【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 5.1.2利用二分法请求方程的近似解（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
5.1.2利用二分法请求方程的近似解
一、单选题
1．已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
2．函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（　　）
A． B． C．（1，e） D．（e，+∞）
3．已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f（x） ﹣1.307 ﹣0.084 ﹣0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（　　）
A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.066
4．用二分法研究函数 的零点时，第一次经计算 ， ，可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，以上横线应填的内容依次为（　　）
A． B．
C． D．
5．在利用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，若f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根会出现在下列哪一区间内（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.75）
C．（1.75，2） D．不能确定
二、多选题
6．设 ，某学生用二分法求方程 的近似解（精确度为 ），列出了它的对应值表如下：
x 0 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2
-6 -2 -0.87 -0.28 0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（　　）
A．1.25 B．1.376 C．1.4092 D．1.5
三、填空题
7．若函数f（x）=x3-x-1在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为　 　（精确到0.1）．
8．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是　 　.（写出所有符合条件的序号）
9．已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=　 　
10．设方程2x+x=4的根为x0，若x0∈（k﹣ ，k+ ），则整数k=　 　．
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数 和 ，则 是 的更为精确的近科似值．现第一次用“调日法”：由 得到 的更为精确的近似值为 ，则 　 　．第二次用“调日法”：由 得到 的更为精确的近似值为 ， ，记第 次用“调日法”得到 的更为精确的近似值为 ．
若 ，则 　 　．
12．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 ， ，则 是 的更为精确的近似值．已知 ，试以上述 的不足近似值 和过剩近似值 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 的近似分数为　 　．
四、解答题
13．已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
14．
（1）利用定义证明：函数在上单调递增．
（2）求方程的实数解（精确到0.1）.
15．已知函数．
（1）求证函数的图象过定点，并写出该定点；
（2）设函数，且，试证明函数在上有唯一零点．
16．利用计算器，求方程 的近似解(精确度 )．
17．已知函数.
（1）若有零点，求实数的取值范围；
（2）若，函数的值域为，且，求的取值范围；
（3）当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
2．【答案】A
【知识点】二分法求方程近似解
3．【答案】C
【知识点】二分法求函数零点近似值
4．【答案】A
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
5．【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解
6．【答案】B,C
【知识点】二分法求方程近似解
7．【答案】1.3
【知识点】二分法求方程近似解
8．【答案】（1）（3）
【知识点】二分法求方程近似解；函数的零点
9．【答案】1
【知识点】二分法求方程近似解
10．【答案】1
【知识点】二分法求方程近似解
11．【答案】；6
【知识点】二分法求方程近似解
12．【答案】
【知识点】二分法求方程近似解
13．【答案】解：
区间 中点的值 中点函数值符号
0
－0.5
－0.25
－0.125
－0.0625
，．因为，为上的连续函数，所以函数在上必存在零点，设为．所以．因为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数零点存在定理
14．【答案】（1）证明：当时，
；
所以单调递增
（2）解：令，则
由（1）单调递增，则f(x)=0在（1，1.5）上有唯一解
而，
所以f(x)=0的根在（1.125，1.25）之间
因为
所以实数解为：1.2
【知识点】函数单调性的判断与证明；二分法求方程近似解
15．【答案】（1）解：函数，
可得，由，可得，
则当时，，所以函数的图象过定点，该定点为；
（2）解：函数，
可得，又，解得，
则，由函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故函数在上最多有一个零点，
又，，
则，
由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二分法求函数零点近似值
16．【答案】解：作出y＝lg x，y＝2 x的图象可以发现，方程lg x＝2 x有唯一解，设为 ，
设f(x)＝lg x＋x 2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0 ∈(1，2)；
f(1.5)<0，f(2)>0 ∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0 ∈(1.75，2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0 ∈(1.75，1.875)； f(1.75)<0，f(1.812 5)>0 ∈(1.75，1.812 5)．
因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5
【知识点】二分法求方程近似解；函数的零点与方程根的关系
17．【答案】（1）解：当满足；
当，故；
综上，；
（2）解：的值域为，可得：；
，故，.
；故
，
（3）解：当时，函数，在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时在区间上单调递减，
令单调递增．
原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点，当且仅当即时原命题成立，解得．
又，所以．
（用函数单调递减解答比照给分）
【知识点】二分法求函数零点近似值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
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