最新华师版八年级上册数学第14章 勾股定理 章末复习习题课件（35张PPT）

(共35张PPT)
华东师大版·八年级上册
章末复习
知识结构
直角三角形
勾股定理
勾股定理的逆定理
应用
反证法
思考并回答下列问题：
问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？
问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？
问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？
问题4：反证法的步骤是什么？
要 点
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
a
b
c
A
B
如果在Rt△ABC中，∠C=90°，
字母表示：
那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的证明方法：
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
a
b
c
A
B
C
字母表示：
如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形.
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
反证法是从反面的角度着手的间接证明方法，即：肯定条件而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.反证法是数学中常用的一种证明方法.当命题从正面不容易或不能得到证明时，就可以考虑运用反证法.
典例精析
例1（1）下列命题中正确的是（ ）
A.1.5，2，2.5是勾股数
B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°
C.边长为3a，4a，5a的三角形是直角三角形
D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6
C
（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.
（3）如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C=____cm.
45°
8
例2 如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？
解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm，AE=4cm，CM=4cm，取点A关于直线EF的对称点A′，则A′E=4cm，连结A′C交EF于P，则PA+PC最短，作GC⊥EN于G，在Rt△A′GC中，AP+PC= =15(cm).
例3 在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积.
解：∵a+b=p，c=q，
∴a2+2ab+b2=(a+b)2=p2，a2+b2=q2(勾股定理).
∴2ab=p2-q2，
∴ (cm2).
例4 如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
解：设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2，解得x=1.5.
例5 如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.
解：∵AD是边BC上的中线，且BC=20，
∴BD=DC= BC=10.
∵AD2+BD2=576+100=676=262=AB2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)
在Rt△ADC中，AC=
例6 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥
AD于点D，且CD2+AD2=2AB2.
(1)求证AB=BC；
(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.
(1)证明：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2(连结AC)，从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB；
(2)证明：过C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，∴BE=BF+EF=AE+CD.
F
复习题
1.求下列各图形着色部分的面积：
(1)着色部分是正方形； (2)着色部分是长方形；
A组
12cm
13cm
15cm
8cm
3cm
S=132-122=25(cm2).
(3)着色部分是半圆.
6cm
10cm
2.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系.
解：以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积．
3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形：
(1)三边长分别为m2+ n2、mn、m2-n2(m>n>0)；
(2)三边长之比为1∶1∶ .
不是
是
4.一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远？
解：设下滑之前，梯子顶部到地面的距离为
下滑0.4米之后，梯子顶部到地面的距离h2=2.4-0.4=2(米)，
梯子底部离建筑物的距离
梯子底部向外滑出1.5-0.7=0.8(米).
所以梯子底部向外滑出0.8米.
5.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和.
A
B
E
F
C
D
G
解：SA+SB+SC+SD
=SE+SF
=SG=72=49(cm2).
6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2.求BD的长.
B组
解：因为AD=AC-CD=10-2=8，所以BD= =6.
7.有一块四边形地ABCD(如图)，∠B=∠90°. AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m.求该四边形地的面积.
解：连接AC，由勾股定理得AC= =5(m)，
AC2+CD2=52+122=132=AD2，
由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°，
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC
8.我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数.请你再写出其他5组勾股数.
解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一).
9.试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角.
证明：假设五边形有四个内角是锐角，那么与它们相邻的四个外角均为钝角，其和大于360°，与多边形外角和为360°矛盾，所以假设不成立，故五边形不可能有4个内角为锐角.
C组
10.已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4-b4+b2c2-a2c2=0.试判断△ABC的形状.
解：因为a4-b4+b2c2-a2c2=0，∴(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=0，
∴(a2-b2)·(a2+b2-c2)=0，∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0，
∴a+b=0(舍)或a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小.
解：连接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=
在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2，
∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
12.如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称.求AE的长.
解：由题可知S△ABC= ∵AB=5cm，S△ABC=30cm2.
∴ =30cm2，∴BC=12cm.
在△ABC中，AC=
=13(cm).
又∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，
∴AE=AC=13cm.
13.折竹抵地（源自《九章算术》）：
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远.问原处还有多高的竹子？
解：设原处还有x尺高的竹子，由勾股定理得x2+32=(10-x)2，
解得
答：原处还有4.55尺高的竹子.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.