2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.忻城县高级中学有名高一学生，名高二学生，名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取名学生进行某项调查，则下列说法正确的是( )
A. 高三每一个学生被抽到的概率最大 B. 高三每一个学生被抽到的概率最小
C. 高一每一个学生被抽到的概率最大 D. 每位学生被抽到的概率相等
3.已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为的正方形如图，则原图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.若一个圆台的两个底面半径分别为和，侧面积为，则它的体积为( )
A. B. C. D.
6.某艺术吊灯如图所示，图是其几何结构图底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上底座厚度忽略不计，若该艺术吊灯总高度为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，为的重心，满足，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B. 如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交
C. 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D. 如果一条直线上有两点到平面的距离相等且不为，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列对的个数的判断正确的是( )
A. 当，，时，有两解
B. 当，，时，有一解
C. 当，，时，有一解
D. 当，，时，有两解
11.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积不变
B. 直线与直线的所成角的取值范围为
C. 直线与平面所成角的大小不变
D. 二面角的大小不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则向量在向量上的投影向量为______用坐标表示
13.已知，，则的取值范围为______．
14.我国古代数学名著九章算术，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”如图所示，在长方体中，已知，该“阳马”的外接球的表面积______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
正方体中，，分别是，的中点．
求异面直线与所成角；
求证：平面．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ试判断的形状；
Ⅱ若，求周长的最大值．
17.本小题分
我国古代数学名著九章算术中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”如图，三棱锥，中平面，．
证明：三棱锥为鳖臑；
若为上一点，点，分别为，的中点平面与平面的交线为．
证明：直线平面；
判断与的位置关系，并证明你的结论．
18.本小题分
忻城县环境优美，准备在泮水生态公园建造一个四边形的露营基地，如图所示为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
若米，求烧烤区的面积？
考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计隔离防护栏以及观赏步道？
19.本小题分
如图，在四面体中，，平面，，点为上一点，且，连接，．
证明：；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
参考答案
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15解：连接，，
在正方体中，可得，，
所以，等于异面直线与所成的角，
所以异面直线与所成角为；
证明：取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
而，所以，
又因为平面，平面，平面，
平面，
，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
16解：Ⅰ因为，得，
可得，即，
由余弦定理得，即，
可得，所以是直角三角形；
Ⅱ由Ⅰ知，直角三角形中，，，
所以周长为，，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
17证明：因为，所以为直角三角形，
因为平面，且平面，平面，平面，
所以，，，
所以和为直角三角形，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为直角三角形，
所以三棱锥为鳖曘；
连接，因为点，分别为，的中点，所以，
且平面，平面，所以直线平面，
平行，
证明：由可得：平面，平面，平面平面，
所以．
18解：在中，由余弦定理可知，
所以，
所以平方米；
，
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
解得，
花卉观赏区的面积为
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值为，
，
当且仅当时取到等号，此时
所以修建观赏步道时应使得，．
19证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，，
因为点为上一点，且，
所以，点到平面的距离为，
因为，，所以，，
由知平面，因为平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得；
解：取的中点，连接，过作于，过作于，连接，
因为在平面中，，，所以，
由知，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
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