2023-2024学年浙江省强基联盟高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省强基联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D. 或
4.如图，在正方体中，，分别为和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，，的平均数为，方差为，则平均数( )
A. B. C. D.
7.若实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知球的半径，球面上有三点，，，满足，点在球面上运动，则当四面体的体积取得最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10.已知正方体的棱长为，棱，的中点分别为，，点在上底面上包含边界，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得平面平面
B. 不存在点，使得直线平面
C. 三棱锥的体积不变
D. 存在点，使得平面
11.如图，已知长方形中，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 对任意，不成立
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为纯虚数为虚数单位，则实数 ______．
13.对于任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动如图甲，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙，若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的内切球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且与的夹角为．
求和；
若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数．
求函数的解析式；
对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，已知，，，．
求三棱锥的体积；
求侧面与侧面所成的二面角的余弦值．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，求的面积的取值范围；
若，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
在复数域中，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定次本原单位根为，例如当时存在四个次单位根，，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，，，，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题．
直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根无需证明；
求出，并计算，由此猜想无需证明；
设所有次本原单位根在复平面内对应的点为，，，，，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围．
参考答案
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15解：因为，且与的夹角为．
所以，，，
由，得，解得，
所以，所以；
因为，与的夹角为，
所以，
由，得，
又因为，，
若与共线，则有，解得，
此时与同向平行时，不合题意，
所以且．
则实数的取值范围．
16解：函数是定义在上的偶函数，
，
可得恒成立，
即，
，
在上不恒成立，
，
的解析式为；
由知，
当时，令．
不等式恒成立，等价于恒成立，
恒成立，
则，
令，
任取，
则
，
因为，，
所以，
所以为增函数，
所以当时，．
所以的取值范围为
17解：，
，，
，，平面，
平面．
又，，，
．
又，，
，
．
过点作于点，作于点，连接，
平面，平面，则平面平面，
平面平面，，面，
平面，由平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，
由，知为侧面与侧面所成的二面角的平面角，
中，，，则，
又，，
中，，则，得，
同理，
中，，
，
侧面与侧面所成的二面角的余弦值为．
18解：由，
由正弦定理可得：，
由余弦定理得，
再由正弦定理及倍角公式得，
由正弦定理可得：
，
得，即，
在锐角中，有；
，，则．
由正弦定理，有，
所以．
又是锐角三角形，有，
得，可得，
所以．
即的面积的取值范围；
，
由正弦定理，
得，，
所以，
即，
又因为，且，
所以，
设，函数，，
任取，则，
，，
当，，，即，
当，，，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，即
则．
实数的取值范围为．
19解：首先需要证明：对，，，，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为．
我们不妨记作，因此全部的次单位根是．
设，，，，我们考虑到：
如果和的最大公约数，则，从而不是本原单位根．
若不是本原单位根，设，，则由可知是的倍数，
设为和的最大公约数，则是的倍数，而和没有大于的公约数，故是的倍数，
所以由可知，得．
这就得到结论：对，，，，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为．
下面回到原题，考虑．
此时，全部的次单位根是，依次列出即是：
，，，，，，，．
根据上面的结论，其中是本原单位根的是，即，，，．
对，我们考虑全体次单位根．
每个，，，均可表示为，其中是正奇数，．
则，所以是次单位根．
又因为，且和的最大公约数为，故是次本原单位根．
而时，是次本原单位根，故每个次单位根都对应一个次本原单位根，这里．
另一方面，我们根据刚才证明的结论：，对于每个和每个次本原单位根都对应着一个次单位根．
通过上述我们就可以知道全体次单位根事实上遍历了所有次本原单位根，其中．
所以．
我们就足以直接推出，并且
，．
根据第小问得到的结论，全部的次本原单位根是．
故．
再根据的定义，知．
根据第小问的结论我们可以得到．
故．
在的条件下，有，从而在复平面上对应的点可在圆上自由转动．
而代表和在复平面上代表的点之间的距离，也就是圆上一点到点的距离，
从而根据几何意义可知最小距离是，最大距离是．
所以题目求的取值范围是．
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