【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 4用样本估计总体数字特征（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
3用样本估计总体数字特征
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7
方差ss 3.5 3.6 2.2 5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．若 ，则 （　　）
A．20 B．40 C．15 D．30
3．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（　　）
A．73.3，75，72 B．73.3，80，73
C．70，70，76 D．70，75，75
4．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则（　　）
A．＝5，s2<2 B．＝5，s2>2
C．>5，s2<2 D．>5，s2>2
5．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列① ~ ⑤各个选项中，一定符合上述指标的是 (　　)
①平均数； ②标准差； ③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。
A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤
6．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26.26，则
A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐
B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐
C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
二、多选题
7．甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（　　）
A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等
B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等
C．甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大
D．乙旅游景区日均气温的极差为
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空题
9．树人中学举办以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是　 　.
10．五个数2，2，3，3，a的平均数是3，这五个数的标准差是　 　．
11．一组数据的标准差为s，将这组数据中每一个数据都扩大到原来的2倍，所得到的一组数据的方差是　 　．
12．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则 的值为　 　．
13．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则　 　.
四、解答题
14．目前，新高考改革正在全国各地分阶段分地域稳步推进，根据“两依据，一参考”的标准，形成综合评价、多元录取考试招生格局，这使学业水平考试提到了前所未有的新高度.为了更好地了解学生对即将进行的学业水平考试的复习状况，某校对某年级2000名同学进行了适应性考试，考试结束后，发现学生的语文和数学成绩全部介于50分与100分之间.现抽取100名同学的语文和数学成绩进行研究，先对语文成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 、 、 、 、 .
（1）若语文成绩在 的认为学生语文成绩优秀，求该样本在这次考试中语文成绩优秀的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（答案四舍五入，保留整数）
（3）若这100名学生的语文成绩分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，试估计这100名同学数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
分数段
15．某企业质管部门，对某条生产线上生产的产品随机抽取100件进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），下图是这100件产品的综合评分的频率分布直方图．若将综合评分大于等于80分以上的产品视为优等品．
（1）求这100件产品中优等品的件数；
（2）求这100件产品的综合评分的中位数．
16．200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示
（1）求汽车时速的众数；
（2）求汽车时速的中位数；
（3）求汽车时速的平均数．
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
18．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频率
第 组
第 组
第 组 ①
第 组
第 组
（1）请先求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取 名学生进入第二轮面试，求第 组应抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数.
19．2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到如下的柱状图：记x表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数，y表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用(单位：万元)，n表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.
（1）若n=19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（3）假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师，分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
2．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
3．【答案】A
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
4．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
5．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
6．【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差
7．【答案】A,B,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
8．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
9．【答案】94
【知识点】众数、中位数、平均数
10．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
11．【答案】4s2
【知识点】极差、方差与标准差
12．【答案】10
【知识点】众数、中位数、平均数
13．【答案】16
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
14．【答案】（1）解：∵
∴
∴成绩在 的频数为
∴样本数据中成绩优秀的人数为5人
（2）∵区间在 的概率和为 ，
∴中位数在70~80之间.
设中位数为x，则 ，解得：
即估计语文成绩的中位数为72.
（3）由题意，数学成绩在 上的有5人， 有20人， 有40人， 有25人，[90，100]有10人.
∴数学成绩的平均数为
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
15．【答案】（1）由频率和为1得： ．
所以优等品件数为： ．
（2）设综合评分的中位数为x，
则 ．
解得 ，所以综合评分的中位数为82.5．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图得[50，60）区间对应的小矩形最高，
∴汽车时速的众数为55．
（2）解：由频率分布直方图得[30，50）区间对应的频率为（0.005+0.018）×10=0.23，
[50，60）区间对应的频率为0.039×10=0.39，
∴汽车时速的中位数为：50+ =
（3）解：汽车时速的平均数为：
35×0.005×10+45×0.018×10+55×0.039×10+65×0.028×10+75×0.010×10=57
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
17．【答案】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，
∴a=0.3；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；
月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；
则x=2.5+0.5× =2.9吨
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
18．【答案】（1）解：由 ，
（2）解：第 组的人数为 ，第 组人数为 ，第 组人数为 ，共计 人，用分层抽样抽取 人，则第 组应抽取人数为
（3）解：平均数 ，由图，第 两组的频率和为 ，第 组的频率为 ，所以中位数落在第 组，设中位数与 的距离为 ，则 ，解得 ，故笔试成绩的中位数为
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
19．【答案】（1）解：当x 19时， 万
当x>19时，y=38+5(x 19)=5x 57万，
所以y与x的函数解析式为
（2）解：由柱状图知，流失的教师数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19
（3）解：若每所乡村中学在今年都招聘19名教师，则未来四年内这100所乡村中学中有70所在招聘教师上费用为38万元，20所的费用为43万元，10所的费用为4 8万元，因此这100所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 ×(3 8×70+4 3×20+4 8×10)=4 0万元。
若每所乡村中学在今年都招聘20名教师，则这100所乡村中学中有90所在招聘师上的费用为4 0万元，10所的费用为4 5万元，因此未来四年内这100所乡村中学在招聘教师上所需费用的平均数为 ×(4 0×90+4 5×10)=4 0.5万元。
比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘19名教师。
【知识点】众数、中位数、平均数；函数模型的选择与应用
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