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15.1.2 分式的基本性质 学案
（一）学习目标：
1.理解分式的基本性质;
2.能运用分式的基本性质进行等值变形;
3.理解约分的概念和理论根据，会用分式的基本性质将分式约分,并能准确判断最简分式;
4.体会类比思想，通过分式约分的过程，感受复杂与简洁，体验数学的简洁美。
（二）学习重难点：
学习重点：理解并掌握分式的基本性质，掌握约分
学习难点：灵活应用分式的基本性质将分式约分
阅读课本，识记知识：
一、分式的基本性质
1.分式的意义：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2.用式子表示：，其中A，B，C均为整式。
二、分式的约分、最简分式
1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫作分式的约分。
2.分式约分的依据：分式的基本性质。
3.约分的方法：
（1）先确定分式的分子、分母的公因式，当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据确定公因式的方法确定公因式；
（2）根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式；
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
4.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式。
三、分式的通分、最简公分母
1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依据：分式的基本性质。
3.最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母。
4.确定最简公分母的方法：
（1）取各分母的系数的最小公倍数；
（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；
（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）所得系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
5.约分与通分的联系与区别
（1）联系：约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
（2）区别：约分是针对一个分式来说的，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式。
【例1】 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，依此判断即可．
【详解】解：A.、，缺条件，从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
B、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
C、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形正确，故本选项符合题意．
故选择：D．
【例2】 下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了约分，根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意，
故选：C．
选择题
1．如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍
C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；
先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可．
【详解】解：将和都扩大为原来的2倍，得，
故分式的值缩小为原来的，
故选：A．
2．使得等式成立的m的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可．
【详解】解：使得等式成立的的取值范围为．
故选：D．
3．下列分式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了最简分式的概念，根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
【详解】解：A. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是最简分式，故该选项正确，符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．写出一个与分式相等的分式，下面正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于零的数或式子，分式的值不变解答．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
6．若将分式中的x与y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴这个代数式的值不变．
故选B．
7．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简公分母的概念（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）．解题的关键是根据因式分解、最简公分母的概念解答即可．
【详解】解：，
∴与的最简公分母是．
故选：C．
8．下列代数式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解．
【详解】解：A、，所以不是最简分式，故不符合题意；
B、是最简分式，故符合题意；
C、，所以不是最简分式，故不符合题意；
D、，所以不是最简分式，故不符合题意；
故选B．
9．下列分式的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：．当时，不成立，故本选项不符合题意；
．∵，，
∴，故本选项不符合题意；
．∵，
∴，故本选项符合题意；
．∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．根据分式的性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，分子、分母同时提取负号，再约分即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
填空题
11．，， 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简公分母的概念，先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的定义即可解答．掌握最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）的定义成为解题的关键
【详解】解：∵，，，
∴它们的最简公分母是．
故答案为：．
12．根据分式的基本性质填空：
（1），横线处应填：
（2），横线处应填：
（3），横线处应填：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因为的分母乘就能化为ab，所以根据分式的基本性质，分子也需乘，这样所得分式才与原分式相等．
（2）因为的分子乘xy就能化为，所以根据分式的基本性质，分母也需乘xy，这样所得分式才与原分式相等．
（3）因为的分母除以就能化为，所以根据分式的基本性质，分子也需除以，这样所得分式才与原分式相等．
【解】（1） （2） （3）
13．分式化简后的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查分数的性质，先将分子分母因式分解，然后约分，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 （填序号）．
①；②；③；④．
【答案】②
【解析】略
15．当时， ．
【答案】
【解析】略
三、解答题
16．计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分数四则混合运算．
（1）先计算括号内容,将其结果乘以即可得到本题答案;
（2）先计算小括号内的,再算中括号内的,最后将出发转化为乘法即可得到本题答案．
【详解】（1）解:,
,
,
,
（2）解:,
,
,
,
,
,
,
17．（1）约分：；
（2）通分：，．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可．
【详解】解（1）
；
（2）∵，，
∴，．
18．已知，代数式：，，．
(1)在A，B，C中任选一个代数式因式分解；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)；；（选择一个进行分解因式）
(2)选择A、B，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了因式分解，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可；
（2）利用分式的基本性质性质进行化简即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：；
；
；
；
；
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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15.1.2 分式的基本性质 学案
（一）学习目标：
1.理解分式的基本性质;
2.能运用分式的基本性质进行等值变形;
3.理解约分的概念和理论根据，会用分式的基本性质将分式约分,并能准确判断最简分式;
4.体会类比思想，通过分式约分的过程，感受复杂与简洁，体验数学的简洁美。
（二）学习重难点：
学习重点：理解并掌握分式的基本性质，掌握约分
学习难点：灵活应用分式的基本性质将分式约分
阅读课本，识记知识：
一、分式的基本性质
1.分式的意义：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2.用式子表示：，其中A，B，C均为整式。
二、分式的约分、最简分式
1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫作分式的约分。
2.分式约分的依据：分式的基本性质。
3.约分的方法：
（1）先确定分式的分子、分母的公因式，当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据确定公因式的方法确定公因式；
（2）根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式；
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
4.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式。
三、分式的通分、最简公分母
1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依据：分式的基本性质。
3.最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母。
4.确定最简公分母的方法：
（1）取各分母的系数的最小公倍数；
（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；
（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）所得系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
5.约分与通分的联系与区别
（1）联系：约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
（2）区别：约分是针对一个分式来说的，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式。
【例1】 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，依此判断即可．
【详解】解：A.、，缺条件，从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
B、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
C、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形正确，故本选项符合题意．
故选择：D．
【例2】 下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了约分，根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意，
故选：C．
选择题
1．如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍
C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的
2．使得等式成立的m的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
3．下列分式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4．写出一个与分式相等的分式，下面正确的（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若将分式中的x与y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
7．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
8．下列代数式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
9．下列分式的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．根据分式的性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．，， 的最简公分母是 ．
12．根据分式的基本性质填空：
（1），横线处应填：
（2），横线处应填：
（3），横线处应填：
13．分式化简后的结果为 ．
14．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 （填序号）．
①；②；③；④．
15．当时， ．
三、解答题
16．计算:
(1)
(2)
17．（1）约分：；
（2）通分：，．
18．已知，代数式：，，．
(1)在A，B，C中任选一个代数式因式分解；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
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达标测试
自学反思
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