贵州省仁怀市第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2024高二下·仁怀月考）数列，，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·仁怀月考）已知事件A，B相互独立，，，则（ ）
A．0.8 B．0.24 C．0.3 D．0.16
3．（2024高二下·仁怀月考）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．60个 B．40个 C．30个 D．24个
4．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
5．（2024高二下·仁怀月考）已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间（90，105）内的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
6．（2024高二下·仁怀月考）已知数列满足．若，且，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4029 D．4038
7．（2024高二下·仁怀月考）若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是0.6，若要以0.97以上的概率击中目标，则至少需要的人数是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2023高三上·梅河口月考） 老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·仁怀月考）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与等差中项为6
C． D．
10．（2024高二下·仁怀月考）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．设具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越强
B．随机变量，若，则
C．随机变量X服从两点分布，若，则
D．某人在10次射击中击中目标的次数为X，若，则当时概率最大
11．（2024高二下·仁怀月考）已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ）
A．该数列的公差 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·仁怀月考）已知，则 ．
13．（2024高二下·仁怀月考）若点（1，2）在直线上（其中a，b都是正实数），则的最小值为 ．
14．（2024高二下·仁怀月考）设等差数列的前n项和为，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·仁怀月考）在2023年春节期间，某商场对销售的某商品一天的投放量x及其销量y进行调查，发现投放量x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
投放量x 6 8 10 12
销售量y 2 3 5 6
通过分析，发现销售量y对投放量x具有线性相关关系。
（1）求销售量y对投放量x的回归直线方程；
（2）欲使销售量为8，则投放量应定为多少．（保留小数点后一位数），
16．（2024高二下·仁怀月考）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）取出数列的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列，求的通项公式．
17．（2024高二下·仁怀月考）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
（1）根据题意完善下列列联表，并根据列联表判断是否有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？
高级 非高级 合计
女 40
男 140
合计
（2）按照性别用分层抽样的方法抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；
（ⅰ）若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．
（ⅱ）设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望．
附表：，其中．
0.010 0.05 0.001
6.635 7.879 10.828
18．（2024高二下·仁怀月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，．
（1）若E是BC的中点，证明：；
（2）求直线CF与平面ABF所成角的正弦值．
19．（2024高二下·仁怀月考）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当n为多少时取得最大值，并求的最大值；
（3）若，求数列的前n项和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查数列的通项公式，等车数列的通项公式.观察题目可得：分母形成首项为5，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出分母，再求出分的通项子可求出通项公式.
2．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为事件A，B相互独立，
所以，
所以
故答案为：A
【分析】本题考查条件概率的计算公式.已知事件A，B相互独立，根据相互独立事件的概率公式可得：，再利用条件概率的计算公式可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可分为两类：
第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；
第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；
②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，
根据分步计数原理，共有种排法；
根据分类计数原理，共有种排法.
故答案为：C
【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理.本题需要分两类完成：第一类排在末位；第二类、排在末位；再将每一类分步完成，利用分布计数原理可求出每一类的排法，再利用分类加法计数原理可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7，所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
5．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，所以．
又，所以．
由正态分布的密度曲线的对称性可得．
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的密度曲线的对称性.根据正态分布的对称性可得：，再结合已知条件可推出，利用正态分布的密度曲线的对称性可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，
故，即，
又，
则.
故答案为： C
【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式.先根据题意可推出数列为等差数列，再结合题目条件可求出公差d，利用等差数列的通项公式可求出.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：设个人至少有一个命中为事件A，
则，若，
则，
因为，，
所以，则至少需要的人数是.
故答案为：C.
【分析】本题考查对立事件的概率.设个人至少有一个命中为事件A，利用对立事件的概率可求出，根据，据此可求出，求出答案.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知，这天日跑步量成等差数列，记为，
设数列的公差为，前项和为，又，
则，即，解得，
∴，
由，得，解得，
∴这天中老张日跑步量超过公里的天数为天.
故答案为：B.
【分析】由条件可知，这天日跑步量成等差数列，求出等差数列的通项公式，再解不等式即可.
9．【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：A.，，所以数列是首项为1公差为1的等差数列，得，
，A正确；
B.等差数列中，与等差中项是，，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消法求数列的和.根据题意可推出是等差数列，利用等差数列的通项公式可求出通项，据此可判断A选项；利用的通项公式进行计算，再结合等差中项的定义可判断B选项；利用等差数列的前n项和公式求出，据此可判断D选项；应用裂项相消法进行裂项据此可的判断C选项.
10．【答案】B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A，越接近于，之间的线性相关程度越弱，A错误；
B，随机变量，则，，
若，则，解得：，B正确；
C，随机变量服从两点分布，其中，，
则，，C错误；
D，，当时，对应的概率，
当时，，
令，解得：，又，
且，即当时，概率最大，D正确．
故答案为：BD．
【分析】本题考查样本相关系数的统计学意义，正态分布，离散型随机变量的方差，二项分布.根据相关系数的统计学意义可判断A选项；利用正态分布的方差可求出，再根据方差的性质可求出，据此可判断B选项；先根据两点分布求出，再根据离散型随机变量方差计算公式进行计算，可判断C选项；利用二项分布的概率计算公式计算可求求出，据此可知当时概率最大，判断D选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：B.由可得，， 可得
可得，所以等差数列的公差，A正确.
C.所以为正，，从第8项起均为负. C正确.
B.所以，B错误.
D.，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.利用通项和前n项和的关系可得：，据据此可推出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，据此可推出公差，判断A选项和C选项；利用等差数列的前n项和公式可得：，据此可判断B选项；利用等差数列的前n项和公式可得：，据此可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】 已知
令，则，解得：
令，则
所以
故答案为：
【分析】本题考查二项式系数.本题采用赋值法，令，可求出；令，可求出的值，据此可求出答案.
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，而，
于是，
当且仅当，即时取等号，由，得，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.根据点在直线上可得的关系为：，采用“1”还原法，将式子先乘以1，再将1 进行替换，利用基本不等式可求出最值.的妙用求解作答.
14．【答案】2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，则，解得，
.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列前项和公式.设等差数列的公差为，又知，利用等差数列的通项公式可推出可与的关系，再利用等差数列的前项和公式可求出的值.
15．【答案】（1）解：，
，，
，
，，
故线性回归方程为．
（2）解：由题意知：，解得．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程.
（1）根据题意先求出，，，，利用公式可求出，进而求出，据此可求出回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，当时，可求出的值.
16．【答案】（1）解：当时，，
当时，由，
得，
两式相减得：，
由于，不适合上式，
所以数列的通项公式：．
（2）解：数列的偶数项从小到大排列为：、、、、，
所以，数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，
则的通项公式为．
【知识点】等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的通项公式.
（1）当时，先求出，再写出，根据可求得数列的通项公式；
（2）由小到大列举出数列的偶数项，观察其规律，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式.
17．【答案】（1）解：从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，则非高级女生的人数为，高级的男生为，得到如下的列联表：
高级 非高级 合计
女 40 160 200
男 60 140 200
合计 100 300 400
由于．
故没有99％以上的把握认为“智力游戏水平高低与性别有关”．
（2）解：（ⅰ）甲成为参赛选手的概率．
（ⅱ）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3，
；；
；．
随机变量X的分布列：
X 0 1 2 3
p
．
【知识点】独立性检验；超几何分布
【解析】【分析】本题考查独立性检验，超几何分布.
（1）根据题意完成列联表，再计算，将与临界值进行比较，可作出结论.
（2）从人中抽取人共有个基本事件，甲为参赛选手共有个基本事件，利用古典概型公式可求出概率.
首先用分层抽样得到抽取的男、女生人数，得到女生的人数的所有取值为0，1，2，3，计算出对应变量的的概率值，列出分布列，利用期望计算公式可求出数学期望.
18．【答案】（1）证明：取PA的中点G，连接GE，GF，
因为E，F分别为BC，PD的中点，且底面ABCD是正方形，
则，，
即四边形ECFG是平行四边形，因此，
而，，
所以．
（2）解：
在四棱锥P-ABCD中，，底面ABCD是正方形，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（0，0，1），
，，，设平面ABF的法向量为，
则，令，得，设直线CF与平面ABF所成角为，
因此，
所以直线CF与平面ABF所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.
（1）取PA的中点G，连接GE，GF，利用三角形的中位线定理和正方形的性质可证明四边形ECFG是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论.
（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面ABF的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出直线CF与平面ABF所成角的正弦值.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
等差数列的前n项和为，，，
可得，，
解得，，∴．
（2）解：由得，即最大，
最大值为．
所以当n为6时取得最大值，的最大值为36．
（3）解：因为，所以，，
当且时，
，
当且时，
，
综上．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，数列求和.
（1）设等差数列的公差为d，根据题意利用等差数列的通项公式可列出方程组，解方程组可求出，，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式可求出，再利用二次函数的性质可求出的最大值 ；
（3）对分两种情况：当且时；当且时；在不同情况下，利用等差数列的前n项和公式可求出，进而可求出 .
1 / 1贵州省仁怀市第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2024高二下·仁怀月考）数列，，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查数列的通项公式，等车数列的通项公式.观察题目可得：分母形成首项为5，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出分母，再求出分的通项子可求出通项公式.
2．（2024高二下·仁怀月考）已知事件A，B相互独立，，，则（ ）
A．0.8 B．0.24 C．0.3 D．0.16
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为事件A，B相互独立，
所以，
所以
故答案为：A
【分析】本题考查条件概率的计算公式.已知事件A，B相互独立，根据相互独立事件的概率公式可得：，再利用条件概率的计算公式可求出答案.
3．（2024高二下·仁怀月考）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．60个 B．40个 C．30个 D．24个
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可分为两类：
第一类 末位数字为时，百位数字有种排法，十位数字有种，根据分步计数原理，共有种排法；
第二类 ①末位数字为或中一个时，有种排法；
②再从除以外的个数中，选一个放在百位有种排法，再从剩余的个数中，选一个放在十位数字有种排法，
根据分步计数原理，共有种排法；
根据分类计数原理，共有种排法.
故答案为：C
【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理.本题需要分两类完成：第一类排在末位；第二类、排在末位；再将每一类分步完成，利用分布计数原理可求出每一类的排法，再利用分类加法计数原理可求出答案.
4．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7，所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
5．（2024高二下·仁怀月考）已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间（90，105）内的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，所以．
又，所以．
由正态分布的密度曲线的对称性可得．
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的密度曲线的对称性.根据正态分布的对称性可得：，再结合已知条件可推出，利用正态分布的密度曲线的对称性可求出答案.
6．（2024高二下·仁怀月考）已知数列满足．若，且，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4029 D．4038
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，
故，即，
又，
则.
故答案为： C
【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式.先根据题意可推出数列为等差数列，再结合题目条件可求出公差d，利用等差数列的通项公式可求出.
7．（2024高二下·仁怀月考）若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是0.6，若要以0.97以上的概率击中目标，则至少需要的人数是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：设个人至少有一个命中为事件A，
则，若，
则，
因为，，
所以，则至少需要的人数是.
故答案为：C.
【分析】本题考查对立事件的概率.设个人至少有一个命中为事件A，利用对立事件的概率可求出，根据，据此可求出，求出答案.
8．（2023高三上·梅河口月考） 老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知，这天日跑步量成等差数列，记为，
设数列的公差为，前项和为，又，
则，即，解得，
∴，
由，得，解得，
∴这天中老张日跑步量超过公里的天数为天.
故答案为：B.
【分析】由条件可知，这天日跑步量成等差数列，求出等差数列的通项公式，再解不等式即可.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·仁怀月考）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与等差中项为6
C． D．
【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：A.，，所以数列是首项为1公差为1的等差数列，得，
，A正确；
B.等差数列中，与等差中项是，，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消法求数列的和.根据题意可推出是等差数列，利用等差数列的通项公式可求出通项，据此可判断A选项；利用的通项公式进行计算，再结合等差中项的定义可判断B选项；利用等差数列的前n项和公式求出，据此可判断D选项；应用裂项相消法进行裂项据此可的判断C选项.
10．（2024高二下·仁怀月考）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．设具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越强
B．随机变量，若，则
C．随机变量X服从两点分布，若，则
D．某人在10次射击中击中目标的次数为X，若，则当时概率最大
【答案】B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A，越接近于，之间的线性相关程度越弱，A错误；
B，随机变量，则，，
若，则，解得：，B正确；
C，随机变量服从两点分布，其中，，
则，，C错误；
D，，当时，对应的概率，
当时，，
令，解得：，又，
且，即当时，概率最大，D正确．
故答案为：BD．
【分析】本题考查样本相关系数的统计学意义，正态分布，离散型随机变量的方差，二项分布.根据相关系数的统计学意义可判断A选项；利用正态分布的方差可求出，再根据方差的性质可求出，据此可判断B选项；先根据两点分布求出，再根据离散型随机变量方差计算公式进行计算，可判断C选项；利用二项分布的概率计算公式计算可求求出，据此可知当时概率最大，判断D选项.
11．（2024高二下·仁怀月考）已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ）
A．该数列的公差 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：B.由可得，， 可得
可得，所以等差数列的公差，A正确.
C.所以为正，，从第8项起均为负. C正确.
B.所以，B错误.
D.，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.利用通项和前n项和的关系可得：，据据此可推出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，据此可推出公差，判断A选项和C选项；利用等差数列的前n项和公式可得：，据此可判断B选项；利用等差数列的前n项和公式可得：，据此可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·仁怀月考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】 已知
令，则，解得：
令，则
所以
故答案为：
【分析】本题考查二项式系数.本题采用赋值法，令，可求出；令，可求出的值，据此可求出答案.
13．（2024高二下·仁怀月考）若点（1，2）在直线上（其中a，b都是正实数），则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，而，
于是，
当且仅当，即时取等号，由，得，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.根据点在直线上可得的关系为：，采用“1”还原法，将式子先乘以1，再将1 进行替换，利用基本不等式可求出最值.的妙用求解作答.
14．（2024高二下·仁怀月考）设等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，则，解得，
.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列前项和公式.设等差数列的公差为，又知，利用等差数列的通项公式可推出可与的关系，再利用等差数列的前项和公式可求出的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·仁怀月考）在2023年春节期间，某商场对销售的某商品一天的投放量x及其销量y进行调查，发现投放量x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
投放量x 6 8 10 12
销售量y 2 3 5 6
通过分析，发现销售量y对投放量x具有线性相关关系。
（1）求销售量y对投放量x的回归直线方程；
（2）欲使销售量为8，则投放量应定为多少．（保留小数点后一位数），
【答案】（1）解：，
，，
，
，，
故线性回归方程为．
（2）解：由题意知：，解得．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程.
（1）根据题意先求出，，，，利用公式可求出，进而求出，据此可求出回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，当时，可求出的值.
16．（2024高二下·仁怀月考）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）取出数列的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列，求的通项公式．
【答案】（1）解：当时，，
当时，由，
得，
两式相减得：，
由于，不适合上式，
所以数列的通项公式：．
（2）解：数列的偶数项从小到大排列为：、、、、，
所以，数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，
则的通项公式为．
【知识点】等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的通项公式.
（1）当时，先求出，再写出，根据可求得数列的通项公式；
（2）由小到大列举出数列的偶数项，观察其规律，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式.
17．（2024高二下·仁怀月考）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
（1）根据题意完善下列列联表，并根据列联表判断是否有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？
高级 非高级 合计
女 40
男 140
合计
（2）按照性别用分层抽样的方法抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；
（ⅰ）若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．
（ⅱ）设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望．
附表：，其中．
0.010 0.05 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，则非高级女生的人数为，高级的男生为，得到如下的列联表：
高级 非高级 合计
女 40 160 200
男 60 140 200
合计 100 300 400
由于．
故没有99％以上的把握认为“智力游戏水平高低与性别有关”．
（2）解：（ⅰ）甲成为参赛选手的概率．
（ⅱ）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3，
；；
；．
随机变量X的分布列：
X 0 1 2 3
p
．
【知识点】独立性检验；超几何分布
【解析】【分析】本题考查独立性检验，超几何分布.
（1）根据题意完成列联表，再计算，将与临界值进行比较，可作出结论.
（2）从人中抽取人共有个基本事件，甲为参赛选手共有个基本事件，利用古典概型公式可求出概率.
首先用分层抽样得到抽取的男、女生人数，得到女生的人数的所有取值为0，1，2，3，计算出对应变量的的概率值，列出分布列，利用期望计算公式可求出数学期望.
18．（2024高二下·仁怀月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，．
（1）若E是BC的中点，证明：；
（2）求直线CF与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取PA的中点G，连接GE，GF，
因为E，F分别为BC，PD的中点，且底面ABCD是正方形，
则，，
即四边形ECFG是平行四边形，因此，
而，，
所以．
（2）解：
在四棱锥P-ABCD中，，底面ABCD是正方形，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（0，0，1），
，，，设平面ABF的法向量为，
则，令，得，设直线CF与平面ABF所成角为，
因此，
所以直线CF与平面ABF所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.
（1）取PA的中点G，连接GE，GF，利用三角形的中位线定理和正方形的性质可证明四边形ECFG是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论.
（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面ABF的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出直线CF与平面ABF所成角的正弦值.
19．（2024高二下·仁怀月考）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当n为多少时取得最大值，并求的最大值；
（3）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
等差数列的前n项和为，，，
可得，，
解得，，∴．
（2）解：由得，即最大，
最大值为．
所以当n为6时取得最大值，的最大值为36．
（3）解：因为，所以，，
当且时，
，
当且时，
，
综上．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，数列求和.
（1）设等差数列的公差为d，根据题意利用等差数列的通项公式可列出方程组，解方程组可求出，，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式可求出，再利用二次函数的性质可求出的最大值 ；
（3）对分两种情况：当且时；当且时；在不同情况下，利用等差数列的前n项和公式可求出，进而可求出 .
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