2023-2024学年湖南省郴州一中等校联考高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省郴州一中等校联考高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.某班同学利用课外实践课，测量，两地之间的距离，在处测得，两地之间的距离是千米，，两地之间的距离是千米，且，则，两地之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
5.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，，在线段上，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知长方体的底面是边长为的正方形，侧棱，在矩形内有一动点满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论不正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
11.已知三棱锥的所有棱长都是，，分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则( )
A. 三棱锥的体积是
B. 三棱锥内切球的半径是
C. 长度的取值范围是
D. 三棱锥外接球的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某连锁超市在，，三地的数量之比为：：，现采用分层抽样的方法抽取家该连锁超市进行调研，已知地被抽取了家，则地被抽取的数量是______．
13.若实数，则的最小值为______，此时 ______．
14.在长方形中，，，点在线段上，，沿将折起，使得，此时四棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，已知，，，．
求三棱锥的体积；
求侧面与侧面所成的二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数．
求函数的解析式；
对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且．
求角；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，为的中点．
证明：平面D.
求异面直线与所成角的余弦值．
在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存出在，说明理由．
19.本小题分
在复数域中，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定次本原单位根为，例如当时存在四个次单位根，，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，，，，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题．
直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根无需证明；
求出，并计算，由此猜想无需证明；
设所有次本原单位根在复平面内对应的点为，，，，，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：，
，，
，，平面，
平面．
又，，，
．
又，，
，
．
过点作于点，作于点，连接，
平面，平面，则平面平面，
平面平面，，面，
平面，由平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，
由，知为侧面与侧面所成的二面角的平面角，
中，，，则，
又，，
中，，则，得，
同理，
中，，
，
侧面与侧面所成的二面角的余弦值为．
16解：函数是定义在上的偶函数，
，
可得恒成立，
即，
，
在上不恒成立，
，
的解析式为；
由知，
当时，令．
不等式恒成立，等价于恒成立，
恒成立，
则，
令，
任取，
则
，
因为，，
所以，
所以为增函数，
所以当时，．
所以的取值范围为
17解：由余弦定理知，，
所以，
因为，
所以，
整理得，
所以，即，
因为，所以，即．
由知，
所以，
由正弦定理知，，
而
，
因为，所以，，
所以，
所以，
即的取值范围为．
18证明：正三棱柱中，则为等边三角形，为的中点，
所以，而平面，平面，
所以，又因为，
所以平面平面；
解：取到的中点，连接，，，
由题意可得，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
因为，
由题意可得，，
，
在中，由余弦定理可得
，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
解：由可得，过作交于，
此时，，
所以平面，而平面，
所以平面平面，
在中，由面积相等可得：
可得，而，，，
所以，
可得，
，
所以．
19解：首先需要证明：对，，，，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为．
我们不妨记作，因此全部的次单位根是．
设，，，，我们考虑到：
如果和的最大公约数，则，从而不是本原单位根．
若不是本原单位根，设，，则由可知是的倍数，
设为和的最大公约数，则是的倍数，而和没有大于的公约数，故是的倍数，
所以由可知，得．
这就得到结论：对，，，，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为．
下面回到原题，考虑．
此时，全部的次单位根是，依次列出即是：
，，，，，，，．
根据上面的结论，其中是本原单位根的是，即，，，．
对，我们考虑全体次单位根．
每个，，，均可表示为，其中是正奇数，．
则，所以是次单位根．
又因为，且和的最大公约数为，故是次本原单位根．
而时，是次本原单位根，故每个次单位根都对应一个次本原单位根，这里．
另一方面，我们根据刚才证明的结论：，对于每个和每个次本原单位根都对应着一个次单位根．
通过上述我们就可以知道全体次单位根事实上遍历了所有次本原单位根，其中．
所以．
我们就足以直接推出，并且
，．
根据第小问得到的结论，全部的次本原单位根是．
故．
再根据的定义，知．
根据第小问的结论我们可以得到．
故．
在的条件下，有，从而在复平面上对应的点可在圆上自由转动．
而代表和在复平面上代表的点之间的距离，也就是圆上一点到点的距离，
从而根据几何意义可知最小距离是，最大距离是．
所以题目求的取值范围是．
第1页，共1页