学情分析
本节课是一节概念课。函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节的难点之一，另一个难点是学生在高中阶段第一次接触数学证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达。围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我注意了以下几个问题：
1重视学生的亲身体验，具体体现在两个方面：一、将新知识与学生的已有知识建立了联系，如学生对一次函数、二次函数及反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；二，运用新知识尝试解决新问题。
2重视学生发现的过程：如充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正反两个方面探讨活动中，学生的认知升华、发现的过程。
3重视学生动手实践过程：通过对定义的解读巩固，让学生动手去实践。
4重视课堂问题的设计：通过对问题的设计，引导学生解决问题。
效果分析
在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程。在授课过程中，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会了运用函数图像理解和研究函数的性质；并且注意到了学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上做到了从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明，是一节非常成功的课。
本堂课较好的达成了教学目标，符合课程标准的要求，教学实效是优质的。知识传播准确无误，观点全面；学生的知识得到丰富和更新，能力得到提高与扩展，情感、态度、价值观得到巩固与提升，是一堂高效优质课。本堂课教师把自己的角色定位为学生学习的组织者、引导者、合作者，学生闪光点的发现者和向学生学习的学习者的“五位一体”；学生的知识参与、思维参与、情感参与、行为参与的积极充分，是教师的角色定位准确、学生参与的积极性得到充分调动的课。本堂课是预设与生成融为一体，既重视学习过程又重视学习结果的课；是合理使用音像资源，信息技术与学科教学有机整合的课；也是师生互动交流，促进双方完整生命成长的课。
函数的单调性（教学设计）
一、教材分析：
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、学情分析：?
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
三、教学目标
依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：
1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。
3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。
在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：
四：教学重点及教学难点
教学重点：函数的单调性的判断与证明；
教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。?
五、教学过程设计：
?课堂引入：如何描述昨天一天的气温变化趋势
观察下列函数的图像：
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
问题2：甲、乙两图中，若x1
问题3：丙图中若x1新知自解 归纳提升
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当 时 ，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；
当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．
如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有
感悟新知 学以致用
如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
例2.画出函数的图象，并写出单调区间并进行证明.
练习
1.证明函数y=-2x+1在R上是减函数.
2.证明函数y=+1在 （）上是增函数.
作业：
.必做题：P46 练习A组第2，4，5 题
.选做题：P46 练习B组第1题。
.拓展题：
已知函数f(x),g(x)均是增函数，那么函数f(x)+g(x)是否单调递增？如果成立，请给出证明；如果不成立，请给出反例。函数f(x)-g(x)又是怎样的情形呢？
六、板书设计：
函数的单调性
?
1、? 函数单调性定义：
?
2、? 单调函数、单调区间：
?
3、? 函数单调性的判断与证明方法：
例1：如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
例2：说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。
教材分析
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
观评记录
优点：1.概念的引入从学生熟悉的知识入手，使学生对新知识易于接受。
2.引入过程以问题串的形式出现，更利于学生主动思考、总结、培养学生主动探究问题的能力。
3.采取了多种的教学手段来调动学生的积极性，充分的营造了轻松、愉悦而又高效的课堂氛围。
4.教学的设计环环相扣，教学思路严谨清新，学生主动性强，思维活跃，达到了理想的效果。
不足：
1：个别同学参与活动的积极性不高，还需要进一步调动积极性。
2：学生在学习过程中对于解题的规范性上重视程度不够，书写不够认真，条理性不强。
3：课堂内容含量偏小，没能达到讲练结合的最佳效果。
评测练习：
1．y＝2x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A．1，12 B.12，1
C.12，14 D.14，12
2函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )
A．42,12 B．42，－14
C．12，－14 D．无最大值，最小值－14
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．
8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
；
答案：
1.【解析】 因为y＝2x在[2,4]上单调递减，
所以ymax＝22＝1，ymin＝24＝12.
【答案】 A
2【解析】 函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知ymax＝3.
【答案】 D
3【解析】 f(x)＝x2＋3x＋2
＝(x＋32)2－14，
∵－5＜－23＜5，
∴无最大值f(x)min＝f(－32)＝－14.
【答案】 D
4【解析】 函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.
【答案】 C
5【解析】 y＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．
【答案】 (0,1]∪[－1,0)
6【解析】 f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，
对称轴x＝－1，
当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为
f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝13，
当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为
f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.
【答案】 13或－5
7【解析】
设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)
= -
=
= .
由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．
因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
8【解析】 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；
当2f(x)min＝f(a)＝2－a2
课件16张PPT。函数的单调性
高中数学高一年级
人教B版必修一
广饶县第一中学
李法祥
2.1.3函数的单调性观察下列函数图象 自主探讨 感受新知 问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大．
乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．
丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；
在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大． 问题2：甲、乙两图中，若x1提示：甲图中，若x1乙图中，若x1f(x2)．
问题3：丙图中若x1提示：[0，＋∞)． 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；
当 时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．Δ x＝x2－x1>0任意Δ y＝f(x2)－f(x1)>0Δ y＝f(x2)－f(x1)<0新知自解 归纳提升 如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间)．单调性 温馨提示
(1)函数单调性定义的理解
一是任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值；二是x1，x2有大小，通常规定Δ x＝x2－x1>0；三是x1，x2同属于定义域的某个子区间．
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y＝x2的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0)时是减函数．解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？ 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；感悟新知 学以致用 单调区间的书写：
（1）必须写成区间
（2）多个单调区间用“，”隔开 不能用U连接起来
例2.画出下面的函数图象，并写出单调区间取值作差变形定号判断证明：在区间 上任取两个值 且 则，且所以函数 在区间 上是减函数. 例3.证明函数 在区间 上是减函数.
练习： 1.证明函数y=-2x+1在R上是减函数.
2.证明函数y=x2 +1在 上是增函数.
3.图象法判断函数的单调性：1.增函数、减函数的定义；上升下降4、用定义证明函数单调性的步骤是：
取值，作差，变形（分解因式，通分，配
方）定号，判断。2.判断函数单调性的两种方法：
图象法、定义法3.图象法判断函数的单调性： 课后作业
.必做题：P46 练习A组第2，4，5 题
.选做题：P46 练习B组第1题。
.拓展题：
已知函数f(x),g(x)均是增函数，那么函数f(x)+g(x)是否单调递增？如果成立，请给出证明；如果不成立，请给出反例。函数f(x)-g(x)又是怎样的情形呢？课后反思
优点：
启发探究式教学，引导学生从熟悉的知识入手，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学的设计环环相扣，教学思路严谨清新，学生主动性强，思维活跃，达到了理想的效果。
引入过程以问题串的形式出现，更利于学生主动思考、总结、培养学生主动探究问题的能力。
有待提高：
1. 教学手段还不够丰富，个别问题设计稍显单调、生硬，缺乏启发性和灵活性。
2. 课堂气氛调动的不够活跃。应当充分调动学生的积极性，开拓学生的思维，争取让每一个学生都能当堂过关。
课标分析
1.微观分析：通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．
2.宏观分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：
1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。
3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。
