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14.2.2 完全平方公式 学案
（一）学习目标：
1.理解完全平方公式，能运用公式进行计算;
2.在探索完全平方公式的过程中，体验类比学习，感悟从具体到抽象、-般到特 殊地研究问
题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想;
3.掌握添括号法则.
（二）学习重难点：
学习重点：完全平方公式
学习难点：两数差的完全平方公式的几何图形推导方法，学生不容易理解;括号前面是负号
的添括号法则
阅读课本，识记知识：
（1）符号表述：两数和的完全平方公式
两数差的完全平方公式
（2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
（3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
3.添括号法则：
（1）法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
（2）字母表示：。
【例1】 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂的乘法运算、完全平方和公式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，根据相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【例2】 已知是完全平方式，为常数，则的值为( )
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
选择题
1．用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查完全平方和公式的几何意义，根据图形，结合选项即可得到答案，数形结合，熟记相关代数公式是解决问题的关键．
【详解】解：由图可知，四个图形拼成了正方形，他们面积相等，则
，
故选：B．
2．设是实数，定义一种新运算，下面有四个推断：
① ②
③ ④，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式，根据新运算规则结合完全平方公式，对选项逐个进行判断求解即可．
【详解】解：，，故①正确；
，，故②错误；
，，故③正确；
，，故④错误；
故选：D．
3．若，，则的值是（ ）
A．5 B．21 C．29 D．85
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．把，两边同时平方，利用完全平方公式展开后代入相关数值即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
，
由得：，
∴．
故选：C．
4．下列各运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除）法则，幂的乘方，完全平方公式，根据运算法则计算并判断．
【详解】因为，所以A不正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D不正确．
故选：B．
5．已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
又∵，即，
∴，
故选：D．
6．若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．将原式化为，再根据完全平方公式解答．
【详解】解：原式可化为，
可见当或时，
原式可化为或，
故选：A．
7．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．5 B．5或 C．10 D．10或
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：．利用乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，图②的面积可以整体表示为，也可将各部分求和表示为由此可得此题结果．
【详解】解：用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为：和，
可得，
故选：B．
9．若是完全平方式，则c等于（ ）
A．64 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
故选：A．
10．已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（ ）平方厘米
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求圆的面积，完全平方公式，熟练掌握圆的面积公式，完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：D．
填空题
11．当时，代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由可得：，
原式，
故答案为：9．
12．如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ．
【答案】
【分析】本题考查几何背景下的乘法公式，观察正方形不难得出：大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积－小正方形的面积＝个小长方形的面积＝长为宽为的长方形的面积，据此即可得出答案．解答此题的关键是仔细观察图形，准确地找出正方形的边长和图形之间的面积关系．
【详解】解：∵图中大正方形的边长为，小正方形的边长为，
而图是一个长为宽为的长方形，
又∵用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，
∴．
故答案为：．
13．已知，则的值是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为16．
故答案为：16．
14．如果（其中a为常数）成立，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
解得：；
故答案为．
15．图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，设每个白色长方形的长为a，宽为b，根据图①得出①，由图②可得，联立①②求出即可．关键是根据图形之间的面积关系进行解答．
【详解】解：设每个白色长方形的长为a，宽为b，
由图①可得，
即①，
由图②可得，
即②，
由①②得，
∴，
即每个白色长方形的面积为8．
故答案为：8．
三、解答题
16．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．已知，求代数式的值．
【答案】21
【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘多项式，完全平方公式等知识，先根据单项式乘多项式，完全平方公式化简，然后用整体代入法求解即可．
【详解】解：原式
．
∵，
∴，
∴
，
∴原式．
18．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：
已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：
方法一 方法二
，，，，． ，，，，．
【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)3
(2)12
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值．
【详解】（1），
，
化简，得：，
将代入得，
解得：．
（2），
，
化简，得，
即，
则
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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14.2.2 完全平方公式 学案
（一）学习目标：
1.理解完全平方公式，能运用公式进行计算;
2.在探索完全平方公式的过程中，体验类比学习，感悟从具体到抽象、-般到特 殊地研究问
题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想;
3.掌握添括号法则.
（二）学习重难点：
学习重点：完全平方公式
学习难点：两数差的完全平方公式的几何图形推导方法，学生不容易理解;括号前面是负号
的添括号法则
阅读课本，识记知识：
（1）符号表述：两数和的完全平方公式
两数差的完全平方公式
（2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
（3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
3.添括号法则：
（1）法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
（2）字母表示：。
【例1】 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂的乘法运算、完全平方和公式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，根据相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【例2】 已知是完全平方式，为常数，则的值为( )
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
选择题
1．用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设是实数，定义一种新运算，下面有四个推断：
① ②
③ ④，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
3．若，，则的值是（ ）
A．5 B．21 C．29 D．85
4．下列各运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
6．若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．5 B．5或 C．10 D．10或
8．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．若是完全平方式，则c等于（ ）
A．64 B． C． D．
10．已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（ ）平方厘米
A．1 B． C． D．
填空题
11．当时，代数式的值为 ．
12．如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ．
13．已知，则的值是 ．
14．如果（其中a为常数）成立，那么 ．
15．图①是由4个白色的长方形和1个灰色的正方形构成的正方形，图②是由5个白色的长方形（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形．已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为 ．
三、解答题
16．先化简再求值：，其中．
17．已知，求代数式的值．
18．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：
已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：
方法一 方法二
，，，，． ，，，，．
【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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达标测试
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