【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 5.2.1实际问的函数刻画（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
5.2.1实际问的函数刻画
一、单选题
1．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为
（　　）
A．200（1+x）2=1000 B．200+200 2 x=1000
C．200+200 3 x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
2．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从（）级别跃升到（），（）乃至（）级别.国际数据公司（IDC）统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
时间/年 2008 2009 2010 2011
数据量/ 0.49 0.8 1.2 1.82
增长比例 　 1.63 1.50 1.52
研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y（单位：）与时间x（单位：年）的关系满足函数，记，，则下列最符合上述数据信息的函数是（　　）
A． B．
C． D．
3．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（　　）小时后才可以驾驶机动车．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（　　）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
5．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（　　）
A．f1（x）=x2 B．f2（x）=4x
C．f3（x）=log2x D．f4（x）=2x
6．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了 (　　) ．
A．600天 B．800天 C．1000天 D．1200天
二、多选题
7．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（　　）
A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值
C．的面积有最大值 D．线段有最大值
三、填空题
8．一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为　 　，定义域为　 　．
9．如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则 的取值范围为　 　.
10．在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 ，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 ， ，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到 个，称为“十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为 ，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为　 　.
11．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 只，则经过　 　天能达到最初的16000倍（参考数据： ， .
12．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　 　．
四、解答题
13．由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为 ），涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a，b均为正常数，且a＜10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值．
14．400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，大多数适宜的400米跑道两端被建成半径为 到 之间的半圆.我市某学校新建成的400米跑道平面图如图所示，跑道的两端是两个半径为 的半圆.以跑道的中心为原点，对称轴为坐标轴建立如图直角坐标系.
参考数据： ， .
（1）求第一象限内跑道的函数解析式；
（2）某 接力队沿如图所示跑道进行训练，第三、四棒选手可以在点S处开始交接棒，终点F设在弯道与直道的交接处，点S到终点F的跑道长度为110米，求点S的坐标.（结果精确到米）.
15．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？
16．某森林岀现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去救火，5分钟后到达火灾现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁 森林的损失费为60元，问：应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失费最少？最少损失费是多少？注：（ ，当且仅当 时取等号）
17．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工人的复工率（ ）.A公司生产 万件防护服还需投入成本 (万元).
（1）将A公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
18．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设销售商一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式．
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
2．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
3．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
4．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
5．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
6．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】B,C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
8．【答案】y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}
【知识点】根据实际问题选择函数类型
9．【答案】
【知识点】根据实际问题选择函数类型
10．【答案】288
【知识点】根据实际问题选择函数类型
11．【答案】199
【知识点】根据实际问题选择函数类型
12．【答案】
【知识点】根据实际问题选择函数类型
13．【答案】解：设原定价A元，卖出B个，则现在定价为A（1+ ），
现在卖出个数为B（1﹣ ），
现在售货金额为A（1+ ） B（1﹣ ）=AB（1+ ）（1﹣ ），
应交税款为AB（1+ ）（1﹣ ） ，
剩余款为y=AB（1+ ）（1﹣ ）（1﹣ ）=AB（1﹣ ）（﹣ x2+ x+1），
所以x= 时y最大，
要使y最大，x的值为 ．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
14．【答案】（1）解：由题可知每段直道长度为 ，则 的坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以
（2）解：如下图，过点 作x轴的垂线交跑道于点A，跑道与x轴交于点B，
记 ， ，
则 ，
所以 ， ，
，
，
所以点S的坐标为
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型
15．【答案】（1）解：由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，
且，
当时，，
当时，
所以利润万元关于年产量台的函数解析式为
.
（2）解：当时，，
故当时，最大，最大值为1500；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
16．【答案】解：设派 名消防员前去救火，用 分钟将火扑灭，总损失为 元，
则 ，
因为 ，所以 ，
灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值36450.
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
17．【答案】（1）由题意， ，
即 ， ， .
（2） ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 ，
故政府补贴为 万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为 万元.
（3）对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损，则 在 上恒成立，
不等式整理得， ，
令 ，则 ，则 ，
由函数 在 上单调递增，可得 ，
所以 ，即 .
所以当复工率 达到 时，对任意的 (万元)，A公司都不产生亏损.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】（1）解：当0当100所以P＝
（2）解：设销售商一次订购量为x件，工厂获得的利润为L元，则有
L＝（P－40）x＝
当x＝450时，L＝5850.
因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元
【知识点】根据实际问题选择函数类型；函数模型的选择与应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)