第六章 平面向量 单元测试（含解析）

第六章 平面向量 单元测试
一、单选题
1．在锐角中，若，则的范围（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题中：
①∥存在唯一的实数，使得
②为单位向量，且∥，则=±||·；③；
④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则
其中正确命题的序号是 (　　)
A．①⑤ B．②③④ C．②③ D．①④⑤
3．已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量 =（2λ﹣1，λ+1），若 ∥ ，则实数λ等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知与的夹角为，，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．1
5．一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（　　）
A．2km/h B．4km/h C．2km/h D．3km/h
6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 （如图所示），则旗杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面向量 ， ， 满足| |=| |=1， ⊥（ ﹣2 ）， ，则| |的最大值为（　　）
A．0 B． C． D．
8．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 中， 在 方向上的投影为3，D为 的中点， 为 的中点，则下列式子有确定值的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（）
A．命题“，”的否定为“，”
B．在中，若，则
C．若，则的充要条件是
D．若直线与平行，则或2
11．已知点 在平面 内，平面 法向量 ， 则下列点在 内的是（　　）
A． B． C． D．
12．已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90°得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135°得到向量，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知向量，，向量，，若，则实数的值为　 　.
14．已知等边三角形 的边长为2，设 则 的值为　 　.
15．若 ，且 ，则 　 　．
16．已知△ABC中，a=1，C=45°，S△ABC=2，则b=　 　
四、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
18．在 中，设内角 的对边分别为 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值．
20．已知向量 和向量 ，且 ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有 =1， ，求△ABC面积的最大值．
21．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
（1）求 的值；
（2）若 的外接圆面积为 ，试求 的取值范围.
22． 中，角，，对应的边分别是，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为，在锐角中， ，所以π>C+B>，即.。又，所以，，=，故的范围是，选A。
【分析】中档题，本题易错，忽视锐角三角形的隐含条件，不能确定得到，而误选C。
2．【答案】C
【解析】【解答】过举反例可得①④⑤不正确，根据两个向量数量积公式、向量的模的定义可得②③正确．对于①∥存在唯一的实数，使得；当，则实数不唯一，有无数个。
对于②为单位向量，且∥，则=±||·；正确。
对于③；正确
对于④与共线，与共线，则与共线；当不成立
对于⑤若，不正确，因为向量没有除法运算，错误故选C.
3．【答案】B
【解析】【解答】根据题意，点P（﹣3，5），Q（2，1），则 =（5，﹣4），
若 ∥ ，则有5（λ+1）=（﹣4）×（2λ﹣1），
解可得λ=﹣ ；
故选：B．
4．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，所以，解得4.故选B.
5．【答案】A
【解析】【解答】如图所示，
渔船实际航行的速度为
；
大小为
=
=2km/h．
故选：A．
6．【答案】B
【解析】【解答】如图，在△ 中， ， ，所以 ．
根据正弦定理得， ， ，
在Rt△ 中， ．
故答案为B.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设平面向量 ， 的夹角为θ，∵| |=| |=1， ⊥（ ﹣2 ），∴ （ ﹣2 ）= ﹣2 =1﹣2cosθ=0，
解得θ= ．
不妨设 =（1，0）， = . =（x，y）．
∵ ，∴x（x﹣2）+ =0，
化为（x﹣1）2+ = ．
则| |= ≤ + = ．
故选：C．
8．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，得 ，又因为 ，所以 ，得 ，所以 。
故答案为：A。
9．【答案】A,C
【解析】【解答】如图，以A为原点， 的方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，
因为 在 方向上的投影为3，
所以点 的横坐标为5，设 点坐标为 ， ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ， ，
对于A， ，所以A符合题意，
对于B， ，所以B不符合题意，
对于C， ，所以C符合题意，
对于D， ，所以D不符合题意，
故答案为：AC
10．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，命题的否定为： ， ，所以A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，由正弦定理，即有 ，B符合题意；
对于C，由 ，可知 同号，因为 在 和 上单调递减，
若 ，则有 ，即 ；若 ，由 ，可得 ，C符合题意；
对于D，直线 的斜率 存在，
由两直线平行，斜率相等可知 斜率也存在，且斜率 ，
由 得 ，解得 或a=2，但当 时，两直线重合，所以D不符合题意.
故答案为：BC
11．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于B选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内；
对于C选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于D选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内.
故答案为：AC.
12．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：由题意得，，，
所以，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意，
故答案为：BCD．
13．【答案】1
【解析】【解答】因为，，所以.
，.又因为，
所以，即，解得.
故答案为：1．
14．【答案】-6
【解析】【解答】
又因为三角形 是等边三角形，故可得
原式 .
故答案为：-6.
15．【答案】
【解析】【解答】 由题意得 ，则 ，
所以 .
故答案为：-
【分析】由向量垂直，根据向量坐标的数量积运算得到关于x的关系式求tanx，再由两倍角的正切求tan2x。
16．【答案】4
【解析】【解答】∵a=1，C=45°，S△ABC=2，
∴S△ABC=absinC=2，
即×1×b×=2，
即b=4，
故答案为：4
17．【答案】解：（Ⅰ）由
得： ，
∴
∴
所以 ，
∴ ，∵ ，∴ .
（Ⅱ）∵ ， ，
∴
（当且仅 时取等号）
又 ，
∴
【解析】【分析】 （Ⅰ） 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得,结合同角三角函数的基本关系式即可求出从而得到角B的大小。
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 的条件结合余弦定理以及基本不等式即可得出结合由此得到答案。
18．【答案】（1）解；∵
∴
∵
（2）解；
19．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ；
， ；
由余弦定理得： ，
解得： ，
由 得： ， .
20．【答案】（1）解：由题意 ：
可得：

f（x）的最小正周期T=
sinx的图象和性质可知：sin（x+ ）的最大值是1，
∴ 的最大值是2．
所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2
（2）解：由（1）可知 ．
∵ =1，得： ，
∵0＜A＜π，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
又∵ ，即 ，
∴b2+c2﹣bc=3，
又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），
则有：3+bc≥2bc，
∴bc≤3，
∴ ，
所以：△ABC面积的最大值为：
21．【答案】（1）解： 中，由 得 ，即 ，由于 ，所以 ，两边平方得
（2）解：由（1）知 ， ，即 ，所以 为钝角.所以 .设三角形 外接圆半径为 ，则 ，由正弦定理得
由余弦定理得
，所以 .所以 ，即 的取值范围是 .
22．【答案】（1）解：由 ，得 ，
即 ，解得 舍去 ．
因为 ，所以 ．
（2）解：由 ，得到 又 ，解得 ．
由余弦定理得 ，故 ．
又由正弦定理得 ．