蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D D C C C A ACD BD BC
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知等比数列满足，，则等于（ ）
A. B. C. D.
解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，解得，
故.
2. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解：由，故曲线对称轴在曲线的左侧，排除C、D；
由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
解：由题意知，展开式的通项公式为
（其中），
令，解得，
所以展开式的常数项为.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
解：函数函数的定义域为，
设，则，
故为偶函数，其图象关于y轴对称，则B中图象错误；
又当时，，，
由，得，由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
结合选项A，C，D中图象可知只有D中图象符合题意，
5. 的展开式中有理项的项数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解：.
又的展开式的通项，所以.
当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.
6. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A. 84% B. 85% C. 86% D. 87%
解：设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，则，，，，
所以.
7. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
解：将3名医生平均分配到三家医院，有种，
将6名护士按要求平均分配到三家医院，有，
所以不同的分配方法有.
8. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
解：对任意的，且，，
则，令，则，
由单调性的定义知在上为增函数，.
则在上恒成立，即，
也即在上恒成立，
记，因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数a的取值范围为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与均为的最大值
解：根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，
由可得，故C正确；
由可得，则，故A正确；
是各项为正数的等比数列，，
则有，
对于B，，则有，故B错误，
对于D，，则与均为的最大值，D正确.
10. 小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如：若，，则，其中二进制数的各位数中，已知，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
解：由题意，计算器启动一次，随机变量的可能取值为1，2，3，4，5，
则，
，
，
，
，
，
综上A，C错误，B，D正确．
11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B. 曲线在处的切线方程为
C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值
D. 方程有两个不等实根，则实数的取值范围为
解：函数的定义域为，
，，
，解得：或，
所以函数的单调递减区间是和，故A错误；
B.由A选项的证明可知，，，所以曲线在处的切线方程为，故B正确；
CD.由A选项的证明可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是极大值点，
函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以是极小值点，
函数，得，当时，，，，故C正确；
再结合函数的单调性，画出函数的图象，
若与有2个交点，则或，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数在处可导，且，则________．
解：因函数在处可导，
所以.
13. 袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.
解：设甲摸到黑球为事件A，则，
乙摸到白球为事件，则，
则甲摸到黑球的条件下，乙摸到球的概率为.
14. 存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是______．
解：设直线与曲线相切于点，，
所以在点处的切线方程为，
若切线过点，则，
则，
设，，
，，得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的值域是，则的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024 内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
场次编号 1 2 3 4 5
观众人数 0.7 0.8 1 12 1.3
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
解：（1）由表格可知，
，，所以，
则；
（2）根据数据补全表格如下：
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 40 50 90
女性观众 60 50 110
总计 100 100 200
所以，
故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
16. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）当时，讨论函数零点的个数．
解：（1）由题函数定义域为R，为增函数，
所以当时，恒成立，此时为R上的增函数，无极大值也无极小值；
当时，令，
故当时，，在上的单调递减，
当，，在上的单调递增，
所以存在极小值为，无极大值.
综上，当时，无极大值也无极小值；
当时，存在极小值为，无极大值.
（2）当时，
由（1）知在上的单调递减，在上的单调递增，
有最小值为，
所以当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，，又，故有2个零点；
综上，当时， 无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.
17. 已知数列是以公比为1，首项为3的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）数列是首项为1，公比为3的等比数列，
，
当时，
，
即，
，
，，
又也满足上式，
数列的通项公式为，，
（2）由（1），可得，
①，
②，
由①-②，得，
，
不等式可化为，
即对任意的恒成立，
即转化为
令，且易得为递增数列，又，所以，
综上，的取值范围是.
18. 某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组，两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为．假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败．
（1）甲组做了4次试验，求至少1次试验成功的概率；
（2）若甲、乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望．
解：（1）记甲组做了4次实验，至少1次试验成功的概率为事件，
则事件的对立事件为:甲组做了4次实验均失败，
所以.
（2）由题意得，可能的取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3 4
所以
19. 若为上的非负图像连续的函数，点将区间划分为个长度为的小区间．记，若无穷和的极限存在，并称其为区域的精确面积，记为．
（1）若有导函数，则．求由直线以及轴所围成封闭图形面积；
（2）若区间被等分为个小区间，请推证：．并由此计算无穷和极限的值；
（3）求有限项和式的整数部分．
解：（1）所求面积为，因为，
所以，
故所求面积为.
（2）由被等分为个小区间，则，，，当时，，
因为，不妨设，
从而有，
所以；
取，有，，
，令，
则，
，又因为，
所以，
故.
（3），
与直线，，以及轴围成的图形面积为，
由图，与直线，，
以及轴围成的图形面积大于它下方的个长方形面积和，
即，所以，
所以，
由图，同理可知，所以，
所以，
所以的整数部分为.蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知等比数列满足，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 的展开式中有理项的项数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A. 84% B. 85% C. 86% D. 87%
7. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
8. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与均为的最大值
10. 小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如：若，，则，其中二进制数的各位数中，已知，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B. 曲线在处的切线方程为
C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值
D. 方程有两个不等实根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数在处可导，且，则________．
13. 袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.
14. 存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024 内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
场次编号 1 2 3 4 5
观众人数 0.7 0.8 1 12 1.3
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）当时，讨论函数零点的个数．
17. 已知数列是以公比为1，首项为3的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18. 某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组，两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为．假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败．
（1）甲组做了4次试验，求至少1次试验成功的概率；
（2）若甲、乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望．
19. 若为上的非负图像连续的函数，点将区间划分为个长度为的小区间．记，若无穷和的极限存在，并称其为区域的精确面积，记为．
（1）若有导函数，则．求由直线以及轴所围成封闭图形面积；
（2）若区间被等分为个小区间，请推证：．并由此计算无穷和极限的值；
（3）求有限项和式的整数部分．
