人教版2024年八年级上册数学知识点分类训练 ：11.1 与三角形有关的线段 （含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版2024年八年级上册数学知识点分类训练 ：11.1 与三角形有关的线段 （含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 349.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-01 10:34:01 | ||
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文档简介
人教版2024年八年级上册知识分类训练
11.1 与三角形有关的线段
一．三角形的分类
1、定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
2、三角形相关定义：三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
3、符号表示：三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
4、三角形根据不同的分类依据可分为不同类型：
①、按角分：1、锐角三角形；2、直角三角形；3、钝角三角形。
②、按边分：1、不等边三角形；2、等腰三角形；3、等边三角形（特殊等腰三角形）。
针对训练
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
3．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．如图，以BE为边的三角形有 个．
5．在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 个三角形．
6．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
二．三角形的三边关系
1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
针对训练
7．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，5，6
8．如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2米，则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A．3米 B．4.2米 C．5米 D．6米
9．若三角形的两边长分别为5和7，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．5＜c＜7 B．3≤c≤11 C．2＜c＜12 D．2≤c≤12
10．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个．
11．三边长不等的△ABC的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为 ．
12．已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围．
13．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
三．三角形的稳定性
1、定义：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。
注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性.
针对训练
14．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
16．如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
17．如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要钉上几根木条？
四．三角形的角平分线、中线和高
1、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别）
3、高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
针对训练
18．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
19．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
20．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D点，BE⊥AC交AC的延长线于E，FC⊥BC，下列说法错误的是（ ）
A．AD是△ABC的高 B．BE是△ABC的高
C．BC是△BCF的高 D．线段CF长表示点C到直线AB的距离
21．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A．BC＝2CE B．
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
22．在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
23．在如图所示的△ABC的三条高中，其中AB边上的高是线段 ．
24．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
25．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
27．如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
参考答案
一．三角形的分类
1．解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
2．解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．
故选：D．
3．解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
4．解：以BE为边的三角形有△BEF，△BEC共2个．
故答案为：2．
5．解：1个三角形需要火柴棍3根，
2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…，
发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，
∴2n+1＝41，
解得：n＝20．
故答案为：20．
6．解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC．
二．三角形的三边关系
7．解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2＝4，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+5＞6，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
8．解：∵AB＝AC＝2，
∴2﹣2＜BC＜2+2，即：0＜BC＜4，
故选：A．
9．解：由三角形三边关系定理得到：7﹣5＜c＜7+5，
∴2＜c＜12．
故选：C．
10．解：设第三边为x，则2＜x＜8，
∴x＝3，4，5，6，7．
共有5种情形．
故答案为：5．
11．解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5．
∵第三边长为整数值，且△ABC是不等边三角形，
∴x的取值为4．
故答案为：4．
12．解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0，
∴，
解得a＝2，b＝6，
∵6﹣2＝4，6+2＝8，
∴4＜c＜8，
∴c的取值范围为4＜c＜8；
（2）∵2x﹣c＝1，
∴c＝2x﹣1，
∴4＜2x﹣1＜8，
∴＜x＜，
∴x的取值范围为＜x＜．
13．解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
三．三角形的稳定性
14．解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．
故选：B．
15．解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
16．解：儿童座椅主体框架成三角形，是利用三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
17．解：至少钉一根木条，即相对的两顶点钉一根木条就可以了．
四．三角形的角平分线、中线和高
18．解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
19．解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
20．解：A、AD是△ABC的高，说法正确，不符合题意；
B、BE是△ABC的高，说法正确，不符合题意；
C、BC是△BCF的高，说法正确，不符合题意；
D、线段CF长不能表示点C到直线AB的距离，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
21．解：∵AE是中线，
∴BE＝CE，
BC＝2CE．
∴故选项A正确，不符合题意；
∵AF是高，
∴∠AFB＝90°，故选项C正确，不符合题意；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC．
故选项B正确，不符合题意；
根据题意不一定得出AE＝CE，
故选项D不正确符合题意．
故选：D．
22．解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为45，
∴AB+AD+BD＝45，
∵AB＝20，
∴20+CD+BD＝45，
∴CD+BD＝25，
∵BC＝18，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43，
故选：B．
23．解：∵△ABC为钝角是三角形，CE⊥AE，
∴CE为AB边上的高．
故答案为：CE．
24．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
25．解：如图AD为中线，AE为角平分线，AF为高
26．解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
27．解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴AB﹣BC＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12．
11.1 与三角形有关的线段
一．三角形的分类
1、定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
2、三角形相关定义：三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
3、符号表示：三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
4、三角形根据不同的分类依据可分为不同类型：
①、按角分：1、锐角三角形；2、直角三角形；3、钝角三角形。
②、按边分：1、不等边三角形；2、等腰三角形；3、等边三角形（特殊等腰三角形）。
针对训练
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
2．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
3．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．如图，以BE为边的三角形有 个．
5．在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 个三角形．
6．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
二．三角形的三边关系
1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
针对训练
7．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，5，6
8．如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2米，则B，C两点之间的距离可能是（ ）
A．3米 B．4.2米 C．5米 D．6米
9．若三角形的两边长分别为5和7，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．5＜c＜7 B．3≤c≤11 C．2＜c＜12 D．2≤c≤12
10．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个．
11．三边长不等的△ABC的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为 ．
12．已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围．
13．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
三．三角形的稳定性
1、定义：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。
注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性.
针对训练
14．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
16．如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．
17．如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要钉上几根木条？
四．三角形的角平分线、中线和高
1、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
2、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别）
3、高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
针对训练
18．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
19．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
20．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D点，BE⊥AC交AC的延长线于E，FC⊥BC，下列说法错误的是（ ）
A．AD是△ABC的高 B．BE是△ABC的高
C．BC是△BCF的高 D．线段CF长表示点C到直线AB的距离
21．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A．BC＝2CE B．
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
22．在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
23．在如图所示的△ABC的三条高中，其中AB边上的高是线段 ．
24．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
25．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高．
26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
27．如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
参考答案
一．三角形的分类
1．解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
2．解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．
故选：D．
3．解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
4．解：以BE为边的三角形有△BEF，△BEC共2个．
故答案为：2．
5．解：1个三角形需要火柴棍3根，
2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…，
发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，
∴2n+1＝41，
解得：n＝20．
故答案为：20．
6．解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC．
二．三角形的三边关系
7．解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2＝4，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+5＞6，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
8．解：∵AB＝AC＝2，
∴2﹣2＜BC＜2+2，即：0＜BC＜4，
故选：A．
9．解：由三角形三边关系定理得到：7﹣5＜c＜7+5，
∴2＜c＜12．
故选：C．
10．解：设第三边为x，则2＜x＜8，
∴x＝3，4，5，6，7．
共有5种情形．
故答案为：5．
11．解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5．
∵第三边长为整数值，且△ABC是不等边三角形，
∴x的取值为4．
故答案为：4．
12．解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0，
∴，
解得a＝2，b＝6，
∵6﹣2＝4，6+2＝8，
∴4＜c＜8，
∴c的取值范围为4＜c＜8；
（2）∵2x﹣c＝1，
∴c＝2x﹣1，
∴4＜2x﹣1＜8，
∴＜x＜，
∴x的取值范围为＜x＜．
13．解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
三．三角形的稳定性
14．解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．
故选：B．
15．解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
16．解：儿童座椅主体框架成三角形，是利用三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
17．解：至少钉一根木条，即相对的两顶点钉一根木条就可以了．
四．三角形的角平分线、中线和高
18．解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
19．解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
20．解：A、AD是△ABC的高，说法正确，不符合题意；
B、BE是△ABC的高，说法正确，不符合题意；
C、BC是△BCF的高，说法正确，不符合题意；
D、线段CF长不能表示点C到直线AB的距离，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
21．解：∵AE是中线，
∴BE＝CE，
BC＝2CE．
∴故选项A正确，不符合题意；
∵AF是高，
∴∠AFB＝90°，故选项C正确，不符合题意；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC．
故选项B正确，不符合题意；
根据题意不一定得出AE＝CE，
故选项D不正确符合题意．
故选：D．
22．解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为45，
∴AB+AD+BD＝45，
∵AB＝20，
∴20+CD+BD＝45，
∴CD+BD＝25，
∵BC＝18，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43，
故选：B．
23．解：∵△ABC为钝角是三角形，CE⊥AE，
∴CE为AB边上的高．
故答案为：CE．
24．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
25．解：如图AD为中线，AE为角平分线，AF为高
26．解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
27．解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴AB﹣BC＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12．