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14.3.2 公式法 学案
（一）学习目标：
1. 掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解;
2.理解运用平方差公式分解因式的方法,掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用;
3.经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性.
（二）学习重难点：
学习重点：利用平方差公式分解因式
学习难点：提取公因式和平方差公式结合进行因式分解
阅读课本，识记知识：
1.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式）
2.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。
【鲍1】 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故选：B．
【例2】 多项式与多项式的公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴公因式为，
故选：A．
选择题
1．已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式是解此题的关键．
根据平方差公式可将原式化为，然后将已知条件代入求值即可．
【详解】解：
，，
原式，
．
故选：D．
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解．
【详解】解：∵
∴，则，
∴，
故选：A．
3．已知，，则的值为（ ）
A．57 B．120 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解得到，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选D．
4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式左右不相等，故本选项不符合题意；
C、等式左右不相等，故本选项不符合题意；
D、等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右变形因式分解出错，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
6．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
，，
三角形的三条边为a，b，c，
，
，
又这个三角形的最大边为c，
故选：C．
7．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
按照因式分解的方法，分析每一个选项，得到只有选项符合题意，由此选出答案．
【详解】、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、无法利用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意，
故选：．
8．下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．多项式与多项式的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是公因式的定义，根据完全平方公式因式分解，把多项式分别进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
∴多项式与多项式的公因式是
故选：A．
10．已知整式则下列说法中正确的有（ ）个．
①存在的值，使得；
②若，则；
③若则；
④若为常数，若关于的多项式不含常数项，则有最小值为．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式，多项式乘以多项式不含问题，因式分解的应用等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
①由得，代入验证即可；
②把代入求解即可；
③先根据求出x的值，进而求出A和B的值，然后计算即可；
④先根据多项式不含常数项求出m的值，然后利用完全平方公式变形即可求出最小值．
【详解】解：①∵，
∴，
∵
∴，
∴不存在的值，使得，故①不正确；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，故②不正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
当时，，
∴；
当时，，
∴．故③正确；
④∵，
∴
，
∵多项式不含常数项，
∴，
∴．
∴
，
∵，
∴有最小值为．故④不正确．
故选：B．
填空题
11．分解因式： ．（其中且为整数）
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，直接根据提公因式和平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
12．已知，，则= ．
【答案】
【分析】此题主要考查代数式的值，先把因式分解为，再整体代入求值即可.
【详解】解：
故答案为：.
13．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】/
【分析】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，先提取公因式x，再利用完全平方公式进行分解因式即可．正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
【答案】②④
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
【详解】解：①，不能分解；
②；
③，不能分解；
④，
则能用公式法分解因式的是②④．
故答案为：②④．
15．一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“翻折数”，将“翻折数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“翻折数”记为，记，例如：当时，，则．若“翻折数”，满足能被5整除，则A的最小值是 ；在能被5整除情况下，对于“翻折数”有成立，且k为正整数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键．根据题意可得，由于能被整除, 则是的倍数，讨论即可得的值； 同理可得因为可得，分类讨论即可．
【详解】解：，
则，
∴
，
∵能被整除,
∴是的倍数且，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为；
又∵，
∴，
∴同上，，
∴，
，
∴，即，
又∵，
，
又∵为正整数，
∴即，
∴或，
当时, 则可取，对应的数为，这时；
当时，则可取，对应的数为，这时；
∴的最大值是，
故答案为:； ．
三、解答题
16．计算
(1)
(2)因式分解：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式乘法和因式分解，涉及单项式乘以单项式、提公因式法因式分解和公式法因式分解等知识，熟练掌握整式乘法运算法则，综合运用提公因式及公式法因式分解是解决问题的关键．
（1）先利用积的乘方运算，再由单项式乘以单项式的运算法则计算即可得到答案；
（2）先提公因式因式分解，再由完全平方和公式因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．已知实数满足，求的值．（n是大于1的整数）
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，非负数的性质，根据，推出，进而根据非负数的性质得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键．
（1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
（2）
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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14.3.2 公式法 学案
（一）学习目标：
1. 掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解;
2.理解运用平方差公式分解因式的方法,掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用;
3.经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关联性和完整性.
（二）学习重难点：
学习重点：利用平方差公式分解因式
学习难点：提取公因式和平方差公式结合进行因式分解
阅读课本，识记知识：
1.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式）
2.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。
【鲍1】 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故选：B．
【例2】 多项式与多项式的公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴公因式为，
故选：A．
选择题
1．已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
2．如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
3．已知，，则的值为（ ）
A．57 B．120 C． D．
4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A． B．
C． D．
6．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
9．多项式与多项式的公因式是( )
A． B． C． D．
10．已知整式则下列说法中正确的有（ ）个．
①存在的值，使得；
②若，则；
③若则；
④若为常数，若关于的多项式不含常数项，则有最小值为．
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
11．分解因式： ．（其中且为整数）
12．已知，，则= ．
13．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）分解因式： ．
14．下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
15．一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“翻折数”，将“翻折数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“翻折数”记为，记，例如：当时，，则．若“翻折数”，满足能被5整除，则A的最小值是 ；在能被5整除情况下，对于“翻折数”有成立，且k为正整数，则的最大值是 ．
三、解答题
16．计算
(1)
(2)因式分解：
17．已知实数满足，求的值．（n是大于1的整数）
18．（2024上·上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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达标测试
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