安徽省亳州市蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 (原卷版+解析版)

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名称 安徽省亳州市蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 (原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-07-01 16:34:15

文档简介

蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D D C C C A ACD BD BC
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知等比数列满足,,则等于( )
A. B. C. D.
解:根据题意,设等比数列的公比为,
若,,则有,解得,
故.
2. 对A,B两地国企员工上班迟到情况进行统计,可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布,其中A地员工的上班迟到时间为X(单位:min),,对应的曲线为,B地员工的上班迟到时间为Y(单位:min),,对应的曲线为,则下列图象正确的是( )
A. B.
C. D.
解:由,故曲线对称轴在曲线的左侧,排除C、D;
由,故曲线比曲线瘦高,曲线比曲线矮胖,排除A.
3. 的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
解:由题意知,展开式的通项公式为
(其中),
令,解得,
所以展开式的常数项为.
4. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
解:函数函数的定义域为,
设,则,
故为偶函数,其图象关于y轴对称,则B中图象错误;
又当时,,,
由,得,由,得,
故在上单调递减,在上单调递增,
结合选项A,C,D中图象可知只有D中图象符合题意,
5. 的展开式中有理项的项数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解:.
又的展开式的通项,所以.
当x的指数是整数时,该项为有理项,所以当,2,4,6,8时,该项为有理项,即有理项的项数为5.
6. 假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡,是合格品的概率为( )
A. 84% B. 85% C. 86% D. 87%
解:设为甲厂产品,为乙厂产品,表示合格产品,则,,,,
所以.
7. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成,平均分配到三家医院,每家医院分到医生1名和护士2名.其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种.
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
解:将3名医生平均分配到三家医院,有种,
将6名护士按要求平均分配到三家医院,有,
所以不同的分配方法有.
8. 已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解:对任意的,且,,
则,令,则,
由单调性的定义知在上为增函数,.
则在上恒成立,即,
也即在上恒成立,
记,因为的对称轴为,所以在上单调递减,
所以,所以,即实数a的取值范围为.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 设是各项为正数的等比数列,是其公比,是其前项的积,且,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与均为的最大值
解:根据题意,是各项为正数的等比数列,是其公比,是其前项的积,
由可得,故C正确;
由可得,则,故A正确;
是各项为正数的等比数列,,
则有,
对于B,,则有,故B错误,
对于D,,则与均为的最大值,D正确.
10. 小明的计算器坏了,每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如:若,,则,其中二进制数的各位数中,已知,出现0的概率为,出现1的概率为,记,现在计算器启动一次,则下列说法正确的是( )
A. B.
C D.
解:由题意,计算器启动一次,随机变量的可能取值为1,2,3,4,5,
则,





综上A,C错误,B,D正确.
11. 已知函数,下列说法中正确的有( )
A. 函数的单调递减区间为
B. 曲线在处的切线方程为
C. 函数既有极大值又有极小值,且极大值小于极小值
D. 方程有两个不等实根,则实数的取值范围为
解:函数的定义域为,
,,
,解得:或,
所以函数的单调递减区间是和,故A错误;
B.由A选项的证明可知,,,所以曲线在处的切线方程为,故B正确;
CD.由A选项的证明可知,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以是极大值点,
函数在区间单调递减,在区间单调递增,所以是极小值点,
函数,得,当时,,,,故C正确;
再结合函数的单调性,画出函数的图象,
若与有2个交点,则或,故D错误.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 设函数在处可导,且,则________.
解:因函数在处可导,
所以.
13. 袋中装有4个黑球,3个白球,甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球,在甲摸到了黑球的条件下,乙摸到白球的概率是_____.
解:设甲摸到黑球为事件A,则,
乙摸到白球为事件,则,
则甲摸到黑球的条件下,乙摸到球的概率为.
14. 存在过点的直线与曲线相切,则实数的取值范围是______.
解:设直线与曲线相切于点,,
所以在点处的切线方程为,
若切线过点,则,
则,
设,,
,,得,
当,,单调递增,
当,,单调递减,
所以当时,取得最大值,
所以的值域是,则的取值范围是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年2月10日至17日(正月初一至初八),“2024 内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行,共举行了8场精彩的烟花秀节目.前5场的观众人数(单位:万人)与场次的统计数据如表所示:
场次编号 1 2 3 4 5
观众人数 0.7 0.8 1 12 1.3
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系,请建立关于的线性回归方程;
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价,某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况,得到的部分数据如表所示,请将列联表补充完整,并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据:回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为,其中.
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
解:(1)由表格可知,
,,所以,
则;
(2)根据数据补全表格如下:
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 40 50 90
女性观众 60 50 110
总计 100 100 200
所以,
故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
16. 已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,讨论函数零点的个数.
解:(1)由题函数定义域为R,为增函数,
所以当时,恒成立,此时为R上的增函数,无极大值也无极小值;
当时,令,
故当时,,在上的单调递减,
当,,在上的单调递增,
所以存在极小值为,无极大值.
综上,当时,无极大值也无极小值;
当时,存在极小值为,无极大值.
(2)当时,
由(1)知在上的单调递减,在上的单调递增,
有最小值为,
所以当时,,无零点;
当时,,有1个零点;
当时,,又,故有2个零点;
综上,当时, 无零点;
当时,有1个零点;
当时,有2个零点.
17. 已知数列是以公比为1,首项为3的等比数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)数列是首项为1,公比为3的等比数列,

当时,

即,

,,
又也满足上式,
数列的通项公式为,,
(2)由(1),可得,
①,
②,
由①-②,得,

不等式可化为,
即对任意的恒成立,
即转化为
令,且易得为递增数列,又,所以,
综上,的取值范围是.
18. 某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组,两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为.假定试验后生物成活,则称该次试验成功,如果生物不成活,则称该次试验失败.
(1)甲组做了4次试验,求至少1次试验成功的概率;
(2)若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为,求的分布列及数学期望.
解:(1)记甲组做了4次实验,至少1次试验成功的概率为事件,
则事件的对立事件为:甲组做了4次实验均失败,
所以.
(2)由题意得,可能的取值为0,1,2,3,4,
则,



故的分布列为
0 1 2 3 4
所以
19. 若为上的非负图像连续的函数,点将区间划分为个长度为的小区间.记,若无穷和的极限存在,并称其为区域的精确面积,记为.
(1)若有导函数,则.求由直线以及轴所围成封闭图形面积;
(2)若区间被等分为个小区间,请推证:.并由此计算无穷和极限的值;
(3)求有限项和式的整数部分.
解:(1)所求面积为,因为,
所以,
故所求面积为.
(2)由被等分为个小区间,则,,,当时,,
因为,不妨设,
从而有,
所以;
取,有,,
,令,
则,
,又因为,
所以,
故.
(3),
与直线,,以及轴围成的图形面积为,
由图,与直线,,
以及轴围成的图形面积大于它下方的个长方形面积和,
即,所以,
所以,
由图,同理可知,所以,
所以,
所以的整数部分为.蒙城第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知等比数列满足,,则等于( )
A. B. C. D.
2. 对A,B两地国企员工上班迟到情况进行统计,可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布,其中A地员工的上班迟到时间为X(单位:min),,对应的曲线为,B地员工的上班迟到时间为Y(单位:min),,对应的曲线为,则下列图象正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 的展开式中有理项的项数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡,是合格品的概率为( )
A. 84% B. 85% C. 86% D. 87%
7. 有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成,平均分配到三家医院,每家医院分到医生1名和护士2名.其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种.
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
8. 已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 设是各项为正数的等比数列,是其公比,是其前项的积,且,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与均为的最大值
10. 小明的计算器坏了,每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如:若,,则,其中二进制数的各位数中,已知,出现0的概率为,出现1的概率为,记,现在计算器启动一次,则下列说法正确的是( )
A. B.
C D.
11. 已知函数,下列说法中正确的有( )
A. 函数的单调递减区间为
B. 曲线在处的切线方程为
C. 函数既有极大值又有极小值,且极大值小于极小值
D. 方程有两个不等实根,则实数的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 设函数在处可导,且,则________.
13. 袋中装有4个黑球,3个白球,甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球,在甲摸到了黑球的条件下,乙摸到白球的概率是_____.
14. 存在过点的直线与曲线相切,则实数的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年2月10日至17日(正月初一至初八),“2024 内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行,共举行了8场精彩的烟花秀节目.前5场的观众人数(单位:万人)与场次的统计数据如表所示:
场次编号 1 2 3 4 5
观众人数 0.7 0.8 1 12 1.3
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系,请建立关于的线性回归方程;
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价,某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况,得到的部分数据如表所示,请将列联表补充完整,并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据:回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为,其中.
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16. 已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,讨论函数零点的个数.
17. 已知数列是以公比为1,首项为3的等比数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
18. 某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组,两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为.假定试验后生物成活,则称该次试验成功,如果生物不成活,则称该次试验失败.
(1)甲组做了4次试验,求至少1次试验成功的概率;
(2)若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为,求的分布列及数学期望.
19. 若为上的非负图像连续的函数,点将区间划分为个长度为的小区间.记,若无穷和的极限存在,并称其为区域的精确面积,记为.
(1)若有导函数,则.求由直线以及轴所围成封闭图形面积;
(2)若区间被等分为个小区间,请推证:.并由此计算无穷和极限的值;
(3)求有限项和式的整数部分.
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