2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高二（下）段考数学试卷（一）（含答案）

2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高二（下）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，，的一个通项公式等于( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的各项均为正数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知某种商品的销售额单位：万元与广告费支出单位：万元之间具有线性相关关系，利用下表中的数据求得经验回归方程为，根据该经验回归方程，预测当时，，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在正项数列中，，前项和满足，则( )
A. B. C. D.
6.设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是( )
A. B.
C. D.
7.若随机变量服从正态分布，则，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上恰有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且当时，有其中为的前项和，且则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，且，，则下列各值中可以为的是( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设第层有个球，上往下层球的总数为，则( )
A. B.
C. ， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则______．
13.数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为 ．
14.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人
参考数据及公式如下：
参考公式：，其中．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设正项数列的前项和为，，且满足_____给出下列三个条件：，；；．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，且数列的前项和为，求的值．
16.本小题分
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 合计
男生人数
女生人数
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，丄底面，底面是边长为的正三角形，，分别是棱、的中点．
Ⅰ求证：平面 ；
Ⅱ若二面角为，求的长．
18.本小题分
已知等差数列的公差，且，，成等比数列，的前项和为，，设，数列的前项和为．
求的通项公式；
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足且．
求椭圆的方程；
过作两条相互垂直的直线，分别交于、、、，求四边形面积的最大值．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：Ⅰ选条件：，；
整理得，
故正项数列为等比数列；
由于，，
故公比，解得；
故；
选条件时，；
当时，整理得，解得；
故；，
当时，，；
得：，
整理得常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以首项符合通项，
故；
选条件时，，
当时，整理得，解得；
故，；
当时，，；
得：，首项符合通项，
所以；
Ⅱ由Ⅰ得：，
所以．
解得．
16解：列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过；
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，
故近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
，
故，
；
名“运动爱好者”有名男生，名女生，服从超几何分布，的可能取值为，，，，
，
，
故所求分布列为：


．
17证明：Ⅰ设的中点为，连结、．
，，，
是平行四边形，．
平面，平面，
平面．
Ⅱ以为原点，建立空间直角坐标系如图，
则，，，设，，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
则，令，则，即，
设平面的法向量为，
则由且
即
则，令，则，即．
所以，
依题意，，则，解得，
故CC的长为．
18解：由已知等差数列，
得：，得，解得，
所以．
，
，
，
所以得：
．
所以，
得：．
又由中等差数列满足知：，
不等式对一切恒成立，且，
即对一切恒成立，
令，只需保证不等式成立即可，
因为，
当时，，当时，，当时，，
即，
得，
所以的最大值为．
19解：，可设，
，，即，
，，
．
当或垂直坐标轴时，易得，，，
，均不垂直坐标轴时，
设：，，，
联立，
化为，
由韦达定理有，，
．
同理可设，，，
，
，
综上：的最大值为．
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