答案】2
【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方．同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘．由此列出关于k的一元一次方程，即可求出k的值．
【详解】解：，
，
解得，
故答案为：2．
12．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为 （请用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查根据图形列代数式，涉及矩形面积、整式混合运算等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，如图所示：
绿化带的面积为
，
故答案为：．
13．若，其中为常数，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，关于轴、轴对称的点的坐标等知识点，能求出、的值是解此题的关键．先根据多项式乘多项式进行化简，再合并同类项，求出、的值，再求出点的坐标，再求出答案即可．
【详解】解：且，
，，
点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
14．已知，则= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，先逆用幂的乘方，逆用同底数幂相除法则化简，再代入计算．
【详解】．
∵，，
∴原式．
15．已知，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算．根据同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
三、解答题
16．计算
(1)计算；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算乘方，负整数幂，0指数幂，再计算加减即可得出答案；
（2）直接利用多项式除以单项式化简，再合并同类项得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．
(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积；
（2）当，时，代入（1）中代数式计算即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
；
（2）当，时，原式．
18．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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14.1.4 整式的乘法 学案
（一）学习目标：
1.探究并掌握多项式除以单项式法则;会用多项式除以单项式法则计算。
2.体会数学的应用价值，培养数学思维.
3.利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则，掌握整式除法的运算.
（二）学习重难点：
学习重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用
学习难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用
阅读课本，识记知识：
1.单项式乘单项式
（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数幂：同底数幂相乘；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（3）知识拓展：①应先确定积的符号；②注意按运算顺序进行；③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。
2.单项式乘多项式：
（1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
；
（2）知识拓展：单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律，先将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以以此来检验是否漏乘。
3.多项式乘多项式：
（1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：；
（2）知识拓展:①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；③多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意先确定积中各项的符号；④相乘后，若有同类项应该合并。
【例1】 在下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
利用同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，分析每一个选项，只有符合题意，由此选出答案．
【详解】解：、，本选项不正确，故不符合题意；
、，本选项正确，故符合题意；
、与不属于同类项，不能合并，本选项不正确，故不符合题意；
、，本选项不正确，故不符合题意，
故选：．
【例2】 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意积的乘方和幂的乘方指数是相乘，同底数幂乘除法指数是相加减．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
选择题
1．若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在等式（______）中，括号内的代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．根据流程图中的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．
9．下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如果，那么 ．
12．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为 （请用含的式子表示）．
13．若，其中为常数，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
14．已知，则= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相除，先逆用幂的乘方，逆用同底数幂相除法则化简，再代入计算．
【详解】．
∵，，
∴原式．
15．已知，，则的值是 ．
三、解答题
16．计算
(1)计算；
(2)
17．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．
(1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积；
(2)当，时，求阴影部分的面积．
18．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）计算：．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
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