2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足是虚数单位，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.为了估计某高中的在校学生人数，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，其中高一年级被抽取人，高三年级被抽取人若高二年级有人，则这所学校共约有高中学生( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的( )
A. 四分位数 B. 中位数 C. 众数 D. 均值
4.从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是( )
A. B. C. D.
5.有名学生，其中名男生，名女生，从中任选名学生，恰好是名男生或名女生的概率是( )
A. B. C. D.
6.中，，，的对边分别为，，若，且，则为( )
A. B. C. D.
7.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上含边界一动点，满足，则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若平面，垂直同一个平面，则
B. 若且，则
C. 若平面，不平行，则在平面内不存在平行于平面的直线
D. 若，且，则与所成的角和与所成的角相等
10.一个盒子里装有个白球、个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出个设事件第一次取出白球，事件第二次取出黑球，事件两次至少取出个白球，事件两次至少取出个黑球，事件两次取出的都是黑球，则下列关系正确的是( )
A. 与相互独立 B. 与互斥 C. 与互斥 D. 与互为对立
11.如图，把等腰沿着其斜边上的中线折叠，将与折成互相垂直的两个平面下面四个结论中正确的是．
A. 平面
B. 为等边三角形
C. 平面平面
D. 点在平面内的射影为的外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，其中为虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为______．
13.已知平面向量，，，，，则的值是 ．
14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校高三数学竞赛初赛考试后，对分以上含分的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若分数段的人数为人．
求这组数据的平均数；
现根据初赛成绩从第一组和第五组从低分段到高分段依次为第一组、第二组、、第五组中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
16.本小题分
如图，多面体中，，，，平面平面，为的中点．
若是线段的中点，求证：平面；
若，，，求证：平面．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，设向量，，．
若，求的值；
设，，且，求的值．
18.本小题分
在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
19.本小题分
某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用单位：元，表示购机的同时购买的易损零件数．
若，求与的函数解析式；
若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值；
假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？
参考答案
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15解：Ⅰ由频率分布直方图可知：分的频率为，分的频率为，分的频率为，分的频率为，分的频率为；
这组数据的平均数分
Ⅱ第五组分数段的人数为人，频率为，
故参加的总人数为人．
第一组共有人，记作、、、；
第五组共有人，记作、
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列种选法：、、
、、、；、、、
；、、、；共有种结果，
设事件：选出的两人为“黄金搭档组”．
若两人成绩之差大于，则两人分别来自于第一组和第五组，共有种选法，
故．
16证明：取的中点，连接，，由是的中点，得，
又，得，平面，
所以平面，
同理可证，平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，又
从而平面；
连接，，，由，为的中点，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面， 平面，
则，
由勾股定理，在中，，，得，
在中，，，得，
在直角梯形中，由平面几何知识计算得，
所以，即，
而，，
所以平面．
17解：因为，，．
所以，
且．
因为，所以，即，
所以，即
因为，所以．
故
因为，所以．
化简得，，所以
因为，所以所以，即
18证明：取中点，连接，．
在中，有
，分别为、中点，
在矩形中，为中点，
，，
四边形是平行四边形，
平面，平面，
平面．
解：四边形是矩形，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面平面，平面，
，，满足，
，平面，
平面，点到平面的距离等于点到平面的距离．
，
，
三棱锥的体积为．
19解：当时，；当时，．
所以与的函数解析式为分
由柱状图知，需更换的易损零件数不大于为，不大于为，所以的最小值为分
若每台机器都购买个易损零件，则有台的费用为，台的费用为，台的费用为，所以台机器购买易损零件费用的
平均数为分
若每台机器都购买个易损零件，则有台的费用为，台的费用为，所以台机器购买易损零件费用的
平均数为分
比较两个平均数可知，购买台机器的同时应购买个易损零件．分
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