金华十校 2023 2024 学年第二学期调研考试
高二数学卷评分标准与参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B C C A B C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
题号 9 10 11
答案 ACD ACD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.{1,2,3} 13．40 14． 25 3,50
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解:(1)依题意可得(0.02 + 0.05 + 0.1+ a + 0.18) 2 =1，解得a = 0.15 .…………… 2 分
又(3 0.02 + 5 0.18 + 7 0.15 + 9 0.1+11 0.05) 2 = 6.92 ，
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时. …………………………… 5 分
(2)由频率分布直方图可知 6,8)、 8,10)和 10,12 三组的频率的比为
0.15: 0.1: 0.05 = 3: 2 :1
所以利用分层抽样的方法抽取6 人，这三组被抽取的人数分别为 3，2，1，…… 7 分
记 6,8)中的 3 人为a1，a ，a ， 8,10)中的 2 人为b ，b2 ， 10,12 中的22 3 1 人为c1，
从这6 人中随机选出2 人，则样本空间
= a1a2 ,a1a3 ,a1b1,a1b2 ,a1c1,a2a3 ,a2b1,a2b2 ,a2c1,a3b1,a3b2 ,a3c1,b1b2 ,b1c1,b2c1
共 15 个样本点；……………………………………………………………………… 10 分
设事件 A：选出的2 人都来自 6,8)，
3 1
则 A = a1a2 ,a1a3 ,a2a3 共 3 个样本点，所以P (A) = = .……………………… 13 分
15 5
十校高二数学答案 第1页（共 5 页）
{#{QQABTYIAogCAAJBAAQgCEQW4CEAQkAGACagGAFAEoAAAwQFABAA=}#}
16. 解：(1)如图，连接 PE,EF，在△PAD 中，PE⊥AD，P
在正方形ABCD 中，EF⊥AD，
G
又因为PE、EF 平面PEF, PE EF = E ， C D
所以 AD ⊥平面PEF . …………… 3 分 E F
又因为BC∥AD ，所以BC ⊥平面PEF ， A B
而EG 平面PEF ，所以EG ⊥ BC .……………………………………………… 5 分
因为BC、PF 平面PBC, BC PF = F ，所以EG ⊥平面PBC . …………… 7 分
3 3
(2)因为cos PAB = ,所以PB = 4 + 4 + 2 2 2 = 14 ，
4 4
4 + 3 13 3
则PF = PB2 BF 2 = 13 ，则cos PEF = = . …………… 9 分
2 2 3 2
z
如图以E 为原点，EA, EF 分别为 x,y 轴，过E P
且垂直 ABCD为 z 轴建系，则 A(1,0,0) , B (1,2,0) , G
C
D
3 3
G ( 1,0,0) ,C ( 1,2,0) , P 0, , . E y F
2 2
A B
x
3 3
则 AB = (0,2,0) , PA = 1, , ， ……………………………………………… 11 分
2 2
y1 = 0，
设n1 = (x1, y1, z1 )为平面PAB 的法向量，则 ，取n1 = ( 3,0,2)，
2x1 + 3y1 3z1 = 0，
同理平面PCD的法向量n2 = ( 3,0, 2) . ………………………………………… 13 分
3 4 1
所以cos n1,n2 = = ，
7 7
1
故平面PAB 与平面PCD形成的锐二面角的余弦值 . …………………………… 15 分
7
sin(2A+ B)
17. 解：（1）因为 2cos(A + B)
sin A
sin((A+ B) + A) 2cos(A+ B)sin A sin B
= = ……………………………………… 3 分
sin A sin A
十校高二数学答案 第2页（共 5 页）
{#{QQABTYIAogCAAJBAAQgCEQW4CEAQkAGACagGAFAEoAAAwQFABAA=}#}
sin B b a + c
所以 = = ，即b2 a2 = ac；…………………………………………… 7 分
sin A a b
b2 + c2 a2 c + a
(2)因为cos A = ，又b2 a2 = ac ，所以cos A = ，
2bc 2b
因此2bcos A = a + c ，于是2sin Bcos A = sinC + sin A = sin(A+ B) + sin A ，
即sin(B A) = sin A，故B = 2A，…………………………………………………… 10 分
1
因为C = A B = 3A，所以0 A ，即 cos A 1，………………… 13 分
3 2
a sin A 1
所以cos A+ = cos A+ = cos A+ ≥ 2 ，
b sin B 2cos A
2
当且仅当cos A = 时，“=”成立.
2
a
故cos A + 的最小值为 2 .………………………………………………………… 15 分
b
18. 解：(1)易知函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
当 a=2 时， f (x) = 2xex 1 x ln x, x 0 .
x 1 x 1 1 x 1 1f (x) = 2e + 2xe 1 = (x +1)(2e ) ，
x x
1
所以在点M 处的切线斜率k = f (1) = (1+1)(2e0 ) = 2， ……………………… 2 分
1
又 f (1) = 2e0 1 0=1，即点M 坐标为(1,1)，……………………………………… 4 分
所以点M 处的切线方程为 y = 2(x 1) +1= 2x 1. ………………………………… 5 分
(2)因为 f (x) = axex 1 x ln x ，x>0.
1 1
所以 f (x) = aex 1 + axex 1 1 = (x +1)(aex 1 )，
x x
当 a≤0 时，易知 f (x) 0在(0，＋∞)上恒成立，所以 f(x)在(0,＋∞)上单调递减，
故函数 f(x)在区间[1,3]上的最大值为 f (1) = ae0 1 0=a 1 .
1
当 a>0 时，令 g(x) = aex 1 ，x>0，
x
则 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且当 x→0 时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以 g(x)＝0 在(0,＋∞)上有唯一的一个零点. ……………………………………… 8 分
十校高二数学答案 第3页（共 5 页）
{#{QQABTYIAogCAAJBAAQgCEQW4CEAQkAGACagGAFAEoAAAwQFABAA=}#}
令aex 1
1
= 0，则该方程有且只有一个正根，记为 x0(x0>0)，则可得
x
x (0，x0) (x0，＋∞)
f ′(x) － ＋
f(x) 单调递减 单调递增
所以函数 f(x)在区间[1,3]上的最大值为max{f(1),f(3)}，
由 f (1) = a 1，f (3) = 3ae2 3 ln 3,有：
2 + ln 3
当0 a 时， g(a) = f (1) = a 1；
3e2 1
2 + ln 3
当a≥ 时， g(a) = f (3) = 3ae2 3 ln 3 .…………………………………… 10 分
3e2 1
2 + ln 3
a 1， a , 3e2 1
故 g(a) = ……………………………………………… 11 分
2 2 + ln 33ae 3 ln 3, a≥ .
2 3e 1
(3)由(2)可知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故此时函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意.
当 a>0 时，在(0，x0)时，f(x)单调递减，在(x0，＋∞)时，f(x)单调递增；
且 x0 1
1 1
ae = 0 ，所以 x 1ae 0 = ， ①
x0 x0
又 x→0 时，f(x)→+∞，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞
为了满足 x 1f(x)有两个零点，则有 f (x0 ) = ax e
0
0 x0 ln x0 0 . ②
对①两边取对数可得 ln a =1 x ln x ， ③ ……… 15 分 0 0
将①③代入②可得 x0 1f (x0 ) = ax0e x0 ln x0 = ln a 0 ，解得 a<1.
所以实数 a 的取值范围为 0
19. 解：(1)记从该厂产品中抽出 4 个，且恰好抽出一等品 1 个、二等品 2 个，三等品 1 个为事
件M，则P(M ) =C1 2 2 1 24 p1C3 p2C1 p3 = 4 0.15 3 0.7 1 0.1= 0.0882 ，………… 4 分
(2)(i) P(B) = P({X1 = k1, X 2 = k2 , X3 = k3 , X 4 = k4}) ，
十校高二数学答案 第4页（共 5 页）
{#{QQABTYIAogCAAJBAAQgCEQW4CEAQkAGACagGAFAEoAAAwQFABAA=}#}
k k= C 1 p 1 k2 k2 k k k k C p C 3 p 3 C 4 4n 1 n k1 2 n k1 k2 3 n k1 k2 k p3 4
n! k (n k )! (n k k )! (n k k k )! k k= p 1 1 p 2 1 2 p 3 1 2 3 k41 2 3 p4
(n k1)! k1! (n k1 k2 )! k2 ! (n k1 k2 k3)! k3 ! 0！ k4 !
n! k 1 k 1 k 1 k n! k k k k
= p 1 2 31 p2 p3 p
4 = p 1 p 2 3 44 1 2 p3 p4 .…………… 10 分
k1 ! k2 ! k3 ! k4 ! k1! k2 ! k3 ! k4 !
(ii)若把事件A1作为一方，则 A = A + A + A 作为另一方， 1 2 3 4
那么随机变量X1分布列为P(X1 = k1，X 2 + X3 + X 4 = n k1)，
n!
即X 服从二项分布列为 k n kP(X = k ) = p 1 (1 p ) 11 1 1 1 1 ，
k ! (n k1)!
n! k n k
同理可知：P(X 2 = k2 ) = p
2
2 (1 p
2
2 ) . …………………………… 13 分
k2 ! (n k2 )!
n! k1 k2 n kP(X = k 1 k21 1, X 2 = k2 ) = p1 p2 (1 p1 p2 )
k1 ! k2 ! (n k1 k2 )!
P(X1 = k1, X 2 = k )所以P(X1 = k1 | X 2 = k2 ) =
2
P(X = k )
2 2
n! k k n! = p 1 p 2 n k1 k2 k n k1 2 (1 p1 p2 ) / p
2
2 (1 p2 )
2
k1 ! k2 ! (n k1 k2 )! k2 ! (n k2 )!
(n k
= 2
)! p1 k p1 n k k( ) (1 1 ) 1 2 .……………………………………… 15 分
k1 ! (n k1 k2 )! 1 p2 1 p2
p
所以在给定 X 的条件下，随机变量X 服从二项分布，即 X B(n k , 1 ) 2 = k2 1 1 2
1 p2
p
所以此时，随机变量 X1的数学期望为(n k 12 ) .…………………………… 17 分
1 p2
十校高二数学答案 第5页（共 5 页）
{#{QQABTYIAogCAAJBAAQgCEQW4CEAQkAGACagGAFAEoAAAwQFABAA=}#}金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试
高二数学试题卷
本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规
定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，
选择题部分（共58分）
一、
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
已知复数z=2+1,22=-1+2i,则z-32在复平面内对应的点位于
A第一象限
B.第二象限
C第三象限
D第四象限
2.已知向量a(1,2),b(3-x,x),且a⊥(a叶2b),则x=
A11
B.-11
3.
已知x是实数，则“x+上≥”是“x≥2”的
2
A充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.
已知函数=os(2x+pj0则能使函数f(x)单调递
增的区间为
c
D
5.
函数=cos产的图象为
6.
已知随机变量X~N(1,4),且PXa-PX≤0.2)0.1，则P
gA.0.4
B.02
C.0.8
D.0.1
十校高二数学第1页（共4页）
7.高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为170cm、160cm,方差分别为
170、160,记该班全体同学身高的平均数为X,方差为s2,则
AX>165,52>165B.x<165,52>165C.X>165,52<165D.X<165,52<165
8.已知当x∈[0，)时，f(x)=3-3,若函数x)的定义域为R,且有+1)为奇函数，+2)
为偶函数，则f(1og1300)所在的区间是
A.(-0,0)
c
D.(1,+o)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分
9.
在正方体ABCD-AB,CD,中，
A.AC⊥BD
B,直线BD,与CD所成角为号
C.AG∥平面AB,C
D直线C与平面8DD所成角为君
10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上为事件A,“第二次正面向上”为事件
B,“至少有一次正面向上”为事件C,则下列判断正确的是
A.A与B相互独立
B.A与B互斥
c.(
D.P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)
11.在△ABC中，.已知4cosB+3sinB+4sin(C-A)=9,AC=6,则
A.A>B
B.AB=2BC
C.△ABC的外接圆直径为10
D.△ABC的面积为12
非选择题部分（共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知集合A={1,23,4,56},集合B={x∈R-113.若(2x+1)5=a。+ax+a2x2++a5x,则a2=▲
14.在三棱锥A-BCD中，AC⊥AB,BD⊥AB,且ACBD=10,AB=3,若三棱锥A-BCD的外
接球表面积的取值范围为
4元，409π则三棱锥4-BCD体积的取值范围为_▲
661
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