四川省成都市2024年中考数学试卷
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1.(2024·成都)的绝对值是( )
A.5 B. C. D.
2.(2024·成都)如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的主视图是( )
A. B. C. D.
3.(2024·成都)下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.(2024·成都)在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.(2024·成都)为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神,某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动,其中参赛的六个村得分分别为:55,64,51,50,61,55,则这组数据的中位数是( )
A.53 B.55 C.58 D.64
6.(2024·成都)如图,在矩形中,对角线与相交于点,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.(2024·成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何?其大意是:今有人合伙买琎石,每人出钱,会多出4钱;每人出钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少?设人数为,琎价为,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.(2024·成都)如图,在中,按以下步骤作图:①以点为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,于点,;②分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;③作射线,交于点,交延长线于点.若,,下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9.(2024·成都)若,为实数,且,则的值为 .
10.(2024·成都)分式方程 的解是 .
11.(2024·成都)如图,在扇形中,,,则的长为 .
12.(2024·成都)盒中有枚黑棋和枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,则的值为 .
13.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,已知,,过点作轴的垂线,为直线上一动点,连接,,则的最小值为 .
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14.(2024·成都)(1)计算:.
(2)解不等式组:
15.(2024·成都)2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题,秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念,以园艺为媒介,向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路,某单位准备组织全体员工前往参观,每位员工从其中四条线路(国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线)中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查,并根据调查结果绘制成如下统计图表.
游园线路 人数
国风古韵观赏线 44
世界公园打卡线
亲子互动慢游线 48
园艺小清新线
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的员工共有 人,表中的值为 :
(2)在扇形统计图中,求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数;
(3)若该单位共有2200人,请你根据调查结果,估计选择“园艺小清新线”的员工人数.
16.(2024·成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图,在示意图中,产生日影的杆子垂直于地面,长8尺.在夏至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知,,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺;参考数据:,,,,,)
17.(2024·成都)如图,在中,,为斜边上一点,以为直径作,交于,两点,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,,,求的长和的直径.
18.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点,与轴交于点,点在反比例函数图象上.
(1)求,,的值;
(2)若,,,为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标和的值;
(3)过,两点的直线与轴负半轴交于点,点与点关于轴对称.若有且只有一点,使得与相似,求的值.
四、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19.(2024·成都)如图,,若,,则的度数为 .
20.(2024·成都)若,是一元二次方程的两个实数根,则的值为 .
21.(2024·成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对这个自然数中,任取两数之和大于的取法种数进行了探究.发现:当时,只有一种取法,即;当时,有和两种取法,即;当时,可得;…….若,则的值为 ;若,则的值为 .
22.(2024·成都)如图,在中,,是的一条角平分线,为中点,连接.若,,则 .
23.(2024·成都)在平面直角坐标系中,,,是二次函数图象上三点.若,,则 (填“”或“”);若对于,,,存在,则的取值范围是 .
五、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24.(2024·成都)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17500元从农户处购进A,B两种水果共进行销售,其中A种水果收购单价10元/kg,B种水果收购单价15元/kg.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克;
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失,若合作社计划A种水果至少要获得的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
25.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:与轴交于A,B两点(点在点的左侧),其顶点为,是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段的长;
(2)当时,若的面积与的面积相等,求的值;
(3)延长交轴于点,当时,将沿方向平移得到.将抛物线平移得到抛物线,使得点,都落在抛物线上.试判断抛物线与是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
26.(2024·成都)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中,,,.
(1)【初步感知】
如图1,连接,,在纸片绕点旋转过程中,试探究的值.
(2)【深入探究】
如图2,在纸片绕点旋转过程中,当点恰好落在的中线的延长线上时,延长交于点,求的长.
(3)【拓展延伸】
在纸片绕点旋转过程中,试探究,,三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形的面积;若不能,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解:|-5|=-(-5)=5.
故答案为:A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数,而只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2.【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解:从正面看,底层是三个小正方形,上层的左边是一个小正方形.
故答案为:A.
【分析】主视图,就是从正面看得到的正投影,弄清楚小正方形的层数、列数及各层各列小正方形的个数即可.
3.【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;合并同类项法则及应用;积的乘方运算
【解析】【解答】解:A、(3x)2=9x2,故此选项计算错误,不符合题意;
B、3x与3y不是同类项,不能合并,故此选项计算错误,不符合题意;
C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故此选项计算错误,不符合题意;
D、(x+2)(x-2)=x2-4,故此选项计算正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】由积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,据此可判断A选项;整式加法的实质就是合并同类项,所谓同类项就是所含字母相同,而且相同字母的指数也分别相同的项,同类项与字母的顺序没有关系,与系数也没有关系,合并同类项的时候,只需要将系数相加减,字母和字母的指数不变,但不是同类项的一定就不能合并,从而即可判断B选项;由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项;根据平方差公式,两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差,可判断D选项.
4.【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(-1,4).
故答案为:B.
【分析】根据关于原点对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数,可得答案.
5.【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解:把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64,
∴这组数据的中位数为(55+55)÷2=55.
故答案为:B.
【分析】将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,据此求解即可.
6.【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,且对角线AC与BD相交于点O,
∴AC=BD,OA=OB=OC=OD,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,
故A、B、D选项都不一定正确,只有C选项一定正确.
故答案为:C.
【分析】矩形的性质:矩形的对边相等且平行,对角线相等且互相平分,四个角都是直角,据此逐一判断得出答案.
7.【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设人数为x,琎价为y钱,
由题意得
故答案为:B.
【分析】由“ 每人出钱,会多出4钱 ”可列方程;由“ 每人出钱,又差了3钱 ”可列方程为,联立两方程即可.
8.【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的性质;尺规作图-作角的平分线;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE,故A选项正确,把不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD=3,AB∥CD,
∴∠CBE=∠AEB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=3,
∴BC=AD=AE+ED=5,故B选项正确,不符合题意;
∵AD∥BC,
∴∠FED=∠CBE,
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠F,
∴∠F=∠FED,
∴DE=DF,故C选项正确,符合题意;
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△DFE,
∴,故D选项错误,符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线,据此可判断A选项;由平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC,AB=CD=3,AB∥CD,由二直线平行,内错角相等及等量代换得∠ABE=∠AEB,由等角对等边得AB=AE=3,则BC=AD=AE+ED=5,据此可判断B选项;由平行线的性质及等量代换可推出∠F=∠FED,由等角对等边得DE=DF,据此可判断C选项;由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线,所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△DFE,由相似三角形对应边成比例可判断D选项.
9.【答案】1
【知识点】偶次方的非负性;算术平方根的性质(双重非负性);有理数混合运算法则(含乘方)
【解析】【解答】解:∵,,,
∴m+4=0,n-5=0,
∴m=-4,n=5,
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为:1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性,由两个非负数的和为零,则每一个数都等于零可求出m、n得值,进而再代入待求式子计算可得答案.
10.【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解:去分母得:x=3(x﹣2),
去括号得:x=3x﹣6,
解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
11.【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:lAB = nπr180=120π×6180=4π .
故答案为:.
【分析】直接根据弧长计算公式“”计算可得答案.
12.【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:由题意可得,
∴8x=3x+3y,
∴5x=3y,
∴
故答案为:.
【分析】根据概率公式可得盒子中黑棋的数量比上盒子中棋子的总数量=从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率,列出方程,再求解即可.
13.【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称;坐标系中的两点距离公式;将军饮马模型-一线两点(一动两定)
【解析】【解答】解:如图,作点A关于直线l的对称点A'点,连接OA'交l于点P',再连接P'A,
∴P'A=P'A',
∴P'O+P'A=P'O+P'A'=OA',即当点P运动到P'点位置时,OP+PA的值最小为OA'
根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为OA',
∵过点B(0,2)作y轴的垂线l,点A(3,0)与点A'关于直线l对称,
∴A'(3,4),
∴OA'=,即PO+PA的最小值为5.
故答案为:5.
【分析】作点A关于直线l的对称点A'点,连接OA'交l于点P',再连接P'A,由轴对称的性质可得P'O+P'A=P'O+P'A'=OA',即当点P运动到P'点位置时,OP+PA的值最小,根据轴对称点的坐标特点找出点A'的坐标,进而根据平面直角坐标系中任意两点间的距离公式计算出OA'即可.
14.【答案】(1)解:原式
=5
(2)解:由①得x≥-2,
由②得x<9,
∴该不等式组的解集为-2≤x<9.
【知识点】解一元一次不等式组;求特殊角的三角函数值;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先计算算术平方根、0指数幂及绝对值,同时代入特殊锐角三角函数值,再计算乘法,最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可;
(2)分别解出不等式组中两个不等式的解集,根据口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了确定出解集即可.
15.【答案】(1)160;40
(2)解:在扇形统计图中,“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为:;
(3)解:该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为:(人).
【知识点】用样本估计总体;统计表;扇形统计图
【解析】【解答】解:(1) 本次调查的员工人数为48÷30%=160(人);
选择“ 世界公园打卡线 ”的人数x=160×=40(人);
故答案为:160;40;
【分析】(1)根据统计图表提供的信息,用本次调查选择“ 亲子互动慢游线 ”的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的员工总数;再用本次调查的员工总数乘以选择“ 世界公园打卡线 ”的人数所占的百分比即可求出选择“ 世界公园打卡线 ”的人数x的值;
(2)用360°×选择“国风古韵观赏线”的人数所占的百分比即可估算出在扇形统计图中,“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数;
(3)用该单位的总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”的人数所占的百分比,即可估算出该单位选择“园艺小清新线”的员工人数.
16.【答案】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=73.4°,
,
∵AB=8尺,tan73.4°≈3.35,
(尺);
在Rt△ABD中,∠ABC=90°,∠ADB=26.6°,
,
∵AB=8尺,tan26.6°≈0.50,
(尺);
由题意可知,春分和秋分时日影顶端为CD的中点,
∴春分和秋分时日影长度约为(尺).
【知识点】平行投影;解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】在Rt△ABC中,由∠ACB的正切函数可求出BC的长,在Rt△ABD中,由∠ADB得正切函数可求出BD的长,由题意可知,春分和秋分时日影顶端为CD的中点,从而用可算出分和秋分时日影长度.
17.【答案】(1)证明:∵BD是圆O的直径,∠C=90°,
∴∠DFB=∠C=90°,
∵弧BF=弧BF,
∴∠BDF=∠BEF,
∴△BDF∽△BEC,
∴,
∴;
(2)解:∵∠A=∠CBF,∠ACB=∠BCF,
∴△BCF∽△ACB,
∴,
∴,
∴,,
∴AF=4CF,
又∵,
∴;
∴BC=5,
在Rt△BCF中,∠C=90°,
∴,
由(1)知△BDF∽△BEC,
∴∠CBE=∠FBD,
∴∠CBE-∠EBF=∠FBD-∠EBF,
∴∠CBF=∠EBD,
又∵∠A=∠CBF,
∴∠A=∠DBF,
∴AE=BE,
,
,
设CE=x,则,
在Rt△BCE中,∵BC2+CE2=BE2,
∴,
解得,即,
∴
由(1)得△BDF∽△BEC,
∴,
∴,
∴
∴的直径为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)由直径所对圆周角等90°得∠DFB=∠C=90°,由同弧所对圆周角相等得∠BDF=∠BEF,从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似,得△BDF∽△BEC,根据相似三角形对应边成比例得,最后将比例式改写成等积式即可;
(2)由有两组角对应相等得两个三角形相似,得△BCF∽△ACB,由相似三角形对应边成比例并结合正切函数的定义可得,据此可求出AF、CF、BC得长,在Rt△BCF中,由勾股定理算出BF的长;由相似三角形的对应角相等、等式性质并结合已知推出∠A=∠DBF,由等角对等边得AE=BE,设CE=x,则,在Rt△BCE中,由勾股定理建立方程可求出x的值,从而得到CE、BE得长,最后由△BDF∽△BEC,得对应边成比例建立方程可求出BD的长,从而得到答案.
18.【答案】(1)解:将点A(2,a)代入y=2x,得2×2=a,
∴a=4,
∴A(2,4);
将点A(2,4)代入y=-x+m得-2+m=4,
∴m=6,
∴ 一次函数的解析式为y=-x+6;
令y=-x+6中的y=0得-x+6=0,
解得x=6,
∴B(6,0),
∴b=6;
(2)解:∵点C在反比例函数图象上,
∴设,
由(1)知A(2,4),B(6,0),O(0,0),
分类讨论:
①当AC、BO为平行四边形的对角线时,AC与BO的中点重合,
∴,
解得符合题意,
∴C(4,-4);
②当CB、AO为平行四边形的对角线时,CB与AO的中点重合,
∴
解得符合题意,
∴C(-4,-4);
③当CO、AB为平行四边形的对角线时,CO与AB的中点重合,
∴
解得,不符合题意,
综上所述点C的坐标为(-4,4,)或(4,-4),k=-16;
(3)解:如图,
设直线AC的解析式为y=px+q,把A(2,4)代入得2p+q=4,
∴q=4-2p,
∴直线AC的解析式为y=px+4-2p,
令y=px+4-2p中的y=0,得,
,
∵点E与点D关于y轴对称,
,
∵B(6,0),
,,
∵△ABD与△ABE相似,
∴点E只能在B左侧,
∴∠ABE=∠DBA,
∴△ABD与△ABE相似,只需要,即,
∵A(2,4),B(6,0),
∴AB2=(2-6)2+(4-0)2=32,
,
解得p=1,
经检验,p=1满足题意;
∴直线AC的解析式为y=x+2,
∵ 有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,
∴直线AC与反比例函数图象只有一个交点,
∴只有一个解,
即x2+2x-k=0有两个相等的实数根,
∴△=22+4k=0,
解得k=1,
∴k得值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质;相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)将点A(2,a)代入正比例函数y=2x,可求出a的值,从而得到点A的坐标;将点A的坐标代入一次函数y=-x+m可算出m的值,从而得到一次函数的解析式;令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值,可得点B的坐标,从而此题得解;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特点设,分类讨论:①当AC、BO为平行四边形的对角线时,AC与BO的中点重合,②当CB、AO为平行四边形的对角线时,CB与AO的中点重合,③当CO、AB为平行四边形的对角线时,CO与AB的中点重合,分别结合中点坐标公式建立方程组,求解并检验即可得出符合题意得点C的坐标及k的值;
(3)利用待定系数法结合点A的坐标求出直线AC的解析式为y=px+4-2p,令直线AC解析式中y=0算出对应自变量x的值可得点D的坐标,进而根据关于y轴对称的点的坐标特点可得点E的坐标,根据平面内两点间的距离公式表示出BE、BD;由△ABD与△ABE相似,得点E只能在B左侧,故∠ABE=∠DBA,则△ABD与△ABE相似,只需要,即,据此建立方程可求出p=1得到直线AC的解析式,根据有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,可得直线AC与反比例函数图象只有一个交点,则联立两函数解析式得到关于字母x的方程有两个相等的实数根,根据根的判别式可建立方程求解即可.
19.【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理;全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解:∵△ABC≌△CDE,∠ACB=45°,
∴∠ACB=∠E=45°,
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为:100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°,进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
20.【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,
∴n2-5n+2=0,m+n=5,
∴n2-5n=-2,m=5-n
∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=5-n+n2-4n+4=n2-5n+9=-2+9=7.
故答案为:7.
【分析】由一元二次方程根的定义及根与系数的关系得n2-5n=-2,m=5-n,然后将待求式子利用完全平方公式展开代入m=5-n,合并同类项后再整体代入n2-5n=-2,计算有理数的加法即可得出答案.
21.【答案】9;144
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解:当n=2时,从1,2这两个自然数中任取两数之和大于2的取法有{1,2}, 一种取法 ,∴k=1;
当n=3时,从1,2,3这三个自然数中任取两数之和大于3的取法有{3,2},{3,1}, 两种取法 ,∴k=2;
当n=4时,从1,2,3,4这两个自然数中任取两数之和大于4的取法有{4,3},{4,2},{4,1},{3,2}, 四种取法 ,∴k=4=3+1;
当n=5时,从1,2,3,4,5这五个自然数中任取两数之和大于5的取法有{5,4},{5,3},{5,2},{5,1},{4,3},{4,2}, 七种取法 ,∴k=6=4+2;
当n=6时,从1,2,3,4,5,6这六个自然数中任取两数之和大于6的取法有{6,5},{6,4},{6,3},{6,2},{6,1},{5,4},{5,3},{5,2},{4,3}, 九种取法 ,∴k=9=5+3+1;
……
当n是偶数时,k就等于自然数1~n中奇数的和,当n是奇数时,k就等于自然数1~n中偶数的和,
∴当n=24时,k=1+3+5+……+21+23=.
故答案为:9;144.
【分析】根据题干的阅读材料,用列举法列举出当n=6时,从1,2,3,4,5,6中取两个数的和大于6的所有情况,即可得出第一空k的值;然后观察n=2、n=3,n=4时,k的值,就会发现规律:当n是偶数时,k就等于自然数1~n中奇数的和,当n是奇数时,k就等于自然数1~n中偶数的和,据此即可算出n=24时,k的值.
22.【答案】
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解:如图,连接EC,过点E作EF⊥CD于点F,
设BD=x,则BC=BD+CD=x+2,
∵CE=ED,EF⊥CD,
∴CF=DF=CD=1,
∴BF=BD+FD=x+1,
∵△ACD中,∠ACD=90°,点E是AD的中点,
∴AE=CE=ED,
∴∠EAC=∠ACE,∠ECD=∠EDC,
∴∠CED=2∠CAD,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE,
∴∠BEC=∠EDC,
又∵∠ECD=∠BCE,
∴△BEC∽△EDC,
∴,∠CED=∠CBE,
∴CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4;
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAB=2∠CAE,
∴∠CAB=∠CED=∠CBE,
∵∠ACB=∠BFE=90°,
∴△ABC∽△BEF,
∴,
在△ACD中点E是AD的中点,点F是CD的中点,
∴AC=2EF,
∴
∴2EF2=(x+1)(x+2)
∵在Rt△CEF中,EF2=CE2-CF2, ∴ (x+1)(x+2)2=2x-4-12
解得,(不符合题意,舍去)
.
故答案为:.
【分析】 连接EC,过点E作EF⊥CD于点F,设BD=x,则BC=BD+CD=x+2,由等腰三角形的三线合一得CF=DF= CD=1,则BF=x+1;由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=ED,由等边对等角推出∠BEC=∠EDC,结合公共角∠ECD=∠BCE,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEC∽△EDC,由相似三角形对应边成比例得CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4;由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE,由角平分线定义、三角形外角性质及等量代换得∠CAB=∠CED=∠CBE,结合∠ACB=∠BFE=90°,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF,由相似三角形对应边成比例得, 由三角形中位线定理得AC=2EF,则可得2EF2=(x+1)(x+2),进而在Rt△CEF中,利用勾股定理建立方程可求出x的值,从而得出答案.
23.【答案】;
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:∵抛物线y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下,抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小;
∵0<x1<1,x2>4,
∴2-x1<x2-2,即点A比点B离对称轴直线的距离近,
∴y1>y2;
由题意得x1<x2<x3,
又∵对于m<x1<m+1,m+1<x1<m+2,m+2<x1<m+3,存在y1<y3<y2,
∴x1<2,x3>2,且A点离对称轴直线的距离最远,B点离对称轴直线的距离最近,
∴2-x1>x3-2>|x2-2|,
∴x1+x3<4,且x2+x3>4,
∵2m+2<x1+x3<2m+4,2m+3<x2+x3<2m+5,
∴2m+2<4,2m+5>4,
解得.
故答案为:>;.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式,可得抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下,抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小,进而比较出A、B两点距离纵坐标直线的距离的大小即可判断y1与y2的大小;由题意得x1<x2<x3,结合y1<y3<y2,可得x1<2,x3>2,且A点离对称轴直线的距离最远,B点离对称轴直线的距离最近,即2-x1>x3-2>|x2-2|,进而结合不等式性质可列出关于字母m的不等式组,求解即可.
24.【答案】(1)解:设A种水果xkg,B种水果ykg,
由题意得,
解得,
答:A种水果购进1000千克,B种水果购进500千克;
(2)解:设A种水果最低售价为m元/kg,由题意得
1000(1-4%)m≥1000×10(1+20%)
解得m≥12.5,
∴m的最小值为12.5,
答:A种水果的最低销售单价为12.5元/kg.
【知识点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克,利用总价=单价×数量,结合该合作社用1 7500元从农户处购进A,B两种水果共1500千克, 可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2))设A种水果的销售单价为m元/千克,利用销售单价×销售数量=收购单价×购进数量+利润, 可列出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
25.【答案】(1)解:令y=ax2-2ax-3a(a>0)中的y=0,
可得ax2-2ax-3a=0,
∵a>0,
∴原方程整理得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4;
(2)解:当a=1时,过D作DM∥y轴交x轴于M,DN∥x轴交AC于N,如图:
∴y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴C(1,﹣4),
设直线AC为y=bx+c,
将A(﹣1,0),C(1,﹣4)分别代入得,
解得
∴直线AC解析式为y=﹣2x﹣2,
设 D(n,n2﹣2n﹣3),(0<n<3),
在y=﹣2x﹣2中,令y=n2﹣2n﹣3得x=,
∴N(,n2﹣2n﹣3),
∴DN=n﹣=,
∴S△ACD=DN |yA﹣yC|=××4=n2﹣1;
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等,
而S△ABD=AB |yD|=×4×(﹣n2+2n+3)=﹣2n2+4n+6,
∴n2﹣1=﹣2n2+4n+6,
解得n=﹣1(舍去)或n=,
∴D(,﹣),
∴BM=3﹣=,DM=,
∴tan∠ABD===;
∴tan∠ABD的值为;
(3)解:抛物线L'与L交于定点,理由如下:
过D作DM⊥x轴于M,如图:
设D(m,am2﹣2am﹣3a),则AM=m+1,DM=﹣am2+2am+3a,
∵AD=DE,
∴EM=AM=m+1,
将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB',相当于将△ADB向右平移(m+1)个单位,再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位,
又A(﹣1,0),B(3,0),
∴A'(m,﹣am2+2am+3a),B'(m+4,﹣am2+2am+3a),
设抛物线L'解析式为y=ax2+bx+c(a>0),
∵点A',B'都落在抛物线L'上,
∴
解得:,
∴抛物线L'解析式为y=ax2+(﹣2am﹣4a)x+6am+3a,
由ax2﹣2ax﹣3a=ax2+(﹣2am﹣4a)x+6am+3a得:
(m+1)x=3m+3,
解得:x=3,
∴抛物线L'与L交于定点(3,0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用;等腰三角形的性质-三线合一;二次函数图象的平移变换;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)令y=ax2-2ax-3a(a>0)中的y=0,算出对应的自变量x的值,从而即可求出点A、B的坐标,进而根据两点间间的距离公式计算可得AB的长;
(2)当a=1时,过D作DM∥y轴交x轴于M,DN∥x轴交AC于N,将a=1代入y=ax2-2ax-3a得到抛物线的解析式,再将抛物线的解析式配成顶点式,可得点C的坐标,利用A、C得坐标,根据待定系数法求出直线AC的解析式;设 D(n,n2﹣2n﹣3),(0<n<3),根据点的坐标与图形的性质可得N(,n2﹣2n﹣3),根据两点间的距离公式表示出DN,根据三角形面积计算公式及△ACD的面积与△ABD的面积相等,建立出方程,求解并检验得出符合题意的n的值,从而得到点D的坐标,进而再找出DM、BM得长,根据正切函数的定义即可求出tan∠ABD的值;
(3)抛物线L'与L交于定点,理由如下:过D作DM⊥x轴于M,如图:根据点的坐标与图形的性质可设D(m,am2﹣2am﹣3a),根据两点间的距离公式表示出AM、DM得长,由等腰三角形的三线合一得EM=AM=m+1,将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB',相当于将△ADB向右平移(m+1)个单位,再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位,根据点的坐标与图形平移之间的关系可表示出A'、B'得坐标,根据抛物线的平移规律并结合A'及B'得坐标,利用待定系数法求出抛物线l'得解析式,联立两抛物线求解即可求出x的值,从而得到定点坐标.
26.【答案】(1)解:在△ABC中,∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∵AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴AC=AE=5,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∵
∴△ABD∽△ACE,
∴
∴的值为;
(2)解:连接CE,延长BM交CE于点Q,连接AQ交EF于点P,延长EF交BC于点N,
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线,
∴AM=BM=CM=AC=,
∴∠ABM=∠BAM,
∵AB=AD,
∴∠ABM=∠ADB,
∴∠BAM=∠ADB,
∵∠ABM=∠DBA,
∴△ABM∽△DBA,
∴,即
∴BD=,
∴DM=BD﹣BM=
∵∠EAD=∠CAB=∠ABD=∠ADB,
∴DM∥AE,
∴△FDM∽△FEA,
∴,即
解得FM=,
∴CF=CM﹣FM=;
(3)解:直角三角形的面积分别为4,16,12,.
【知识点】相似三角形的判定与性质;同角三角函数的关系;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:
①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD DE=×(5﹣3)×4=4;
②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD DE=×(5+3)×4=16;
③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,如图,
∵AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,
∴四边形ADEQ是矩形,
∴AD=EQ=3,AQ=DE=4,
∵AE=AC=5,AQ⊥CE,
∴CE=2EQ=6,
∴S△CDE=AQ CE=×4×6=12;
④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,
∵DC⊥EC,AQ⊥EC,
∴AQ∥DC,
∵AC=CE,AQ⊥EC,
∴EQ=CQ,
∴NQ是△CDE的中位线,
∴ND=NE=DE=2,CD=2NQ,
∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°,
∴∠DAN=∠QEN,
∴tan∠DAN=tan∠QEN,
∴,
∴
∴NQ=EQ,
∵NQ2+EQ2=NE2,
∴(EQ)2+EQ2=22,
解得EQ=,
∴CE=2EQ=,NQ=EQ=,
∴CD=2NQ=,
∴S△CDE=CD CE=××=.
综上所述,直角三角形CDE的面积为4或16或12或.
【分析】(1)在△ABC中,先利用勾股定理算出AC的长,然后由SAS判断出△ABC≌△ADE,由全等三角形的性质得AC=AE=5,∠BAC=∠DAE,由等式的性质推出∠BAD=∠CAE,结合,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ABD∽△ACE,由相似三角形对应边成比例可得结论;
(2)连接CE,延长BM交CE于Q,连接AQ交EF于点P,延长EF交BC于点N,由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AM=BM=CM=AC=,由等边对等角得∠ABM=∠BAM,∠ABM=∠ADB,则∠BAM=∠ADB,从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△ABM∽△DBA,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD的长,根据全等三角形对应角相等及等量代换可推出∠EAD=∠ADB,由内错角相等,两直线平行,得AE∥BD,由平行于三角形一边的直线截其它两边,所截三角形与原三角形相似得△FDM∽△FEA,再由相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM的长,进而根据CF=CM-FM即可算出答案;
(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:分情况讨论:①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,画出草图,进而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,画出草图,进而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,根据题意画出草图,根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADEQ是矩形,由矩形得对边相等得AD=EQ=3,AQ=DE=4,根据等腰三角形的三线合一得CE=2EQ=6,从而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AQ∥DC,由等腰三角形的三线合一得EQ=CQ,从而根据三角形的中位线定理得ND=NE=DE=2,CD=2NQ,由直角三角形的两锐角互余、并结合对顶角相等及等角得余角相等得∠DAN=∠QEN,由等角得同名三角函数值相等结合正切函数的定义可得,据此NQ=EQ,在Rt△ENQ中,利用勾股定理建立方程可求出EQ的长,进而计算求出CD的长,最后根据三角形面积计算公式计算即可,综上即可得出答案.
1 / 1四川省成都市2024年中考数学试卷
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1.(2024·成都)的绝对值是( )
A.5 B. C. D.
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解:|-5|=-(-5)=5.
故答案为:A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数,而只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
2.(2024·成都)如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解:从正面看,底层是三个小正方形,上层的左边是一个小正方形.
故答案为:A.
【分析】主视图,就是从正面看得到的正投影,弄清楚小正方形的层数、列数及各层各列小正方形的个数即可.
3.(2024·成都)下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;合并同类项法则及应用;积的乘方运算
【解析】【解答】解:A、(3x)2=9x2,故此选项计算错误,不符合题意;
B、3x与3y不是同类项,不能合并,故此选项计算错误,不符合题意;
C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故此选项计算错误,不符合题意;
D、(x+2)(x-2)=x2-4,故此选项计算正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】由积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,据此可判断A选项;整式加法的实质就是合并同类项,所谓同类项就是所含字母相同,而且相同字母的指数也分别相同的项,同类项与字母的顺序没有关系,与系数也没有关系,合并同类项的时候,只需要将系数相加减,字母和字母的指数不变,但不是同类项的一定就不能合并,从而即可判断B选项;由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项;根据平方差公式,两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差,可判断D选项.
4.(2024·成都)在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解:点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(-1,4).
故答案为:B.
【分析】根据关于原点对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数,可得答案.
5.(2024·成都)为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神,某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动,其中参赛的六个村得分分别为:55,64,51,50,61,55,则这组数据的中位数是( )
A.53 B.55 C.58 D.64
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解:把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64,
∴这组数据的中位数为(55+55)÷2=55.
故答案为:B.
【分析】将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,据此求解即可.
6.(2024·成都)如图,在矩形中,对角线与相交于点,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,且对角线AC与BD相交于点O,
∴AC=BD,OA=OB=OC=OD,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,
故A、B、D选项都不一定正确,只有C选项一定正确.
故答案为:C.
【分析】矩形的性质:矩形的对边相等且平行,对角线相等且互相平分,四个角都是直角,据此逐一判断得出答案.
7.(2024·成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何?其大意是:今有人合伙买琎石,每人出钱,会多出4钱;每人出钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少?设人数为,琎价为,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:设人数为x,琎价为y钱,
由题意得
故答案为:B.
【分析】由“ 每人出钱,会多出4钱 ”可列方程;由“ 每人出钱,又差了3钱 ”可列方程为,联立两方程即可.
8.(2024·成都)如图,在中,按以下步骤作图:①以点为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,于点,;②分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;③作射线,交于点,交延长线于点.若,,下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的性质;尺规作图-作角的平分线;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE,故A选项正确,把不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD=3,AB∥CD,
∴∠CBE=∠AEB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=3,
∴BC=AD=AE+ED=5,故B选项正确,不符合题意;
∵AD∥BC,
∴∠FED=∠CBE,
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠F,
∴∠F=∠FED,
∴DE=DF,故C选项正确,符合题意;
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△DFE,
∴,故D选项错误,符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据作图过程可知BE是∠ABC的角平分线,据此可判断A选项;由平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC,AB=CD=3,AB∥CD,由二直线平行,内错角相等及等量代换得∠ABE=∠AEB,由等角对等边得AB=AE=3,则BC=AD=AE+ED=5,据此可判断B选项;由平行线的性质及等量代换可推出∠F=∠FED,由等角对等边得DE=DF,据此可判断C选项;由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线,所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△DFE,由相似三角形对应边成比例可判断D选项.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9.(2024·成都)若,为实数,且,则的值为 .
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性;算术平方根的性质(双重非负性);有理数混合运算法则(含乘方)
【解析】【解答】解:∵,,,
∴m+4=0,n-5=0,
∴m=-4,n=5,
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为:1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性,由两个非负数的和为零,则每一个数都等于零可求出m、n得值,进而再代入待求式子计算可得答案.
10.(2024·成都)分式方程 的解是 .
【答案】3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解:去分母得:x=3(x﹣2),
去括号得:x=3x﹣6,
解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
11.(2024·成都)如图,在扇形中,,,则的长为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:lAB = nπr180=120π×6180=4π .
故答案为:.
【分析】直接根据弧长计算公式“”计算可得答案.
12.(2024·成都)盒中有枚黑棋和枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,则的值为 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解:由题意可得,
∴8x=3x+3y,
∴5x=3y,
∴
故答案为:.
【分析】根据概率公式可得盒子中黑棋的数量比上盒子中棋子的总数量=从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率,列出方程,再求解即可.
13.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,已知,,过点作轴的垂线,为直线上一动点,连接,,则的最小值为 .
【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称;坐标系中的两点距离公式;将军饮马模型-一线两点(一动两定)
【解析】【解答】解:如图,作点A关于直线l的对称点A'点,连接OA'交l于点P',再连接P'A,
∴P'A=P'A',
∴P'O+P'A=P'O+P'A'=OA',即当点P运动到P'点位置时,OP+PA的值最小为OA'
根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为OA',
∵过点B(0,2)作y轴的垂线l,点A(3,0)与点A'关于直线l对称,
∴A'(3,4),
∴OA'=,即PO+PA的最小值为5.
故答案为:5.
【分析】作点A关于直线l的对称点A'点,连接OA'交l于点P',再连接P'A,由轴对称的性质可得P'O+P'A=P'O+P'A'=OA',即当点P运动到P'点位置时,OP+PA的值最小,根据轴对称点的坐标特点找出点A'的坐标,进而根据平面直角坐标系中任意两点间的距离公式计算出OA'即可.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14.(2024·成都)(1)计算:.
(2)解不等式组:
【答案】(1)解:原式
=5
(2)解:由①得x≥-2,
由②得x<9,
∴该不等式组的解集为-2≤x<9.
【知识点】解一元一次不等式组;求特殊角的三角函数值;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先计算算术平方根、0指数幂及绝对值,同时代入特殊锐角三角函数值,再计算乘法,最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可;
(2)分别解出不等式组中两个不等式的解集,根据口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了确定出解集即可.
15.(2024·成都)2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题,秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念,以园艺为媒介,向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路,某单位准备组织全体员工前往参观,每位员工从其中四条线路(国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线)中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查,并根据调查结果绘制成如下统计图表.
游园线路 人数
国风古韵观赏线 44
世界公园打卡线
亲子互动慢游线 48
园艺小清新线
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的员工共有 人,表中的值为 :
(2)在扇形统计图中,求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数;
(3)若该单位共有2200人,请你根据调查结果,估计选择“园艺小清新线”的员工人数.
【答案】(1)160;40
(2)解:在扇形统计图中,“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为:;
(3)解:该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为:(人).
【知识点】用样本估计总体;统计表;扇形统计图
【解析】【解答】解:(1) 本次调查的员工人数为48÷30%=160(人);
选择“ 世界公园打卡线 ”的人数x=160×=40(人);
故答案为:160;40;
【分析】(1)根据统计图表提供的信息,用本次调查选择“ 亲子互动慢游线 ”的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的员工总数;再用本次调查的员工总数乘以选择“ 世界公园打卡线 ”的人数所占的百分比即可求出选择“ 世界公园打卡线 ”的人数x的值;
(2)用360°×选择“国风古韵观赏线”的人数所占的百分比即可估算出在扇形统计图中,“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数;
(3)用该单位的总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”的人数所占的百分比,即可估算出该单位选择“园艺小清新线”的员工人数.
16.(2024·成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图,在示意图中,产生日影的杆子垂直于地面,长8尺.在夏至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时,杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知,,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺;参考数据:,,,,,)
【答案】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=73.4°,
,
∵AB=8尺,tan73.4°≈3.35,
(尺);
在Rt△ABD中,∠ABC=90°,∠ADB=26.6°,
,
∵AB=8尺,tan26.6°≈0.50,
(尺);
由题意可知,春分和秋分时日影顶端为CD的中点,
∴春分和秋分时日影长度约为(尺).
【知识点】平行投影;解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】在Rt△ABC中,由∠ACB的正切函数可求出BC的长,在Rt△ABD中,由∠ADB得正切函数可求出BD的长,由题意可知,春分和秋分时日影顶端为CD的中点,从而用可算出分和秋分时日影长度.
17.(2024·成都)如图,在中,,为斜边上一点,以为直径作,交于,两点,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,,,求的长和的直径.
【答案】(1)证明:∵BD是圆O的直径,∠C=90°,
∴∠DFB=∠C=90°,
∵弧BF=弧BF,
∴∠BDF=∠BEF,
∴△BDF∽△BEC,
∴,
∴;
(2)解:∵∠A=∠CBF,∠ACB=∠BCF,
∴△BCF∽△ACB,
∴,
∴,
∴,,
∴AF=4CF,
又∵,
∴;
∴BC=5,
在Rt△BCF中,∠C=90°,
∴,
由(1)知△BDF∽△BEC,
∴∠CBE=∠FBD,
∴∠CBE-∠EBF=∠FBD-∠EBF,
∴∠CBF=∠EBD,
又∵∠A=∠CBF,
∴∠A=∠DBF,
∴AE=BE,
,
,
设CE=x,则,
在Rt△BCE中,∵BC2+CE2=BE2,
∴,
解得,即,
∴
由(1)得△BDF∽△BEC,
∴,
∴,
∴
∴的直径为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)由直径所对圆周角等90°得∠DFB=∠C=90°,由同弧所对圆周角相等得∠BDF=∠BEF,从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似,得△BDF∽△BEC,根据相似三角形对应边成比例得,最后将比例式改写成等积式即可;
(2)由有两组角对应相等得两个三角形相似,得△BCF∽△ACB,由相似三角形对应边成比例并结合正切函数的定义可得,据此可求出AF、CF、BC得长,在Rt△BCF中,由勾股定理算出BF的长;由相似三角形的对应角相等、等式性质并结合已知推出∠A=∠DBF,由等角对等边得AE=BE,设CE=x,则,在Rt△BCE中,由勾股定理建立方程可求出x的值,从而得到CE、BE得长,最后由△BDF∽△BEC,得对应边成比例建立方程可求出BD的长,从而得到答案.
18.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点,与轴交于点,点在反比例函数图象上.
(1)求,,的值;
(2)若,,,为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标和的值;
(3)过,两点的直线与轴负半轴交于点,点与点关于轴对称.若有且只有一点,使得与相似,求的值.
【答案】(1)解:将点A(2,a)代入y=2x,得2×2=a,
∴a=4,
∴A(2,4);
将点A(2,4)代入y=-x+m得-2+m=4,
∴m=6,
∴ 一次函数的解析式为y=-x+6;
令y=-x+6中的y=0得-x+6=0,
解得x=6,
∴B(6,0),
∴b=6;
(2)解:∵点C在反比例函数图象上,
∴设,
由(1)知A(2,4),B(6,0),O(0,0),
分类讨论:
①当AC、BO为平行四边形的对角线时,AC与BO的中点重合,
∴,
解得符合题意,
∴C(4,-4);
②当CB、AO为平行四边形的对角线时,CB与AO的中点重合,
∴
解得符合题意,
∴C(-4,-4);
③当CO、AB为平行四边形的对角线时,CO与AB的中点重合,
∴
解得,不符合题意,
综上所述点C的坐标为(-4,4,)或(4,-4),k=-16;
(3)解:如图,
设直线AC的解析式为y=px+q,把A(2,4)代入得2p+q=4,
∴q=4-2p,
∴直线AC的解析式为y=px+4-2p,
令y=px+4-2p中的y=0,得,
,
∵点E与点D关于y轴对称,
,
∵B(6,0),
,,
∵△ABD与△ABE相似,
∴点E只能在B左侧,
∴∠ABE=∠DBA,
∴△ABD与△ABE相似,只需要,即,
∵A(2,4),B(6,0),
∴AB2=(2-6)2+(4-0)2=32,
,
解得p=1,
经检验,p=1满足题意;
∴直线AC的解析式为y=x+2,
∵ 有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,
∴直线AC与反比例函数图象只有一个交点,
∴只有一个解,
即x2+2x-k=0有两个相等的实数根,
∴△=22+4k=0,
解得k=1,
∴k得值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质;相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)将点A(2,a)代入正比例函数y=2x,可求出a的值,从而得到点A的坐标;将点A的坐标代入一次函数y=-x+m可算出m的值,从而得到一次函数的解析式;令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值,可得点B的坐标,从而此题得解;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特点设,分类讨论:①当AC、BO为平行四边形的对角线时,AC与BO的中点重合,②当CB、AO为平行四边形的对角线时,CB与AO的中点重合,③当CO、AB为平行四边形的对角线时,CO与AB的中点重合,分别结合中点坐标公式建立方程组,求解并检验即可得出符合题意得点C的坐标及k的值;
(3)利用待定系数法结合点A的坐标求出直线AC的解析式为y=px+4-2p,令直线AC解析式中y=0算出对应自变量x的值可得点D的坐标,进而根据关于y轴对称的点的坐标特点可得点E的坐标,根据平面内两点间的距离公式表示出BE、BD;由△ABD与△ABE相似,得点E只能在B左侧,故∠ABE=∠DBA,则△ABD与△ABE相似,只需要,即,据此建立方程可求出p=1得到直线AC的解析式,根据有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,可得直线AC与反比例函数图象只有一个交点,则联立两函数解析式得到关于字母x的方程有两个相等的实数根,根据根的判别式可建立方程求解即可.
四、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19.(2024·成都)如图,,若,,则的度数为 .
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理;全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解:∵△ABC≌△CDE,∠ACB=45°,
∴∠ACB=∠E=45°,
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为:100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°,进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
20.(2024·成都)若,是一元二次方程的两个实数根,则的值为 .
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,
∴n2-5n+2=0,m+n=5,
∴n2-5n=-2,m=5-n
∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=5-n+n2-4n+4=n2-5n+9=-2+9=7.
故答案为:7.
【分析】由一元二次方程根的定义及根与系数的关系得n2-5n=-2,m=5-n,然后将待求式子利用完全平方公式展开代入m=5-n,合并同类项后再整体代入n2-5n=-2,计算有理数的加法即可得出答案.
21.(2024·成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对这个自然数中,任取两数之和大于的取法种数进行了探究.发现:当时,只有一种取法,即;当时,有和两种取法,即;当时,可得;…….若,则的值为 ;若,则的值为 .
【答案】9;144
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解:当n=2时,从1,2这两个自然数中任取两数之和大于2的取法有{1,2}, 一种取法 ,∴k=1;
当n=3时,从1,2,3这三个自然数中任取两数之和大于3的取法有{3,2},{3,1}, 两种取法 ,∴k=2;
当n=4时,从1,2,3,4这两个自然数中任取两数之和大于4的取法有{4,3},{4,2},{4,1},{3,2}, 四种取法 ,∴k=4=3+1;
当n=5时,从1,2,3,4,5这五个自然数中任取两数之和大于5的取法有{5,4},{5,3},{5,2},{5,1},{4,3},{4,2}, 七种取法 ,∴k=6=4+2;
当n=6时,从1,2,3,4,5,6这六个自然数中任取两数之和大于6的取法有{6,5},{6,4},{6,3},{6,2},{6,1},{5,4},{5,3},{5,2},{4,3}, 九种取法 ,∴k=9=5+3+1;
……
当n是偶数时,k就等于自然数1~n中奇数的和,当n是奇数时,k就等于自然数1~n中偶数的和,
∴当n=24时,k=1+3+5+……+21+23=.
故答案为:9;144.
【分析】根据题干的阅读材料,用列举法列举出当n=6时,从1,2,3,4,5,6中取两个数的和大于6的所有情况,即可得出第一空k的值;然后观察n=2、n=3,n=4时,k的值,就会发现规律:当n是偶数时,k就等于自然数1~n中奇数的和,当n是奇数时,k就等于自然数1~n中偶数的和,据此即可算出n=24时,k的值.
22.(2024·成都)如图,在中,,是的一条角平分线,为中点,连接.若,,则 .
【答案】
【知识点】勾股定理;相似三角形的判定与性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解:如图,连接EC,过点E作EF⊥CD于点F,
设BD=x,则BC=BD+CD=x+2,
∵CE=ED,EF⊥CD,
∴CF=DF=CD=1,
∴BF=BD+FD=x+1,
∵△ACD中,∠ACD=90°,点E是AD的中点,
∴AE=CE=ED,
∴∠EAC=∠ACE,∠ECD=∠EDC,
∴∠CED=2∠CAD,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE,
∴∠BEC=∠EDC,
又∵∠ECD=∠BCE,
∴△BEC∽△EDC,
∴,∠CED=∠CBE,
∴CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4;
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAB=2∠CAE,
∴∠CAB=∠CED=∠CBE,
∵∠ACB=∠BFE=90°,
∴△ABC∽△BEF,
∴,
在△ACD中点E是AD的中点,点F是CD的中点,
∴AC=2EF,
∴
∴2EF2=(x+1)(x+2)
∵在Rt△CEF中,EF2=CE2-CF2, ∴ (x+1)(x+2)2=2x-4-12
解得,(不符合题意,舍去)
.
故答案为:.
【分析】 连接EC,过点E作EF⊥CD于点F,设BD=x,则BC=BD+CD=x+2,由等腰三角形的三线合一得CF=DF= CD=1,则BF=x+1;由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=ED,由等边对等角推出∠BEC=∠EDC,结合公共角∠ECD=∠BCE,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEC∽△EDC,由相似三角形对应边成比例得CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4;由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE,由角平分线定义、三角形外角性质及等量代换得∠CAB=∠CED=∠CBE,结合∠ACB=∠BFE=90°,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF,由相似三角形对应边成比例得, 由三角形中位线定理得AC=2EF,则可得2EF2=(x+1)(x+2),进而在Rt△CEF中,利用勾股定理建立方程可求出x的值,从而得出答案.
23.(2024·成都)在平面直角坐标系中,,,是二次函数图象上三点.若,,则 (填“”或“”);若对于,,,存在,则的取值范围是 .
【答案】;
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:∵抛物线y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下,抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小;
∵0<x1<1,x2>4,
∴2-x1<x2-2,即点A比点B离对称轴直线的距离近,
∴y1>y2;
由题意得x1<x2<x3,
又∵对于m<x1<m+1,m+1<x1<m+2,m+2<x1<m+3,存在y1<y3<y2,
∴x1<2,x3>2,且A点离对称轴直线的距离最远,B点离对称轴直线的距离最近,
∴2-x1>x3-2>|x2-2|,
∴x1+x3<4,且x2+x3>4,
∵2m+2<x1+x3<2m+4,2m+3<x2+x3<2m+5,
∴2m+2<4,2m+5>4,
解得.
故答案为:>;.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式,可得抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下,抛物线上的点离对称轴的距离越大其对应的函数值就越小,进而比较出A、B两点距离纵坐标直线的距离的大小即可判断y1与y2的大小;由题意得x1<x2<x3,结合y1<y3<y2,可得x1<2,x3>2,且A点离对称轴直线的距离最远,B点离对称轴直线的距离最近,即2-x1>x3-2>|x2-2|,进而结合不等式性质可列出关于字母m的不等式组,求解即可.
五、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24.(2024·成都)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17500元从农户处购进A,B两种水果共进行销售,其中A种水果收购单价10元/kg,B种水果收购单价15元/kg.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克;
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失,若合作社计划A种水果至少要获得的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
【答案】(1)解:设A种水果xkg,B种水果ykg,
由题意得,
解得,
答:A种水果购进1000千克,B种水果购进500千克;
(2)解:设A种水果最低售价为m元/kg,由题意得
1000(1-4%)m≥1000×10(1+20%)
解得m≥12.5,
∴m的最小值为12.5,
答:A种水果的最低销售单价为12.5元/kg.
【知识点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克,利用总价=单价×数量,结合该合作社用1 7500元从农户处购进A,B两种水果共1500千克, 可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2))设A种水果的销售单价为m元/千克,利用销售单价×销售数量=收购单价×购进数量+利润, 可列出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
25.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:与轴交于A,B两点(点在点的左侧),其顶点为,是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段的长;
(2)当时,若的面积与的面积相等,求的值;
(3)延长交轴于点,当时,将沿方向平移得到.将抛物线平移得到抛物线,使得点,都落在抛物线上.试判断抛物线与是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)解:令y=ax2-2ax-3a(a>0)中的y=0,
可得ax2-2ax-3a=0,
∵a>0,
∴原方程整理得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4;
(2)解:当a=1时,过D作DM∥y轴交x轴于M,DN∥x轴交AC于N,如图:
∴y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴C(1,﹣4),
设直线AC为y=bx+c,
将A(﹣1,0),C(1,﹣4)分别代入得,
解得
∴直线AC解析式为y=﹣2x﹣2,
设 D(n,n2﹣2n﹣3),(0<n<3),
在y=﹣2x﹣2中,令y=n2﹣2n﹣3得x=,
∴N(,n2﹣2n﹣3),
∴DN=n﹣=,
∴S△ACD=DN |yA﹣yC|=××4=n2﹣1;
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等,
而S△ABD=AB |yD|=×4×(﹣n2+2n+3)=﹣2n2+4n+6,
∴n2﹣1=﹣2n2+4n+6,
解得n=﹣1(舍去)或n=,
∴D(,﹣),
∴BM=3﹣=,DM=,
∴tan∠ABD===;
∴tan∠ABD的值为;
(3)解:抛物线L'与L交于定点,理由如下:
过D作DM⊥x轴于M,如图:
设D(m,am2﹣2am﹣3a),则AM=m+1,DM=﹣am2+2am+3a,
∵AD=DE,
∴EM=AM=m+1,
将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB',相当于将△ADB向右平移(m+1)个单位,再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位,
又A(﹣1,0),B(3,0),
∴A'(m,﹣am2+2am+3a),B'(m+4,﹣am2+2am+3a),
设抛物线L'解析式为y=ax2+bx+c(a>0),
∵点A',B'都落在抛物线L'上,
∴
解得:,
∴抛物线L'解析式为y=ax2+(﹣2am﹣4a)x+6am+3a,
由ax2﹣2ax﹣3a=ax2+(﹣2am﹣4a)x+6am+3a得:
(m+1)x=3m+3,
解得:x=3,
∴抛物线L'与L交于定点(3,0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用;等腰三角形的性质-三线合一;二次函数图象的平移变换;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)令y=ax2-2ax-3a(a>0)中的y=0,算出对应的自变量x的值,从而即可求出点A、B的坐标,进而根据两点间间的距离公式计算可得AB的长;
(2)当a=1时,过D作DM∥y轴交x轴于M,DN∥x轴交AC于N,将a=1代入y=ax2-2ax-3a得到抛物线的解析式,再将抛物线的解析式配成顶点式,可得点C的坐标,利用A、C得坐标,根据待定系数法求出直线AC的解析式;设 D(n,n2﹣2n﹣3),(0<n<3),根据点的坐标与图形的性质可得N(,n2﹣2n﹣3),根据两点间的距离公式表示出DN,根据三角形面积计算公式及△ACD的面积与△ABD的面积相等,建立出方程,求解并检验得出符合题意的n的值,从而得到点D的坐标,进而再找出DM、BM得长,根据正切函数的定义即可求出tan∠ABD的值;
(3)抛物线L'与L交于定点,理由如下:过D作DM⊥x轴于M,如图:根据点的坐标与图形的性质可设D(m,am2﹣2am﹣3a),根据两点间的距离公式表示出AM、DM得长,由等腰三角形的三线合一得EM=AM=m+1,将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB',相当于将△ADB向右平移(m+1)个单位,再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位,根据点的坐标与图形平移之间的关系可表示出A'、B'得坐标,根据抛物线的平移规律并结合A'及B'得坐标,利用待定系数法求出抛物线l'得解析式,联立两抛物线求解即可求出x的值,从而得到定点坐标.
26.(2024·成都)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中,,,.
(1)【初步感知】
如图1,连接,,在纸片绕点旋转过程中,试探究的值.
(2)【深入探究】
如图2,在纸片绕点旋转过程中,当点恰好落在的中线的延长线上时,延长交于点,求的长.
(3)【拓展延伸】
在纸片绕点旋转过程中,试探究,,三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形的面积;若不能,请说明理由.
【答案】(1)解:在△ABC中,∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∵AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴AC=AE=5,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∵
∴△ABD∽△ACE,
∴
∴的值为;
(2)解:连接CE,延长BM交CE于点Q,连接AQ交EF于点P,延长EF交BC于点N,
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线,
∴AM=BM=CM=AC=,
∴∠ABM=∠BAM,
∵AB=AD,
∴∠ABM=∠ADB,
∴∠BAM=∠ADB,
∵∠ABM=∠DBA,
∴△ABM∽△DBA,
∴,即
∴BD=,
∴DM=BD﹣BM=
∵∠EAD=∠CAB=∠ABD=∠ADB,
∴DM∥AE,
∴△FDM∽△FEA,
∴,即
解得FM=,
∴CF=CM﹣FM=;
(3)解:直角三角形的面积分别为4,16,12,.
【知识点】相似三角形的判定与性质;同角三角函数的关系;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:
①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD DE=×(5﹣3)×4=4;
②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD DE=×(5+3)×4=16;
③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,如图,
∵AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,
∴四边形ADEQ是矩形,
∴AD=EQ=3,AQ=DE=4,
∵AE=AC=5,AQ⊥CE,
∴CE=2EQ=6,
∴S△CDE=AQ CE=×4×6=12;
④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,
∵DC⊥EC,AQ⊥EC,
∴AQ∥DC,
∵AC=CE,AQ⊥EC,
∴EQ=CQ,
∴NQ是△CDE的中位线,
∴ND=NE=DE=2,CD=2NQ,
∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°,
∴∠DAN=∠QEN,
∴tan∠DAN=tan∠QEN,
∴,
∴
∴NQ=EQ,
∵NQ2+EQ2=NE2,
∴(EQ)2+EQ2=22,
解得EQ=,
∴CE=2EQ=,NQ=EQ=,
∴CD=2NQ=,
∴S△CDE=CD CE=××=.
综上所述,直角三角形CDE的面积为4或16或12或.
【分析】(1)在△ABC中,先利用勾股定理算出AC的长,然后由SAS判断出△ABC≌△ADE,由全等三角形的性质得AC=AE=5,∠BAC=∠DAE,由等式的性质推出∠BAD=∠CAE,结合,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ABD∽△ACE,由相似三角形对应边成比例可得结论;
(2)连接CE,延长BM交CE于Q,连接AQ交EF于点P,延长EF交BC于点N,由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AM=BM=CM=AC=,由等边对等角得∠ABM=∠BAM,∠ABM=∠ADB,则∠BAM=∠ADB,从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△ABM∽△DBA,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD的长,根据全等三角形对应角相等及等量代换可推出∠EAD=∠ADB,由内错角相等,两直线平行,得AE∥BD,由平行于三角形一边的直线截其它两边,所截三角形与原三角形相似得△FDM∽△FEA,再由相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM的长,进而根据CF=CM-FM即可算出答案;
(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:分情况讨论:①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,画出草图,进而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,画出草图,进而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,根据题意画出草图,根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADEQ是矩形,由矩形得对边相等得AD=EQ=3,AQ=DE=4,根据等腰三角形的三线合一得CE=2EQ=6,从而根据三角形的面积计算公式直接计算即可;④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AQ∥DC,由等腰三角形的三线合一得EQ=CQ,从而根据三角形的中位线定理得ND=NE=DE=2,CD=2NQ,由直角三角形的两锐角互余、并结合对顶角相等及等角得余角相等得∠DAN=∠QEN,由等角得同名三角函数值相等结合正切函数的定义可得,据此NQ=EQ,在Rt△ENQ中,利用勾股定理建立方程可求出EQ的长,进而计算求出CD的长,最后根据三角形面积计算公式计算即可,综上即可得出答案.
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