【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 5.2.2用函数模型解决实际问题（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
5.2.2用函数模型解决实际问题
一、单选题
1．某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（　　）（参考数据：）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的四周墙壁建造单价为400元/，中间一条隔壁建造单价为100元/，池底建造单价为60元/（池壁厚忽略不计且池的深度一定），欲使总造价最低，则泳池的长应设计为（　　）米．
A．13 B．14 C．15 D．16
3．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（　　）（精确到小数点后2位）
A．0.13 B．0.15 C．0.20 D．0.22
4．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（　　）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
5．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 .已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为 （ 为常数， 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了 ，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（　　）（参考数据：取 ）
A．8 B．9 C．10 D．14
6．某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长。假设在该传染病流行初期的感染人数为P0，且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下，n天后感染此疾病的总人数Pn可以表示为Pn=P0(1+r)n，其中P0≥1且r>0。已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍，则 的值是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题
7．对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．我国清代古算书《御制数理精蕴》里面记载这样一个问题：设有马四匹，牛六头，共价四十八两；马三匹，牛五头，共价三十八两，问：牛马各几何？
答：马　 　两/匹；牛　 　两/头．
9．为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 （ 为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，学生方可进教室．由图中提供的信息，从药物释放开始，到学生回到教室需要经过的时间至少为　 　．
10．某地每年销售木材约20万 ，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的 征收木材税，这样每年的木材销售量减少 万 ，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是　 　．
11．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为　 　（元）.
12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为　 　秒（精确到0.1）
13．某地铁换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需时间如下表：
安全出口编号 ， ， ， ，
疏散乘客用时（秒） 120 140 190 160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号为　 　．
四、解答题
14．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量 （单位：mg/L）与过滤时间 （单位：h）间的关系为 （ ， 均为非零常数，e为自然对数的底数），其中 为 时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数 的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据： ， ， ， ， ）
15．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
16．某广告公司计划利用一块临街建筑物墙面设计广告宣传画，宣传画是面积为32平方米的矩形，同时要求宣传画周围要留出前后宽2米，左右宽1米的空白区域（如图），设矩形宣传画的长为x米。
（1）试用x表示矩形宣传画的宽；
（2）试问当x为多少时，矩形宣传画及周围空白区域的总面积y有最小值，最小值为多少？
17．政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．
方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．
方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）．
（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？
（2）10年后，哪一种方案的利润较大？
18．某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
（1）经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
19．浙江某物流公司准备建造一个仓库，打算利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为16平方米，且背面靠墙的长方体形状的物流仓库.由于其后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米150元，左右两面新建墙体的报价为每平方米75元，屋顶和地面以及共他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为 米 .
（1）当左右两面墙的长度为4米时，求甲工程队的报价；
（2）现有另一工程队乙工程队也参与此仓库建造竞标，其给出的整体报价为 元.若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功（价低者为成功），求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；函数模型的选择与应用
2．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
3．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
4．【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
5．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
6．【答案】C
【知识点】指数函数综合题；函数模型的选择与应用
7．【答案】A,B,D
【知识点】函数模型的选择与应用
8．【答案】6；4
【知识点】函数模型的选择与应用
9．【答案】0.6
【知识点】函数模型的选择与应用
10．【答案】[3,5]
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
11．【答案】120或130
【知识点】一元二次不等式；函数模型的选择与应用
12．【答案】4.4
【知识点】函数模型的选择与应用
13．【答案】
【知识点】函数模型的选择与应用
14．【答案】（1）解: 由已知得，当 时， ；当 时， .
于是有 ，解得 （或 ）.
（2）解: 由（1）知 ，当 时，有 ，
解得 .
故污染物减少到40%至少需要42h.
【知识点】函数模型的选择与应用
15．【答案】（1）解：依题意，得：
利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；
（2）利润函数G（x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），
当x=4.75时，G（x）有最大值；
所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．
【知识点】函数模型的选择与应用
16．【答案】（1）解：宣传画的宽为 米
（2）解：由题意相，y=（x+2）（ +4）
∴y=（x+2）（ +4）=4（ ）+40≥4×2 +40=72，
当且仅当x= ，即x=4时取“=”
当x=4时，宣传画及周围空白区城总面积有最小值，最小值为72平方米
【知识点】函数的最大（小）值；函数模型的选择与应用
17．【答案】（1）解：方案1是等比数列，方案2是等差数列，
①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元
获利：4[1+（1+25%）+（1+25%）2+…+（1+25%）9]=4× =132.8（万元），
银行贷款本息：40（1+2%）10≈48.8（万元），
方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元
获利：3+（3+1.5）+（3+2×1.5）+…+（3+9×1.5）
=10×3+ =97.50（万元）
（2）解：方案1，银行贷款本息：40（1+2%）10≈48.8（万元），
故方案1纯利：132.8﹣48.8=84（万元）．
方案2，银行贷款本息：20（1+2%）10≈24.4（万元），
故方案2纯利：97.50﹣24.4=73.1（万元）．
∴方案1的利润较大．
【知识点】函数模型的选择与应用
18．【答案】（1）解：如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）解：依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
【知识点】一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
19．【答案】（1）解：剩余一面墙的长度为 （米），
则报价为 （元）
（2）解：由题意可知，
，
， ，
，
即 ，
设 ，所以 ，
由对勾函数的性质得函数在 单调递增，
所以当 时， .又 ，
所以 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数模型的选择与应用
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