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14.3.1 提公因式法 学案
（一）学习目标：
1.了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.
2.理解公因式的意义，会用提公因式法进行因式分解.
3.在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界。
（二）学习重难点：
学习重点：公因式的意义，提公因式法分解因式
学习难点：准确找到公因式，正确分解因式
阅读课本，识记知识：
1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。
3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。
4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）
【例1】 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选D．
【例2】 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
选择题
1．下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
B、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意；
C、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．因式分解和整式的乘法是互为逆运算，要注意区分；
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
B、原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
D、原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C
3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断．
【详解】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合；
B、符合因式分解的概念，故本选项符合；
C、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合；
D、该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合．
故选：B．
4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的意义逐一判断即可．
【详解】解：A、，为乘法运算，所以A选项不正确；
B、，为乘法运算，所以B选项不正确；
C、，是因式分解，所以C选项正确；
D、，右边不是整式的积的形式，所以D选项不正确．
故选：C．
5．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，从左到右的变形属于因式分解；
C、，故本选项不符合题意；
D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C、是因式分解，故选项正确，符合题意；
D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．观察等式：；；；……已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分解因式，单项式乘以多项式，先根据题意得到规律，再把所求式子提取公因式，进而化简得到，再由，可得原式．
【详解】解：；
；
；
……，
以此类推，
由题知，
，
∵，
∴原式
，
又∵，
∴原式．
故选：D．
8．若多项式可分解为，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查因式分解以及多项式乘以多项式法则．根据多项式乘以多项式法则把展开，再求出a，b的值，进而求解．
【详解】解：∵可分解为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐项判断即可；掌握把一个多项式分解为几个多项式的乘积的形式叫做因式分解成为解题的关键．
【详解】解：A. ，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B. 并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意；
C. 属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D. 符合因式分解的定义，符合题意．
故选D．
10．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法计算，故不符合题意；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
D、左右两边不相等，故不符合题意；
故选：B．
填空题
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式法进行因式分解．
【详解】解：原式；
故答案为．
13．分解因式: ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接提公因式即可．
【详解】解：；
故答案为：．
14．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：
15．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，提取公因式即可，熟练的确定公因式是解本题的关键.
【详解】解：，
故答案为：
三、解答题
16．已知，，求代数式的值．
【答案】21
【分析】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先利用提取公因式法将分解因式，再把，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
．
17．解答：（1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题主要考查了完全平方公式、单项式乘多项式和分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的化简求值，提取公因式法，掌握提取公因式法是解题的关键．
观察式子，先提取公因式，再化简，最后代入字母的值求解即可．
【详解】解：
，
，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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14.3.1 提公因式法 学案
（一）学习目标：
1.了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.
2.理解公因式的意义，会用提公因式法进行因式分解.
3.在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界。
（二）学习重难点：
学习重点：公因式的意义，提公因式法分解因式
学习难点：准确找到公因式，正确分解因式
阅读课本，识记知识：
1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。
3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。
4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）
【例1】 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选D．
【例2】 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
选择题
1．下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．观察等式：；；；……已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ）
A． B． C． D．
8．若多项式可分解为，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11．因式分解： ．
12．分解因式： ．
13．分解因式: ．
14．分解因式： ．
15．分解因式： ．
三、解答题
16．已知，，求代数式的值．
17．解答：（1）计算：；
（2）分解因式：．
18．先化简，再求值：，其中．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
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