【高中数学北师大版同步练习必修第一册】 第四章对数运算和对数函数（基础知识）检测题（含答案）

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【高中数学北师大版同步练习必修第一册】
第四章对数运算和对数函数（基础知识）检测题
一、单选题
1．设，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数 是函数 的反函数，则 （　　）
A．1 B．2 C．10 D．
3．已知，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．函数是（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数
5．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲 乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位：小时)如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要（　　）
A．43小时 B．46小时 C．47小时 D．49小时
6．已知0＜a＜b＜1＜c，m=logac，n=logbc，r=ac，则m，n，r的大小关系是（　　）
A．m＜n＜r B．m＜r＜n C．r＜m＜n D．n＜m＜r
二、多选题
7．设且，，是正整数，则（　　）
A． B．
C． D．
8．若，，且，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．的值为　 　.
10．已知 ，则 　 　.
11．函数y= 的定义域为　 　．
12．为防控新冠疫情，需要对公共场所进行消杀.某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位消毒剂，空气中释放的浓度（单位：）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若进行多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷酒的消毒剂在相应时刻的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于时，它才能起到杀灭病毒的作用.若一次喷酒4个单位的消毒剂，则消毒起作用时间最多可持续　 　天.若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷酒个单位的药剂，要使接下来的4天都能够持续有效杀毒，则的最小值为　 　.（精确到，参考数据：取1.4）
13．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为　 　百万元．（注：收益=销售额﹣投入）
14．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为　 　元．
四、解答题
15．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
16．求值：
（1）；
（2）
17．已知，.
（1）求的值；
（2）试用a，b表示.
18．求值：
（1）；
（2）．
19．已知函数 ，其定义域为 ，
（1）当 时，求函数 的反函数；
（2）如果函数 在其定义域内有反函数，求实数 的取值范围．
20．已知函数 且 ．
（1）当 时求 的值域；
（2）设 ，若方程 有实根，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
2．【答案】A
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
3．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
4．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
5．【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
6．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
7．【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
8．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则
9．【答案】10
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
10．【答案】4
【知识点】指数式与对数式的互化
11．【答案】{x|x＞1，且x≠2}
【知识点】对数函数的概念与表示
12．【答案】8；1.6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
13．【答案】
【知识点】函数模型的选择与应用
14．【答案】304200
【知识点】函数模型的选择与应用
15．【答案】（1）解：原式.
（2）解：因为，所以，
即，则；
又．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
16．【答案】（1）原式；
（2）原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
17．【答案】（1）因为，
所以，
（2）由得：，
．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
19．【答案】（1）解： ；
（2）解： 若 ，即 ，则 在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若 ，即 ，则 在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当 ，即 时，由于区间 关于对称轴 的对称区间是
，于是当 或 ，即 或 时，
函数 在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．
综上， ．
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
20．【答案】（1）解：
，
函数 是单调增函数
，
所以函数 的值域为 。
（2）解：函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
因为方程 有实根，
所以 在 有实根，
即 在 有实根，
化简整理得，方程 在 上有解 ,
设
对称轴 .
① 即 ，
因为 且 在 为增函数，
所以方程 在 无解。
② ，即 ，
则 ，解得 ，
综上 .
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
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