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15.2.2 分式的加减 学案
（一）学习目标：
1.理解和掌握分式加减法法则，并会运用法则进行同分母分式及简单的异分母分式的加减法运算。
2.经历探索分式加减运算法则的过程，通过类比分数的加减法法则，发展学生的发散思维。
3.培养学生的类比，转化思想，学会知识的迁移。
（二）学习重难点：
学习重点：运用分式的加减法法则进行计算
学习难点：简单异分母分式的加减运算
阅读课本，识记知识：
1.同分母分式相加减：
（1）法则：分母不变，把分式相加减；
（2）式子表示：；
2.异分母分式相加减：
（1）法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
（2）式子表示：
3.同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添括号；异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算；分式加减运算的结果要化为最简分式或整式。
【例1】 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的运算，数字的规律性．通过求出前面几个伴随分式，然后找出规律，利用规律进行求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
个为一个循环，
，
，
故选：C．
【例2】 已知b>a>0,下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．由b>a>0,得b-a>0,b-1不能确定符号．由不能确定符号,A错误,故A不符合题意;
B．由b>a>0,得a-b<0,b+1>0．由<0,得,B错误,故B不符合题意;
C．由b>a>0,得a+1>0．
由<0,得,故C符合题意．
D．由b>a>0,得a-b<0．由无法确定符号,D错误,故D不符合题意
选择题
1．某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式．
【详解】解：依题意，
故选：A．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
3．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
根据平均单价总钱数两次购买的斤数和求出甲、乙所购饲料的平均单价，然后作差法比较两单价的大小即可．
【详解】∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且），
∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）；
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：
∵m、n是正数，
∴时，也是正数，
∴
∴乙的购货方式更合算．
故选：B．
4．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后相加求解即可．
【详解】上坡路走的时间：，
下坡路走的时间：，
总时间为：．
故选：D．
5．中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算．直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：C．
6．如图，设，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
【详解】解：甲图中阴影部分面积为，
乙图中阴影部分面积为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴,
故选：B．
7．已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将去分母得，代入分式，约分后即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式计算的步骤，把作为一个整体代入分式是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式的约分以及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别将式子进行约分计算即可得到答案．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选D．
9．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
【详解】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
，
∴甲、乙都错，
故选：A．
10．已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，成为一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，成为二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（ ）个．
①；
②；
③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的正整数值共有6个；
④若，则满足这个条件的m有无数个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的化简．
①按照定义代入即可，②本题可以通过拆分分子得到分式除法，也可以把已知的分式进行通分，得出与定义一致的答案．③根据定义得出第三次操作后的分式，再根据②的化简方式得出是整数，即可得出答案．④根据定义得出，根据已知条件得出，从而表示出k的值，因为k，m都是整数，所以得出m是39得倍数，所以有无数个．
【详解】解：①根据定义可得：，故①正确．
②根据定义可得：，故②正确．
③根据定义可得：，
∵第三次操作后得到的分式可以化为整数，
∴是整数，
∵m为正整数，
∴可以取4，6，12，
∴m可以取1，3，9．三个正整数，故③不正确．
④根据定义可得：，
∴，
∴，
∵k，m都是整数，
∴是39的倍数，
即是39的倍数，
∴m的值可以是39，78，117……无数个，故④正确．
综上，①②④正确，
故选：C．
填空题
11．化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，先计算括号内分式的减法、同时将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12．已知，那么 ．
【答案】
【分析】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为，将所求代数式的分母变形为形式，再代入计算是解题的关键．将变形为，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入，即可得到答案．
【详解】∵，
∴，
∴
故答案为：．
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的加减．
由可得，即，代入，约分即可求解．
【详解】∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：
14．已知：，，，．请计算： ．（用含x的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
∴y的值每3次一个循环．
∵，
∴．
故答案为：．
15．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是能根据题意依次求出，，，，，及熟知（为正整数）．据此解答即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
∴，
∴（为正整数），
∴
．
故答案为：．
三、解答题
16．“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：．
（1）若“■”表示的是“＋”，求其运算结果为；
（2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，求x的值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的加法与除法运算，利用平方根的含义解方程，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）按照同分母分式的加法运算法则计算即可；
（2）先计算分式的除法运算，再建立方程，利用平方根的含义解方程即可．
【详解】解：（1）；
（2），
而，
∴，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：（1）；（2）；
17.已知，请计算的值．（用含x的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
∴y的值每3次一个循环．
∵，
∴．
故答案为：．
18．已知 ，求的值．
【答案】7
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．对已知变形为，再对进行变形求值即可．
【详解】 ，
两边同时除以 得， ，
故答案为：7
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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15.2.2 分式的加减 学案
（一）学习目标：
1.理解和掌握分式加减法法则，并会运用法则进行同分母分式及简单的异分母分式的加减法运算。
2.经历探索分式加减运算法则的过程，通过类比分数的加减法法则，发展学生的发散思维。
3.培养学生的类比，转化思想，学会知识的迁移。
（二）学习重难点：
学习重点：运用分式的加减法法则进行计算
学习难点：简单异分母分式的加减运算
阅读课本，识记知识：
1.同分母分式相加减：
（1）法则：分母不变，把分式相加减；
（2）式子表示：；
2.异分母分式相加减：
（1）法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
（2）式子表示：
3.同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添括号；异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算；分式加减运算的结果要化为最简分式或整式。
【例1】 对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的运算，数字的规律性．通过求出前面几个伴随分式，然后找出规律，利用规律进行求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
个为一个循环，
，
，
故选：C．
【例2】 已知b>a>0,下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．由b>a>0,得b-a>0,b-1不能确定符号．由不能确定符号,A错误,故A不符合题意;
B．由b>a>0,得a-b<0,b+1>0．由<0,得,B错误,故B不符合题意;
C．由b>a>0,得a+1>0．
由<0,得,故C符合题意．
D．由b>a>0,得a-b<0．由无法确定符号,D错误,故D不符合题意
选择题
1．某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定
4．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（ ）
A． B． C． D．
5．中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设，则有（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
9．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
10．已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，成为一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，成为二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（ ）个．
①；
②；
③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的正整数值共有6个；
④若，则满足这个条件的m有无数个．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题
11．化简： ．
12．已知，那么 ．
13．已知，则的值为 ．
14．已知：，，，．请计算： ．（用含x的代数式表示）
15．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，则的值为 ．
三、解答题
16．“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：．
（1）若“■”表示的是“＋”，求其运算结果为；
（2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，求x的值．
17.已知，请计算的值．（用含x的代数式表示）
18．已知 ，求的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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目标解读
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