【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
一、单选题
1．函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数f（x）= ﹣log3x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（3，9） C．（1，3） D．（9，+∞）
3．已知函数有两个零点x1，x2，则有（　　）
A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
4．函数 的零点的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．方程 =kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（　　）
A． B．[2，+∞） C． D．
6．若函数 有两个不同的零点 ， ，且 ， ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7． 下列判断正确的是（　　）
A．函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
B．若，则的取值范围是
C．为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
D．设满足满足，则
8．若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数f(x)＝x2－4x－5的零点是　 　．
10．已知函数 在区间 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
-3.25 -7.9 2 4.16 -1 9.8
设函数 在区间 上零点的个数为 ，则 的最小值为　 　.
11．已知函数 .若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是　 　.
12．若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为　 　．
13．已知函数f（x）= 若关于x的方程f（x）=t有三个不同的解，其中最小的解为a，则 的取值范围为　 　．
14．已知 ，函数 ，若存在三个互不相等的实数 ，使得 成立，则 的取值范围是　 　．
四、解答题
15．已知函数f（x）=2x+1．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）作出函数f（x）的大致图象；
（3）若关于x的方程f（x）=m有解，求实数m的取值范围．
16．已知集合 .
（1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围；
（2）若 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
17．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 恰有一个零点，求实数 的值；
（Ⅱ）令 ，若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围.
18．已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
19．已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；
（Ⅱ）当b=1时，
①若对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范围；
②若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．
20．已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）谈论函数 的零点个数
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
3．【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；函数的零点与方程根的关系
4．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
5．【答案】A
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
6．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；函数的零点与方程根的关系
7．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
9．【答案】－1或5
【知识点】函数的零点与方程根的关系
10．【答案】3
【知识点】函数零点存在定理
11．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
12．【答案】（1，+∞）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
13．【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
15．【答案】（1）解：∵2x+1＞1，
∴函数f（x）的值域为（1，+∞）
（2）解：作出函数f（x）的大致图象如下，
；
（3）解：由图可知，若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围为m＞1
【知识点】函数的值域；函数图象的作法；函数的零点与方程根的关系
16．【答案】（1）解：由于 中有两个元素，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根，
∴ ，且 ，即 ，且 .
故实数 的取值范围是 且 .
（2）解：当 时，方程为 ， ，集合 ；
当 时，若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 中只有一个元素，此时 ，
若关于 的方程 没有实数根，则 中没有元素，此时 .
综上可知，实数 的取值范围是 或 .
【知识点】元素与集合的关系；根的存在性及根的个数判断
17．【答案】解：（Ⅰ）已知 恰有一个零点，
则 有一个实数根，
∴ ，解得 .
（Ⅱ）∵
因为函数 的对称轴为 ， 在区间 上不单调，
所以对称轴在区间 内，
即 ，解得 .
所以实数 的取值范围为
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
18．【答案】（1）解：由 解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）
（2）解：依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），
即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即 在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1
（3）解：解法一：由（2）可知 ，
所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线 ．
依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，
只需 ，解得 ．
所以实数t的取值范围是 ．
解法二：由（2）可知 ，
所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．
依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，
即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．
在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．
观察图形，可知当 ，即 时，两个图象有两个不同的交点．
所以实数t的取值范围是 ．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数图象的作法；奇函数与偶函数的性质；函数的零点
19．【答案】解：（Ⅰ）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），
由f（x）=0，解得x=0或|x-a|=1，
由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1．
由f（x）恰有两个不同的零点且a+1≠a-1，
可得a+1=0或a-1=0，得a=±1；
（Ⅱ）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，
①对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，
即|x-a|+1≤2x，即|x-a|≤2x-1，
即有1-2x≤x-a≤2x-1，即1-x≤-a≤x-1，
x∈[1，3]时，1-x∈[-2，0]，x-1∈[0，2]，
可得0≤-a≤0，即a=0；
②f（x）= = ．
当2≤a＜3时， ＜ ＜2≤a，
这时y=f（x）在[0， ]上单调递增，在[ ，2]上单调递减，
此时g（a）=f（ ）= ；
当a≥3时， ≥2，y=f（x）在[0，2]上单调递增，
此时g（a）=f（2）=2a-2．
综上所述，g（a）= ．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
20．【答案】（1）解：∵ ，
故 ，
∵
∴ 时， ，故 单调递减，
时， ，故 单调递增，
所以， 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）解：由（1）知，
当 时， 在 处取最小值 ，
当 时， ， 在其定义域内无零点
当 时， ， 在其定义域内恰有一个零点
当 时，最小值 ，因为 ，且 在 单调递减，故函数 在 上有一个零点，
因为 ， ， ，又 在 上单调递增，故函数 在 上有一个零点，故 在其定义域内有两个零点；
当 时， 在定义域 内无零点；
当 时，令 ，可得 ，分别画出 与 ，易得它们的图象有唯一交点，即此时 在其定义域内恰有一个零点
综上， 时， 在其定义域内无零点； 或 时， 在其定义域内恰有一个零点； 时， 在其定义域内有两个零点；
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
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