【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 5.1.方程的存在性及方程的近似解（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
5.1.方程的存在性及方程的近似解
一、单选题
1．函数 一定有零点的区间是（　　）．
A． B． C． D．
2．函数 （　　）
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有一个零点或有两个零点
3．奇函数、偶函数的图象分别如图1、2所示，方程，的实根个数分别为、，则等于（　　）
A．14 B．10 C．7 D．3
4．已知函数 若关于x的方程 恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．设 ，函数 ，若 在区间 内恰有4个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数 若 ( 互不相等)，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（　　）
A．函数，是增函数，零点为
B．已知实数，则函数的零点所在的区间是
C．函数的零点个数为3个
D．函数在上存在零点，则正实数的取值范围是
8．已知函数函数 有四个不同的零点，，，，且，则（　　）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
三、填空题
9．若命题“ ， ”是真命题，则实数a的取值范围是　 　．
10．请写出同时满足以下条件的一个函数：　 　.
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点.
11．若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是　 　 .
12．若方程2|x﹣1|﹣kx=0有且只有一个正根，则实数k的取值范围是　 　.
13．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程 在区间（0，10）内所有的实根之和为　 　．
14．已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0），函数f（x）在区间（1，ea）上有两个零点，则a的取值范围是　 　（e为自然对数的底数）．
四、解答题
15．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，方程有一正一负两根。
16．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？
17． 已知函数，其中为常数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围.
18．已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为﹣4，求m的值．
19．如图所示，定义域为 上的函数 是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
（1）求 的解析式；
（2）若 关于的方程 有三个不同解，求 的取值范围；
（3）若 ，求 的取值集合.
20．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）若存在，，使得，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
2．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
3．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点
4．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
5．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
6．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
7．【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
8．【答案】A,C
【知识点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
9．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；根的存在性及根的个数判断
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点
11．【答案】0【知识点】函数零点存在定理
12．【答案】{k|k=0或k≥2}
【知识点】根的存在性及根的个数判断
13．【答案】30
【知识点】根的存在性及根的个数判断
14．【答案】（2e，+∞）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
15．【答案】解：因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
16．【答案】有；设f(x)＝log2x＋x2， ∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0， f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
17．【答案】（1）解：，
可知开口向上，对称轴为，
且开口向上，对称轴为，
当，即时，的单调递增区间为；
当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：，
（i）当，即时，在上单调递增，
因为，所以，
则
，
即，解得；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
因为，
由（i）可得，解得；
（ⅲ）当，即时，则在内单调递增，在内单调递减，
则，
即，矛盾；
（ⅳ）当，即时，不单调，
则，
即，矛盾.
综上所述，的取值范围是
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系
18．【答案】（1）解：当m+6=0时，m=﹣6，函数为y=﹣14x﹣5显然有零点．
当m+6≠0时，m≠﹣6，由△=4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）=﹣36m﹣20≥0，得m≤﹣ ．
∴当m≤﹣ 且m≠﹣6时，二次函数有零点．
综上可得，m≤﹣ ，即m的范围为（﹣∞，﹣ ]
（2）解：设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∵ + =﹣4，即 =﹣4，
∴﹣ =﹣4，解得m=﹣3．
且当m=﹣3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，
∴m的值为﹣3
【知识点】二次函数的性质；函数的零点
19．【答案】（1）解：①当 时，函数 为一次函数，设其解析式为 ， ∵点 和 在函数图象上， ∴ 解得 ②当 时，函数 是二次函数，设其解析式为 ， ∵点 在函数图象上， ∴ 解得 综上
（2）解：由（1）得当 时， ， ∴ 。 结合图象可得若方程 有三个不同解，则 。 ∴实数 的取值范围 .
（3）解：当 时，由 得 解得 ； 当 时，由 得 ， 整理得 解得 或 （舍去） 综上得满足 的 的取值集合是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系
20．【答案】解：（Ⅰ）当时，在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（Ⅲ）令，则问题等价于存在，，使得
令，因为在有两个零点，
故解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
又因为，故的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用；函数零点存在定理
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