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15.1.1 从分数到分式 学案
（一）学习目标：
1.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值; 理解当分母不为零时分式才有意义,在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围，会确定分式的值为零的条件.
2.经历与分数类比学习分式的过程，养成缜密的思维习惯,形成类比思想，体验数学的价值.
3.通过类比思考,揭示分式有意义的条件,在实际操练中掌握分式有意义的条件，体验解题成功带来的愉悦感.
（二）学习重难点：
学习重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件
学习难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件
阅读课本，识记知识：
1.概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。
2.分式的三个要素：
（1）形如的式子；
（2）A，B是整式；
（3）分母B中含有字母。
3.分式有意义的条件：分母不等于0。
4.分式无意义的条件：分母等于0.
5.分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
【例1】 若分式的值为0，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．据此求解即可．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
解得：且，
，
故选：C．
【例2】 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．根据分式的定义“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解．
【详解】解：甲、是分式；
乙、是分式；
丙、是分式；
丁、，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、乙、丙，共3个，
故选：B．
选择题
1．下列各式，，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得．
【详解】解：是多项式，属于整式，
和都是单项式，属于整式，
和都是分式，
所以分式共有2个，
故选：B．
2．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
故选：D．
3．在下列各式，，，，中，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐个判断即可．
本题主要考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解决问题的关键，分母中如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意不是字母，是常数圆周率．
【详解】根据分式定义，所给代数式中是分式的有式，，，共3个．
故选：B．
4．下列判断中错误的是（ ）
A．与是同类项 B．是三次三项式
C．单项式的系数是 D．是分式
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式以及分式的有关概念．根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念，分式的定义，分析判断．
【详解】A. 与是同类项，故该选项正确，不符合题意；
B. 是三次三项式，故该选项正确，不符合题意；
C. 单项式的系数是，故该选项正确，不符合题意；
D. 是整式，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
5．分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解此题的关键．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
【详解】要使分式有意义，必须，
解得：
故选：D
6．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得．
【详解】解：∵分式有意义，
，
解得，
故选：B．
7．已知 ， 则 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】根据，，两边都除以a得到，即，两边平方后整理得到．
本题主要考查了等式，分式，完全平方公式．熟练掌握等式的基本性质，分式有意义的条件，完全平方公式，是解决问题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：B．
8．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：B．
9．若是分式，则可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题主要查了分时，根据形如，其中中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：是分式，则中含有字母，
∵四个选项中，只有D选项是字母；
故选D．
10.下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，．
本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键．
【详解】①∵，
∴，
∴不论a为何值都有意义，
故此结论正确；
②当时，，此时分式无意义，
故此结论不正确；
③若的值为负，
∵，
∴，
∴，
故此结论正确；
④∵有意义，
∴有意义，
∴，
解得，且，
故此结论不正确．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
填空题
11．如果分式的值为0，那么的值为是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键．
根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
，
故答案为：2．
12．如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可．
【详解】解：∵分式的值为正整数，
∴或或或，
∴或或或，
∴所有满足的整数x的值的和为，
故答案为：．
13．从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则称为分式，根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式．
【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可．
故答案为：（答案不唯一）．
14．分式有意义，字母x满足的条件为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
15．对于分式来说，当时，分式无意义，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义分条件计算即可．
【详解】解：当分式无意义时，，而此时．
所以．
故答案为：．
三、解答题
16．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？
【答案】整式：；分式：
【分析】形如（f，g是整式，且g中含有字母，）的式子叫做分式．分母中含有字母，但表示一个常数，故不是分式；和显然是整式；分母中不含字母，故不是分式．
【解】整式：．
分式：．
17．求下列条件下分式的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】分别把代入分式中，求出分式的值．
【解】（1）当时，，
（2）当时，．
18．（2023上·广东江门·八年级校联考阶段练习）观察下列式子：，，，……
(1)请你写出第五个式子：____________
(2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。
(3)利用上面知识解决下列问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可；
（2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可；
（3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简．
本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键．
【详解】（1）∵第一个式子是，，
第二个式子是，，
第三个式子是，，
∴第四个式子是， ，
第五个式子是，；
故答案为：
（2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是，
，
证明：
∵左边，
右边
∴左边=右边，
∴原式成立；
故答案为：；
（3）
（L）．
故倒n次倒出的总水量有L．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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15.1.1 从分数到分式 学案
（一）学习目标：
1.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值; 理解当分母不为零时分式才有意义,在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围，会确定分式的值为零的条件.
2.经历与分数类比学习分式的过程，养成缜密的思维习惯,形成类比思想，体验数学的价值.
3.通过类比思考,揭示分式有意义的条件,在实际操练中掌握分式有意义的条件，体验解题成功带来的愉悦感.
（二）学习重难点：
学习重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件
学习难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件
阅读课本，识记知识：
1.概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。
2.分式的三个要素：
（1）形如的式子；
（2）A，B是整式；
（3）分母B中含有字母。
3.分式有意义的条件：分母不等于0。
4.分式无意义的条件：分母等于0.
5.分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
【例1】 若分式的值为0，则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．据此求解即可．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
解得：且，
，
故选：C．
【例2】 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．根据分式的定义“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解．
【详解】解：甲、是分式；
乙、是分式；
丙、是分式；
丁、，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、乙、丙，共3个，
故选：B．
选择题
1．下列各式，，，，，其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各式，，，，中，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列判断中错误的是（ ）
A．与是同类项 B．是三次三项式
C．单项式的系数是 D．是分式
5．分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
7．已知 ， 则 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
8．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若是分式，则可以是（ ）
A． B．2023 C．0 D．
10.下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题
11．如果分式的值为0，那么的值为是 ．
12．如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ．
13．从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ．
14．分式有意义，字母x满足的条件为 ．
15．对于分式来说，当时，分式无意义，则的值为 ．
三、解答题
16．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？
17．求下列条件下分式的值
(1)
(2)
18．（2023上·广东江门·八年级校联考阶段练习）观察下列式子：，，，……
(1)请你写出第五个式子：____________
(2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。
(3)利用上面知识解决下列问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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