江西省抚州市四校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．（2024高二下·抚州月考） 已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、假设，则，故A错误；
B、假设，则，故B错误；
C、假设，则，故C错误；
D、假设，，逐项验证符合，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据选项逐项检验判断即可.
2．（2024高二下·抚州月考） 已知函数，则其在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，求导可得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
3．（2024高二下·抚州月考） 在等差数列中，首项，前3项和为6，则等于（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，则.
故答案为：A.
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求出公差，结合等差数列的通项公式即可求解.
4．（2024高二下·抚州月考）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和 ，满足，
所以，整理可得：，
所以等差数列为递增数列，又因为，所以，，
所以当且时，；当且时，；
故有最小值，最小值为.
故答案为：D.
【分析】将已知不等式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，再由可得和的符号，即可判断的最小值.
5．（2024高二下·抚州月考）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（ ）
A．或 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，求导可得，
当时，解得或；当时，解得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值；当时，取得极小值，
因为与恰好为的两个极值点，所以，且，
又因为，且，所以.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，结合导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，可得，且，再结合等比数列的性质求解即可.
6．（2024高二下·抚州月考）已知函数，则的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；函数的值；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数定义域为，求导可得，
当时，解得；当时，解得，
故函数在单调递增，在上单调递减，
且，，得或时，排除选项A，C；
因为的定义域为，排除D.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域判断D；设函数，求导利用导数判断函数的单调性以及或时函数值的正负判断AC，从而可得正确答案.
7．（2024高二下·抚州月考） “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
则，
因为，，
所以，
所以，即.
故答案为：D．
【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法求解即可．
8．（2024高二下·抚州月考）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，求导可得，
因为函数在上单调递增，所以在恒成立，
即恒成立，
设，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
函数的最小值为，即，则正实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·抚州月考） 下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求导判断即可.
10．（2024高二下·抚州月考）已知函数，，则（ ）
A．1是函数的极值点
B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点
D．当时，函数存在2个零点
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，求导可得，令，解得，
当时，；当时，；
A、由上分析可知：为的极大值点，故A正确；
B、因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故B错误；
C、当，时，恒成立，则在最多有一个零点，故C错误；
D、当时，，又，而，
故且，
令，则，
故在上为减函数，故，
由零点存在定理及的单调性，可得有2个不同的零点，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的导函数，根据导数的符号判断函数的单调性，即可判断AB；根据零点存在定理和最值的符号即可判断CD.
11．（2024高二下·抚州月考） 已知各项均为正数的数列满足：，且，是数列的前n项和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、，变形为，
根据求根公式可知，因为，
所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
，则（），故C正确；
D、
则，，
设，，
，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值0，
所以，即，当时，等号成立，所以，，
所以
，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】将条件变形，利用求根公式，即可求解判断A；根据通项公式求即可判断B；
作除法，和1比较大小，即可判断C；利用通项公式求，再构造函数证明，利用不等式变形，结合等差数列求和，即可证明D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·抚州月考） 等差数列中，，，则的前和为 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列中，，，
所以，解得，
则数列的前和.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，由题意求得公差d，再根据等差数列的求和公式求解即可.
13．（2024高二下·抚州月考）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数 ，求导可得，
当时，解得；当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极大值为 ，即函数在开区间内的最大值也是，
又因为， 所以 ， 则实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间内存在最大值，判断极大值点就是最大值点，列式求解即可.
14．（2024高二下·抚州月考） 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，
由题意，有且仅有一解，即只有一解，
则，解得或（舍），
所以，恒成立，
即在上恒成立，
当时，，；
当时，在上恒成立，
记，则，，
令，则，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
综上可知，，即实数的最大值是.
故答案为：.
【分析】根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程，将原问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，再分离参数，构造函数，求导利用导数法求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高二下·抚州月考） 已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在处取得极值-14，所以，
化简得，解得，
经检验，时，符合题意，所以，
故函数，，则，
所以曲线在点处的切线方程为：，即
（2）解：由（1）可知，，
当时，解得或；当时，解得，
即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
且，
故函数在的最小值为，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据函数极值和极值点，列式求得a，b的值，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程即可；
（2）由（1）的结论，利用导数求函数的单调区间，根据单调性求函数在闭区间上的最值即可.
16．（2024高二下·抚州月考）设是数列的前n项和，且，．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为是数列的前n项和，且， ，所以，
化简可得 ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，
所以 ，即 .
（2）解：由（1），则，
故.
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据与的关系化简原式可得，再结合等差数列的概念即可求得；
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可.
17．（2024高二下·抚州月考） 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【答案】（1）解：设包装盒的高为，底面边长为，
由题意得，
则 ，
当时，取得最大值 ，故的取值为15.
（2）解：包装盒的容积为 ，，
令，解得(舍)，或，
则当时，；当时，
故当时，容积取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为，
即包装盒的高与底面边长的比值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，结合二次函数的性质求解即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，求导利用导数判断函数的单调性，求最大值以及包装盒的高与底面边长的比值即可．
18．（2024高二下·抚州月考） 已知函数.
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，证明：；
（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；
当时，若，解得，若，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上 单调递减.
（2）证明：当时，函数，，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，因为，所以.
（3）解：构造函数，问题转化为恒成立，函数定义域为，，
当时，，函数单调递增，且，关于x的不等式不成立；
当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，令，，函数单调递减，
又因为，所以当时，，故整数的最小值为3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，结合（1）的结论求函数的最值，证明即可；
（3）构造函数，问题转化为恒成立，分，讨论，结合导数的几何意义求解即可.
19．（2024高二下·抚州月考）已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推. 设该数列的前 项和为 ，
规定：若 使得，则称 为该数列的“佳幂数”.
（1） 将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前 3 个“佳幂数”；
（2） 试判断 50 是否为“佳幂数”，并说明理由；
（3） (i) 求满足 的最小的“佳幂数”； (ii) 证明：该数列的“佳幂数”有无数个.
【答案】（1）解：因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，所以2，3为该数列的“佳幂数”；
故该数列的前3个“佳幂数”为：1，2，3；
（2）解：由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
第k组：，
则该数列的前项的和为：，①
当时，，则 ，
由于，对 ，，
故50不是“佳幂数”.
（3）解：（i）在①中，要使，有，
此时，
所以是第组等比数列的部分项的和，
设
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”；
（ii）由（i）知：
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【知识点】等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据 “ 佳幂数 ” 的定义求解即可 ；
(2)先根据题意确定前9项有45个数，所以，不能表示为，因此判断不是“佳幂数”；
(3)(i)因为，所以，结合条件确定t的最小值，解得最小的“佳幂数”；
(ii)由得“佳幂数”有无数个.
1 / 1江西省抚州市四校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．（2024高二下·抚州月考） 已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·抚州月考） 已知函数，则其在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·抚州月考） 在等差数列中，首项，前3项和为6，则等于（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
4．（2024高二下·抚州月考）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
5．（2024高二下·抚州月考）已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（ ）
A．或 B． C．2 D．
6．（2024高二下·抚州月考）已知函数，则的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·抚州月考） “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·抚州月考）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·抚州月考） 下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·抚州月考）已知函数，，则（ ）
A．1是函数的极值点
B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点
D．当时，函数存在2个零点
11．（2024高二下·抚州月考） 已知各项均为正数的数列满足：，且，是数列的前n项和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·抚州月考） 等差数列中，，，则的前和为 .
13．（2024高二下·抚州月考）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是 .
14．（2024高二下·抚州月考） 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高二下·抚州月考） 已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
16．（2024高二下·抚州月考）设是数列的前n项和，且，．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
17．（2024高二下·抚州月考） 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
18．（2024高二下·抚州月考） 已知函数.
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，证明：；
（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
19．（2024高二下·抚州月考）已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推. 设该数列的前 项和为 ，
规定：若 使得，则称 为该数列的“佳幂数”.
（1） 将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前 3 个“佳幂数”；
（2） 试判断 50 是否为“佳幂数”，并说明理由；
（3） (i) 求满足 的最小的“佳幂数”； (ii) 证明：该数列的“佳幂数”有无数个.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、假设，则，故A错误；
B、假设，则，故B错误；
C、假设，则，故C错误；
D、假设，，逐项验证符合，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据选项逐项检验判断即可.
2．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，求导可得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
3．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，则.
故答案为：A.
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求出公差，结合等差数列的通项公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和 ，满足，
所以，整理可得：，
所以等差数列为递增数列，又因为，所以，，
所以当且时，；当且时，；
故有最小值，最小值为.
故答案为：D.
【分析】将已知不等式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，再由可得和的符号，即可判断的最小值.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，求导可得，
当时，解得或；当时，解得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值；当时，取得极小值，
因为与恰好为的两个极值点，所以，且，
又因为，且，所以.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，结合导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，可得，且，再结合等比数列的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象；函数的值；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设函数定义域为，求导可得，
当时，解得；当时，解得，
故函数在单调递增，在上单调递减，
且，，得或时，排除选项A，C；
因为的定义域为，排除D.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域判断D；设函数，求导利用导数判断函数的单调性以及或时函数值的正负判断AC，从而可得正确答案.
7．【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
则，
因为，，
所以，
所以，即.
故答案为：D．
【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法求解即可．
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，求导可得，
因为函数在上单调递增，所以在恒成立，
即恒成立，
设，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
函数的最小值为，即，则正实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.
9．【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求导判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，求导可得，令，解得，
当时，；当时，；
A、由上分析可知：为的极大值点，故A正确；
B、因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故B错误；
C、当，时，恒成立，则在最多有一个零点，故C错误；
D、当时，，又，而，
故且，
令，则，
故在上为减函数，故，
由零点存在定理及的单调性，可得有2个不同的零点，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的导函数，根据导数的符号判断函数的单调性，即可判断AB；根据零点存在定理和最值的符号即可判断CD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、，变形为，
根据求根公式可知，因为，
所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
，则（），故C正确；
D、
则，，
设，，
，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值0，
所以，即，当时，等号成立，所以，，
所以
，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】将条件变形，利用求根公式，即可求解判断A；根据通项公式求即可判断B；
作除法，和1比较大小，即可判断C；利用通项公式求，再构造函数证明，利用不等式变形，结合等差数列求和，即可证明D.
12．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列中，，，
所以，解得，
则数列的前和.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，由题意求得公差d，再根据等差数列的求和公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数 ，求导可得，
当时，解得；当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极大值为 ，即函数在开区间内的最大值也是，
又因为， 所以 ， 则实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间内存在最大值，判断极大值点就是最大值点，列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，
由题意，有且仅有一解，即只有一解，
则，解得或（舍），
所以，恒成立，
即在上恒成立，
当时，，；
当时，在上恒成立，
记，则，，
令，则，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
综上可知，，即实数的最大值是.
故答案为：.
【分析】根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程，将原问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，再分离参数，构造函数，求导利用导数法求最值即可.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在处取得极值-14，所以，
化简得，解得，
经检验，时，符合题意，所以，
故函数，，则，
所以曲线在点处的切线方程为：，即
（2）解：由（1）可知，，
当时，解得或；当时，解得，
即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
且，
故函数在的最小值为，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据函数极值和极值点，列式求得a，b的值，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程即可；
（2）由（1）的结论，利用导数求函数的单调区间，根据单调性求函数在闭区间上的最值即可.
16．【答案】（1）解：因为是数列的前n项和，且， ，所以，
化简可得 ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，
所以 ，即 .
（2）解：由（1），则，
故.
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据与的关系化简原式可得，再结合等差数列的概念即可求得；
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可.
17．【答案】（1）解：设包装盒的高为，底面边长为，
由题意得，
则 ，
当时，取得最大值 ，故的取值为15.
（2）解：包装盒的容积为 ，，
令，解得(舍)，或，
则当时，；当时，
故当时，容积取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为，
即包装盒的高与底面边长的比值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，结合二次函数的性质求解即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，求导利用导数判断函数的单调性，求最大值以及包装盒的高与底面边长的比值即可．
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，即函数单调递增；
当时，若，解得，若，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，函数单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上 单调递减.
（2）证明：当时，函数，，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，因为，所以.
（3）解：构造函数，问题转化为恒成立，函数定义域为，，
当时，，函数单调递增，且，关于x的不等式不成立；
当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，令，，函数单调递减，
又因为，所以当时，，故整数的最小值为3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）将代入，结合（1）的结论求函数的最值，证明即可；
（3）构造函数，问题转化为恒成立，分，讨论，结合导数的几何意义求解即可.
19．【答案】（1）解：因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，所以2，3为该数列的“佳幂数”；
故该数列的前3个“佳幂数”为：1，2，3；
（2）解：由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
第k组：，
则该数列的前项的和为：，①
当时，，则 ，
由于，对 ，，
故50不是“佳幂数”.
（3）解：（i）在①中，要使，有，
此时，
所以是第组等比数列的部分项的和，
设
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”；
（ii）由（i）知：
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【知识点】等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据 “ 佳幂数 ” 的定义求解即可 ；
(2)先根据题意确定前9项有45个数，所以，不能表示为，因此判断不是“佳幂数”；
(3)(i)因为，所以，结合条件确定t的最小值，解得最小的“佳幂数”；
(ii)由得“佳幂数”有无数个.
1 / 1
