参考答案：
1．∵，∴
∵，∴
∵，∴，即.
故选：C.
2．因为，所以第65百分位数是第6位数，
当时，则第6位数位可能是或5.5，不合题意；
当时，则第6位数位是7.9，符合题意；
综上所述：实数的取值范围是.
故选：A.
3．对于A，因为，如下图，
若分别为面、面、面，且为，
显然面，则，故A正确；
对于B，如下图，为直线，为直线，为直线，
取的中点，连接，
所以四边形为，存在，使得，故B错误；
对于C，若，则相交、平行、异面，所以C错误；
对于D，若，则，所以D错误.
故选：A.
4．甲取得最后的胜利包含两种情况，一是第4局胜，此时甲胜的概率为；二是第4局负，第5局胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.
故选：A.
5．设该塔的高度为米，
则．
在中，，
即，由，解得，
即塔高为30米.
故选：A
6与的夹角为钝角，
，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，
所以取值范围为.
故选：D
7．因为平面平面，平面平面，平面平面，则在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为.
故选:.
8.因为，所以，因此，
取、中点分别为、，则，，
因此，，
所以.
故选：A
9．对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；
对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，
由选项B知，
而事件包含的基本事件有共2件，故，
所以，故与独立，故C正确；
对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有共3件，故，
所以，故与不独立，故D错误.
故选：BC.
10．，，
由正弦定理可得，可得，故为锐角，
所以，，A选项正确；
由余弦定理可得，
即，解得或，
若，则，，此时，与题意不符，
所以，，即选项B正确，选项C错误；
的面积，即选项D错误.
故选：AB.
11． 由于平面平面,
平面,所以平面，平面，所以，则异面直线与所成的角为90°，故A正确；
把平面沿直线翻折到平面，使得与共面且不重合，点翻折到点M的位置，过A作交于点R，
由于与为全等的直角三角形，且,
所以，故,
故,则的最小值为线段的长，故B正确；因为,由于为定值,且到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误.
分别取的中点为，连接构成六边形,则平面平面,故平面即为六边形所在的平面，由于六边形为正六边形，且边长为,故其周长为，故D正确.
故选：ABD.
12．由，可得，化简得，
又∵，∴，
故答案为：.
13 如图，设，，作平行四边形，则，，
由已知，，，
在平行四边形中，
，
，
又，，即，
所以，
所以，，
14．在正三棱锥中，取的中点E，连接，，如图，
由，，得，，又，平面，，
则平面，而平面，于是，又，,平面，
因此平面，而平面，从而，，且，
由，得，，由于两两垂直，
则以为棱的长方体与三棱锥有相同的外接球，
于是三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
15（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
16．（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17．（1）由频率分布直方图可得，区间的频率总和为，
由样本估计总体，可得临界值的值为，
众数为的中间值度，平均数为度．
（2）由（1）知，月用电量在内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为度；
月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度，
根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度）；
月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度，
根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度）
故样本中户居民每月共节电（度），
用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为（万度）．
（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变，
在户居民组成的样本中，每月用电量共超出度，
实行“阶梯电价”后，共节约度，剩余度，所以，解得．
18.（1）由正弦定理得，
，
由得，
又因为，解得；
（2），，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又因为，所以，解得，
由△ABC的面积，得.
19．（1）在四棱锥中，菱形的对角线，交于点N，则N是的中点，
而M为棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点F，连接，，，如图，
菱形中，由，得是正三角形，有，
由，得，又平面平面，平面平面，
而平面，平面，因此平面，平面，
设，则，，，
在中，由余弦定理得，
则，因为，平面，平面，
于是平面，则点C到平面的距离，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.清苑中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
考试时间：120分钟；满分150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知向量，满足，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据1.3，2.1，2.6，3.7，5.5，7.9，，9.9的第65百分位数是7.9，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．与异面，，则不存在，使得
C．，则
D．，则
4．甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8． 已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ）
A． B．10 C． D．9
二、多选题
9．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立
10．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（ ）
A．异面直线与所成的角为定值
B．的最小值为
C．三棱锥的体积随P点的变化而变化
D．过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．在中，它的内角对应边分别为.若，则 .
13．已知复数满足，且，则
14．在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题
15．已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
16．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17．某市约有万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值，若居民某月用电量不超过度则按第一阶梯电价标准收费，价格为元/度；若某月用电量超过度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
（1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；
（2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过度的居民用电量保持不变；月用电量超过度的居民节省“超出部分”的，试估计全市居民每月节约的电量；
（3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价．（结果保留两位有效数字）
18.在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)已知的外接圆半径为，求的边上的高．
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点.
(1)证明：//平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正
