2023-2024学年北京丰台区高二（下）期末数学（PDF版，含解析）

2024北京丰台高二（下）期末
数 学
本试卷共 5 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作
答无效．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知集合M ={x | 4 x 1}， N ={x | 1 x 3}，则M N =（ ）
A． x 4 x 3 B． x 1 x 1
C． 0,1, 2 D． x 1 x 4
2．已知复数 z 满足 (1 i)z = 3+ i （ i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知a 0,b R ，则“ a b ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6
2
4．二项式 x 的展开式中常数项为（ ）
x
A． 60 B．60 C．210 D． 210
π
5．已知函数 f (x) = tan x，那么 f 的值是（ ）
3
3
A． B． 3 C．2 D．4
3
1 1
6．若a，b R ， ab 0且 a + b = 2，则 + 的最小值为（ ）
a b
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知随机变量 X ~ N (2, 2 )，且P(X 1.8) = 0.47 ，则P(2 X 2.2) =（ ）
A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08
8．已知定义域为 a,b 的函数 f ( x)的导函数为 f (x)， f (a) f (b)，且 f (x)的图象如图所示，则 f ( x)
的值域为（ ）
A． f (x1 ) , f (x 3 ) B． f (x2 ) , f (x4 ) C． f (a) , f (b) D． f (x2 ) , f (b)
9．色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度 y 和色差 x之间满足线性相关关系，且
y = 0.8x 1.8，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（ ）
A．0.6 B．0.4 C． 0.4 D． 0.6
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．若函数 f (x) = aex 210 x (a R)有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2，则下列结论中不正确的是（ ）
x 1
A． x 1 B． e 2 2
x1
2
C．a的范围是 0, D． ln x1 + ln x2 0
e
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．从 1，2，3，4 这四个数字中任取两个不同的数，则可以组成不同的两位数的个数为 ．
12．若关于 x的不等式mx2 + x +1 0的解集为R ，则实数m的取值范围为 .
13．已知随机变量 X 的分布列如下，则D (3X + 2) = .
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
14．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲 乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人
投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲
1 1
每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是
4 3
1
甲 乙的概率各为 .第 2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第 2 次投篮的人是乙的情况下，第 1 次投
2
篮的人是甲的概率为 .
15．小明研究函数 f ( x)的图象与导函数，经查阅资料，发现 f ( x)具有下面的性质：若函数 y = f (x)在
(a,b)上的导函数为 f ( x)，且 f ( x)在 (a,b)上也存在导函数，则称函数 y = f (x)在 (a,b)上存在二阶导函
数，简记为 y = f (x)．若在区间 (a,b)上 f (x) 0，则称函数 y = f (x)在区间 (a,b)上为“凹函数”．请你根
据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有
①． f (x) = 2x +1 3 2 ②． f (x) = x ③． f (x) = x +1 ④． f (x) = lg x
三、解答题：共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．已知曲线 f (x) = ex + ax 1在点 (1, f (1))处的切线与直线 x (1 e) y +1= 0 垂直.
(1)求实数 a；
(2)求函数 f ( x)在 1, 2 上的最大值与最小值.
17．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为 22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于 64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
n
1
问题：已知二项式 x ，若______，求：
x
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(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项；
(3)展开式中所有项的系数之和．
18．现有 4 个编号为 1，2，3，4 的不同的球和 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的盒子，把球全部放入盒
子内.
(1)共有多少种不同的放法
(2)每个盒子内只放一个球，恰有 2 个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种
(3)将 4 个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种
19．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲 乙两个袋子.甲袋中有 3 个白球，2 个黑球；乙袋
中有 4 个白球，4 个黑球.参加游戏的同学每抽出 1 个白球须做 3 个俯卧撑，每抽出 1 个黑球，须做 6 个俯
卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲 乙两个袋子中各随机抽出 1 个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的 2 个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出 1 个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的 2 个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出 1 个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做 6 个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为 X ，求 X 的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，
还是两个方案都一样？（直接写出结论）
f (x) = ax2 lnx 1 g (x) = xex20．已知函数 ， ax2 (a R )．
(1)讨论 f ( x)的单调性；
(2)设F (x) = f (x)+ g (x) x．
（i）证明： F ( x)的导函数 F (x)存在唯一零点；
（ii）证明：F (x) 0．
*
21．对于正整数集合 A = a1,a2 , ,an (n N ,n 3)，如果任意去掉其中一个元素ai (i =1,2, ,n)之后，剩
余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
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A 为“可分集合”.
（1）判断集合 1,2,3,4,5 和 1,3,5,7,9,11,13 是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合 A = a1,a2 ,a3,a4 ,a5 一定不是“可分集合”；
（3）若集合 A = a1,a2 , ,an (n N *,n 3)是“可分集合”.
①证明： n为奇数；
②求集合A 中元素个数的最小值.
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参考答案
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．【答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】因为集合M ={x | 4 x 1}， N ={x | 1 x 3}，
所以M N = x 4 x 3 ，
故选：A.
2．【答案】D
【详解】∵ (1 i)z = 3+ i ，
3+ i (3+i)(1+ i) 2+ 4i
∴ z = = = =1+ 2i ，则 z = 1 2i
1 i (1+i)(1 i) 2
∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1, 2 ，位于第四象限．
故选：D．
3．【答案】B
【详解】当 a = 2,b = 3时，满足 a b，但 a b ，故充分性不成立，
若 a b ，当b 0时，必有 a b 成立，当b 0时，必有a 0 b ，故必要性成立，
故“ a b ”是“ a b ”的必要不充分条件，故 B 正确.
故选：B
4．【答案】B
【详解】
5．【答案】D

sin x
( ) (sin x) cos x sin x cos x【详解】因为 f x = tan x = ( )，则 f (x) = =1+ tan2 x，
cos x cos2 x
π 2 π
所以 f =1+ tan = 4 .故选：D.
3 3
6．【答案】A
【详解】因为 ab 0 且 a + b = 2，所以 a,b 0，
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1 1 1 1 1 1 b a 1 b a
+ = + (a +b) = 2+ + 2+ 2 = 2，
a b 2 a b 2 a b 2 a b


b a 1 1
当且仅当 = ，即 a = b =1时等号成立，所以 + 的最小值为 2.故选：A.
a b a b
7．【答案】B
2
【详解】由于随机变量 X ~ N (2, )，且 P(X 1.8) = 0.47 ，所以
1 2P(x 1.8)
P(2 X 2.2) = = 0.5 0.47 = 0.03 ,故选：B
2
8．【答案】D
【详解】当 x a, x2 )时， f (x) 0， f ( x)单调递减，
当 x (x2 ,b 时， f (x) 0， f ( x)单调递增，则 f (x) = f (x2 ) . min
因为 f (a) f (b)，所以 f ( x)的值域为 f (x2 ) , f (b) .
故选：D.
9．【答案】A
【详解】当 x = 30时， y = 0.8 30 1.8 = 22.2，
所以该数据的残差为 22.8 22.2 = 0.6．故选：A．
10．【答案】B
【详解】对于 AC， f (x) = aex x2(a R)，有两个极值点 x1, x2 且 x1 x2，
所以 f (x) = aex 2x ， a R 有两个零点 x 1, x2 ，且在 x1, x2 各自两边 f (x) 异号，
2x
所以 y = a 与 y = 有两个交点 ( x1,a)， (x2 ,a)，
ex
2x 2(1 x)
记 g(x) = ，则 g (x) = ，
ex ex
易知： x 1时 g (x) 0， x 1时 g (x) 0，
所以 g(x) 在 ( ,1)上递增，在 (1,+ )上递减，
2
所以 g(x) 有最大值 g (1) = ，且 x 0 时 g(x) 0， x 0 时 g(x) 0，
e
2x
又当 x趋向于正无穷时， y=ex 趋向于正无穷的速率远远超过 y = 2x趋向于正无穷的速率，所以 趋向于
ex
0，且 g (0) = 0，
由上可得 g(x) 的图象如下，
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2 2x
所以当且仅当 0 a 时 y = a 与 y = 有两个交点，且 0 x1 1 x2 ，故 A，C 正确；
e ex
x x x x x e
x1
对于 B，又 f (x 1 ) = f (x2 ) = 0 ae 1 2x = 0 = ae 2 2x
1 = 2 x = 2 ， 1 2
ex1 ex
1
2 ex2
1 x 1
所以 x ，即e 2 1 x ，故 B 错误.
e 2 x1
x2 2x 2x
对于 D，令 t = 1，则 1 = a = 2
2tx1 ln t t ln t= ，所以 tx1 x1 ，则 x = ， x = ，
x x1 x2 tx
e = t 1 2
1 e e e 1 t 1 t 1
所以要证 ln x1 + ln x2 0，只需证0 x1x2 1，
2
lnt
2
t 1 p 1 1
只需证 t 1 lnt (t 1) lnp
2 2lnp p ( p = t 1) (*)，
t 1 t p p
1 2 1 x2 2x +1
令T (x) = 2ln x x ，则T (x) = 1 = 0，
x x x2 x2
所以T (x) 在 (1,+ )上单调递减，即 x 1时T (x) T (1) = 0，不等式 (*)得证，故 D 正确.
故选：B.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．【答案】12
【详解】从 1，2，3，4 这四个数字中任取两个不同的数，
A2可以组成不同的两位数的个数为 4 = 4 3 =12，
故答案为：12
1
12．【答案】m
4
【详解】当m = 0时， x +1 0， x 1，不满足题意；
m 0 1
当m 0 时， ,所以m ，
Δ =1 4m 0 4
1
综上，实数m的取值范围为m .
4
1
故答案为：m
4
13．【答案】9
【详解】 E (x) = 0.1 1+ 0.2 2+ 0.3 3+ 0.4 4 = 3，
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2 2 2 2
D (X ) = 0.1 (1 3) + 0.2 (2 3) + 0.3 (3 3) + 0.4 (4 3) =1，
所以D (3X + 2) = 9D (X ) = 9 .
故答案为：9 .
11 9
14．【答案】 .
24 13
【详解】设“第 i *N 次是甲投篮”为事件 Ai ，“投篮命中”为事件 B，
1 1 1
由题意可知： P (A1 ) = P (A1 ) = ，P (B | Ai ) = , P (B | Ai ) = ，
2 4 3
3 2
则 P (B | Ai ) = , P (B | Ai ) = ，
4 3
所以第 2 次投篮的人是甲的概率为P (A2 ) = P (B | A1 )P (A1 )+ P (B | A1 )P (A1 )
1 1 2 1 11
= + = ；
4 2 3 2 24
且在第 2 次投篮的人是乙的情况下，第 1 次投篮的人是甲的概率为
3 1
P (A1 A2 ) P (B | A )P (A ) 9
P ( 1 1A1 | A 4 22 ) = = = = .
P (A ) 1 P (A 112 2 ) 131
24
11 9
故答案为： ； .
24 13
15．【答案】③④
【详解】对于①， f (x) = 2x +1，其导数 f (x) = 2 ，则有 f (x) = 0，不符合“凹函数”的定义，故①错误；
3 2
对于②， f (x) = x ，定义域为 R，其导数 f (x) = 3x ，则 f (x) = 6x，在定义域 R 上 f (x) 0不恒成立，
不符合“凹函数”的定义，故②错误；
对于③， f (x) = x2 +1，定义域为 R，其导数 f (x) = 2x，则有 f ( x) = 2 0在 R 上恒成立，符合“凹函数”
的定义，故③正确；
1 1
对于④， f (x) = lg x，定义域为 (0,+ )，其导数 f (x) = ，则有 f (x) = 0在 (0,+ )上恒
x ln10 x2 ln10
成立，符合“凹函数”的定义，故④正确．
故选：③④．
三、解答题：共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【答案】(1) 1 (2)最大值为 e2 3，最小值为 0
x
【详解】（1）函数 f (x) = e + ax 1，则 f (x) = ex + a，
因为曲线 f (x) = ex + ax 1在点 (1, f (1))处的切线与直线 x (1 e) y +1= 0垂直，
所以 f (1) = e 1，所以 e + a = e 1，解得 a = 1；
x
（2）由（1）可知， f (x) = e x 1， x 1,2 ，
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则 f (x) = ex 1，令 f (x) = 0得， x = 0 ，
当 x ( 1,0)时， f (x) 0，即 f (x) 在 ( 1,0)上单调递减；
当 x (0,2)时， f x 0 ，即 f (x) 在 (0, 2)上单调递增，
所以当 x = 0 时， f (x) 取得极小值，也是最小值 f (0) = 0，
1
f ( 1) = f (2) = e2
1
又因为 ， 3 ，
e e
所以函数 f (x) 在 1, 2 上的最大值为 e2 3，
综上所述，函数 f ( x)在 1, 2 上的最大值为e2 3，最小值为 0 ．
3
17．【答案】(1) ； (2) 3，15，15x 3， x 6 20x 2 x (3) 0 .
0 1 2
【详解】（1）解：选①，由Cn +Cn +Cn = 22，得 n = 6 （负值舍去）．
选②，令 x =1，可得展开式中所有项的系数之和为 0．
C0 +C1 + +C n 0 = 2n由 = 64 ，n n n 得 n = 6 ．
r = 2
n 3r
选③，设第 r +1项为常数项，T = Cr
r
( 1) x 2 ，由 n 3r ，得 n = 6 ． r+1 n
= 0
2
3
由 n = 6 得展开式的二项式系数最大为C6，
3 3

则展开式中二项式系数最大的项为 3T4 = C
3
6 ( 1) x 2 = 20x 2 ．
6 3r
（2）解：设第 r +1项为有理项，T = Cr
r
r+1 6 ( 1) x 2 ，
6 3r
因为0 r 6， r N ， Z ，
2
所以 r = 0, 2, 4,6 ，
0 3 3 2 0
则有理项为T = C x = x ，T3 = C6x =15，T5 = C
4x 36 =15x
3 6 6 6
1 6 ，T7 = C6x = x ．
6 6
1 1
（3）在 x 中，令 x =1，即 1 = 0，
x 1
所以展开式中所有项的系数之和为 0 .
18．【答案】(1) 625 (2)18 (3)5
【详解】（1）解：由题意，4 个编号为 1，2，3，4 的球和 5 个编号为 1，2，3，4，5 的盒子，
把球全部放入盒子内，共有5 5 5 5 = 54 中不同的放法.
（2）解：每个盒子内只放一个球，恰有 2 个盒子的编号与球的编号相同，
C2不同的放法有 4 (1+ 2) =18中不同的方法；
（3）解：将 4 个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒，
即有 4 个盒子每个盒子放 1 个球，共有5种放法.
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3
19．【答案】(1) ； (2)分布列见解析；(3)方案③.
10
【详解】（1）按方案①，小北做 6 个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出 1 个白球的事件，而每个袋中
抽球是相互独立的，
3 4 3
所以小北做 6 个俯卧撑的概率P = = .
5 8 10
C2 3
（2）从甲袋中任取 2 个球有三种情况，当选的 2 个球为白球时的概率为： 3 = ，
C25 10
C13C
1 2
当选的 个球为 2
3 C 1
2 1 白 1 黑的两球时的概率为： =2 ，当选的 2 个球为黑球时的概率为：
2 = ，
C5 5 C
2
5 10
而 X 的可能值为 3，6，
3 6 3 5 1 4 13 3 4 3 5 1 6 12
P(X = 3) = + + = ，P(X = 6) = + + = ，
10 10 5 10 10 10 25 10 10 5 10 10 10 25
所以 X 的分布列为：
X 3 6
13 12
P
25 25
C2 3
（3）从乙袋中任取 2 个球有三种情况，当选的 2 个球为白球时的概率为： 4 = ，
C28 14
C1C1 4 C2 3
当选的 2 个球为 1 白 1 黑的两球时的概率为： 4 4 =2 ，当选的 2 个球为黑球时的概率为：
4 = ，
C8 7 C
2
8 14
3 5 4 4 3 3 4 13 4
小北抽出白球的概率为： P 1 = + + = ，显然 ，
14 7 7 7 14 7 7 25 7
所以应该方案③.
20．【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
2
【详解】（1） f ( x)的定义域为 (0,+ )
1 2ax 1
， f (x) = 2ax = ，
x x
当 a 0 时，则 2ax2 1 0 在 (0,+ )内恒成立，可知 f ( x)在 (0,+ )内单调递减；
1 1
当 a 0时，令 f (x) 0，解得 x ；令 f (x) 0，解得0 x ；
2a 2a
1 1
可知 f ( x)在 0, 内单调递减，在 ,+ 2a
内单调递增；
2a


综上所述：当 a 0 时， f ( x)在 (0,+ )内单调递减；
1 1
当 a 0时， f ( x)在 0, ,+ 内单调递减，在 内单调递增．
2a 2a
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x 1 1
（2）（i）F (x) = (x +1)e 1= (x +1) x e ，
x x
由 x 0 可知 x +1 0，
1 1
设 h (x) = ex ， x 0 ，因为 y = ex ， y = 在 (0,+ )内单调递增，
x x
1
则 h (x)在 (0,+ )内单调递增，且h = e 2 0， h (1) = e 1 0，
2
1
可知 h (x)在 (0,+ )内存在唯一零点 x F x0 ,1 ，从而知 ( )存在唯一零点；
2
（ii）由（i）知：当0 x x0 ，则 h ( x) 0，即F (x) 0 ，F ( x)单调递减，
当 x x0，则 h ( x) 0，即F (x) 0， F ( x)单调递增，
则 F (x) x F (x ) = x e 00 0 lnx0 x0 1，
x 1 x 1 x 1
又因为 e 0 = 0，则 e 0 = ， x 0 x ,1
x x 0
= e ， 0 ，
0 0 2
1 x
可得 F (x0 ) = x 00 lne x0 1= 0，
x0
即 F (x) 0．
21．【答案】（1）集合 1,2,3,4,5 不是“可分集合”，集合 1,3,5,7,9,11,13 是“可分集合”；（2）见解析；（3）
①见解析；②最小值是 7
【详解】（1）集合 1,2,3,4,5 不是“可分集合”，集合 1,3,5,7,9,11,13 是“可分集合”；
（2）不妨设a1 a2 a3 a4 a5 ，
若去掉的元素为 a2，将集合 a1,a3 ,a4 ,a5 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有
a1 + a5 = a3 + a4①，或者 a5 = a1 + a3 + a4②；
若去掉的元素为 a1，将集合 a2 ,a3 ,a4 ,a5 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有
a2 + a5 = a3 + a4③，或者 a5 = a2 + a3 + a4④.
由①、③，得 a1 = a2 ，矛盾；由①、④，得 a1 = a2 ，矛盾；
由②、③，得 a1 = a2 ，矛盾；由②、④，得 a1 = a2 ，矛盾.
因此当 n = 5时，集合A 一定不是“可分集合”；
（3）①设集合 A = a1,a2 , ,an 所有元素之和为M .
由题可知，M ai (i =1,2, ,n)均为偶数，因此 ai (i =1,2, ,n)均为奇数或偶数.
如果M 为奇数，则ai (i =1,2, ,n)也均为奇数，由于M = a1 + a2 + + a ，所以nn 为奇数.
如果M 为偶数，则ai (i =1,2, ,n)均为偶数，此时设 ai = 2bi，则 b1,b2 , ,bn 也是“可分集合”. 重复上述操
作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n为奇数.
综上所述，集合A 中元素个数为奇数.
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②当 n = 3时，显然任意集合 a1,a2 ,a3 不是“可分集合”.
当 n = 5时，第（2）问已经证明集合 A = a1,a2 ,a3,a4 ,a5 不是“可分集合”.
当 n = 7 时，集合 A = 1,3,5,7,9,11,13 ，因为：
3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合A 是“可分集合”.
所以集合A 中元素个数 n的最小值是 7.
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