备战2025年高考：暑期提分”神器装备“ 模拟试题精编（数学）（适用于新高考地区）（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 备战2025年高考：暑期提分”神器装备“ 模拟试题精编（数学）（适用于新高考地区）（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-01 19:49:27 | ||
图片预览
文档简介
备战 2025 年高考：暑期提分“神器装备”
模拟试题精编（数学）
目录
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测数学试题
重庆市 2024 届高三下学期二模数学试题
福建省 2024 届高三一轮模拟数学试题
广东省广州市 2024 届高三下学期一模考试数学试题
河北省 2024 届高三下学期 3 月高考模拟考试数学试题
河南省驻马店部分学校 2024 届高三下学期二模考试数学试题
湖北省 2024 届高三下学期三模数学试题
湖南省岳阳市 2024 届高三下学期三模数学试题
山东省淄博市 2024 届高三下学期一模考试数学试题
浙江省丽水、湖州、衢州三市 2024 届高三下学期二模数学试卷
参考答案
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测
数学试题
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合U 1,2,3,4,5 , A 1,2 ,B 1,3,5 ，则 A UB （ ）
A. 2 B. 1,2,4
C. 1,2,3,5 D. 1,3,4,5
z cos 2π2. 若复数 isin 2π（ i为虚数单位），则 z23 3
（ ）
A. 1 3 1 3 i B. i
2 2 2 2
C. 1 3 i D. 1 3 i
2 2 2 2
3. 已知 a,b R，下列命题正确的是（ ）
A. 若ab 1，则 a b 2
B. 1 1若 a ba b，则
C. 若 a b，则 ln a b 0
a 1D. 若 a b 0，则 b 1
b a
f x sinx4. 函数 cosx 的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某次考试一共 5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对 4道题，答错一道题，三
人回答具体情况记录如下:
题号 1 2 3 4 5
考生甲 T F F F T
考生乙 T T F T T
考试丙 F F F T T
则这 5道题的正确答案依次为（ ）
A. FFFTT
B. FTFTT
C. TFFTF
D. TFFTT
6. 若函数 f x ax ln ex 1 是偶函数（e是自然对数的底数），则实数 a的值为（ ）
A. 1
1 1 1
2 B. C. D. 2 e e
2 2
7. E : x y已知A为双曲线 1 a 0,b 0 的右顶点，O为坐标原点，B,C 为双曲线
a2 b2
E 1上两点，且 AB AC 2AO，直线 AB, AC的斜率分别为 4 和 2 ，则双曲线 E的离心
率为（ ）
A. 63 B. 5 C. D. 2
2 2
8. 2当实数 t变化时，函数 f x x t , x 4,4 最大值的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多项选择题:木题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 已知数列 a n 1n , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若an 2n 1,Tn 2 2，则（ ）
A. S10 100 B. b10 1024
1 9 1 1023
C. 的前 10项和为 D. 的前 10项和为
anan 1 19 bn 1024
10. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,M ,N分别是棱 AB,CC1的中点，下列结论正
确的是（ ）
A. MN / /AC1
B. MN CD1
C. 棱BC的中点在平面D1MN 内
D. 四面体MNA1D1的体积为 1
11. 如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按
顺时针方向旋转150 ，若出现反面则时针按逆时针方向旋转150 ，用 X n表示 n次后时针指
向的数字，则（ ）
A. E X1 6
1
B. P X 2 12 4
35
C. P X 7 7 D. E X8 6128
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知向量 a 1,2 ,b 1, t ，若 2a b与 a 2b 共线，则实数 t ______.
13. 在3 3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个 2 2的方格中
的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为______.
14. 在等腰梯形 ABCD中，AB//CD,DA DB，若 AB 4，则梯形周长的最大值为______，
梯形面积的最大值为______.
四、解答题:本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
A
15. 记 ABC的内角 A,B,C 2的对边分别为 a,b,c，已知 c b 2csin
2
（1）试判断 ABC的形状；
（2）若c 1，求 ABC周长的最大值.
16. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E、F分别在 BB1，DD1上，且 AE A1B，
AF A1D．
（1）求证： A1C 平面 AEF ；
（2）当 AB 4， AD 3， AA1 5时，求平面 AEF 与平面D1B1BD的夹角的余弦值．
17. 塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效
农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了 A,B两种新品
石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取
300个，按质量（单位:g）将它们分成 4组: 50,70 , 70,90 ， 90,110 , 110,130 ，得到
如下频率分布直方图:
（1）分别估计 A,B品种石榴单个果实的质量；
（2）经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表:
50,70 70,90 90,110 110,130
A品种合格
0.7 0.8 0.7 0.8
率
B品种合格
0.7 0.8 0.8 0.9
率
已知 A品种混放在一个库房，B品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取 2
个石榴，其中合格石榴的总个数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
18. x
2 y2
如图，已知椭圆Γ : 2 2 1, a b 0 的左右焦点为 Fa b 1
,F2 ，短轴长为6, A为 上
一点，G 1,
1
为△AF1F2的重心.
2
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 上不同三点 B,C ,D，满足CF2 OF2，且 BF2 , CF2 , DF2 成等差数列，线
段 BD中垂线交 y轴于 E点，求点 E纵坐标的取值范围；
y （3）直线 l : y kx 2与 交于M ,N点，交 轴于 P点，若PM PN，求实数 的取
值范围.
19. f x acos2x x2已知函数 a，其中 a R
（1）若 a 1，记 g x f x ，试判断 g x 在 0, π 上的单调性；
2
1
（2）求证:当 a 时， f x 0；
2
x 1 13 R cos 2sinx f x a x2（ ）若对 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
2 2
重庆市 2024 届高三下学期二模
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ a b 2，且 ab 1”是“ a 1，且b 1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 复数 z i 1 i3 i4 2i 的实部为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
3. 2024年 3月 22日国家文物局在北京公布 2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地
区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区 崧泽文
化区 良渚文化区 钱山漾文化区四大区域，总面积约 6万平方米.该遗址延续时间长 谱系完
整，是长江下游地区少有的连续时间近 4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在
皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大
区域进行考古发掘，现安排包含甲 乙在内的 6名研究生同学到这 4个区域做考古志愿者，
每人去 1个区域，每个区域至少安排 1个人，则甲 乙两人安排在相同区域的方法种数为
（ ）
A. 96 B. 144 C. 240 D. 360
4. 若正四面体 P ABC的棱长为 2 3，M为棱 PA上的动点，则当三棱锥M ABC的外
接球的体积最小时，三棱锥M ABC的体积为（ ）
A. 4 6 B. 4 2 C. 4 3 D. 8 3
3
5. 假设变量 x与变量Y 的 n对观测数据为 x1, y1 , x2 , y2 , , xn , yn ，两个变量满足一元
Y bx e,
线性回归模型 E e 0,D e 2 .要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计 b，即
n
求使Q(b) yi bx 2i 取最小值时的b的值，则（ ）
i 1
n n
xi yi xi yi
A. b i 1 B. b i 1n n
x2 2i yi
i 1 i 1
n n
xi yi xi x yi y
C. b i 1 b i 1n n D. n n
x2i y2i xi x 2 yi y 2
i 1 i 1 i 1 i 1
a 16. 设 ，b ln1.21， c 10sin 1 ，则（ ）
10 100
A. a b c B. b a c C. c a b D.
c b a
7. 已知圆C： x2 y 3 2 4，过点 0,4 的直线 l与 x轴交于点 P，与圆C交于A， B
两点，则CP CA CB 的取值范围是（ ）
A. 0,1 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,2
2 1
8. 设O是 ABC的外心，点D为 AC的中点，满足DO AB AC, R，若
3 2
BC 2，则 ABC面积的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 2
分.
9. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元
1, x S
素个数有限，对于U 的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x
0, x US
若 A,B,C U，则（ ）
注： f (x)表示M 中所有元素 x所对应的函数值 f x 之和（其中M 是 f x 定义域的
x M
子集）.
A. 1A (x) 1A (x)
x A x U
B. 1A B (x) 1A(x) 1A B (x)
C. 1A B (x) 1A (x) 1B (x) 1A (x)1B (x)
x U x U
D. 1 1A (x) 1 1B (x) 1 1C (x) 1U (x) 1A B C (x)
x U x U x U
10. 已知圆O : x2 y2 1，圆C : (x a)2 (y 1)2 4,a R，则（ ）
A. 两圆的圆心距 OC 的最小值为 1
B. 若圆O与圆C相切，则 a 2 2
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则 2 2 a 2 2
D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为 2
11. 已知集合 A x Z x2 2x 8 0 x m，集合 B x 9 3 ,m R, x R ，若 A B
有且仅有 3个不同元素，则实数m的值可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 在四边形 ABCD中， BC 2AD，点 P是四边形 ABCD所在平面上一点，满足
PA 10PB PC 10PD 0 .设 s, t
t
分别为四边形 ABCD与 PAB的面积，则 ______.
s
x
13. 若关于 x的方程m elnm x e ln x x 有解，则实数 m的最大值为__________.e
14. 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD，且 PA 2 ，
AB 1．四棱锥 P ABCD的各个顶点均在球 O的表面上，B l， l OB，则直线 l与
平面 PAC所成夹角的范围为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
ln x
15. 已知函数 f x ．
x
（1）求曲线 y f x 在点 e, f e 处的切线方程；
（2 2）当 x 1时， xf x a x 1 ，求 a的取值范围．
16. 在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 2b c 2acosC 0 .
（1）求角A；
（2）射线 AB绕A点旋转90 交线段 BC于点 E，且 AE 1，求 ABC的面积的最小值.
17. 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动
驾驶系统（记为系统A和系统 B），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾
驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，
进行如下试验：每一轮对系统A和 B分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排
下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少 2次时，就停止试验，并认为出现
故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统A不
出现故障且系统 B出现故障，则系统A得 1分，系统 B得-1分；若系统A出现故障且系统 B
不出现故障，则系统A得-1分，系统 B得 1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，
则两个系统均得 0分.系统 A B出现故障的概率分别记为 和 ，一轮试验中系统A的得分
为 X 分.
（1）求 X 的分布列；
（2）若系统A和 B在试验开始时都赋予 2分， pi i 0,1,2,3,4 表示“系统A的累计得分
为 i时，最终认为系统A比系统 B更稳定”的概率，则 p0 0, p4 1，
pi api 1 bpi cpi 1 i 1,2,3 ，其中 a P X 1 ,b P X 0 ,c P X 1 .现
根据 p2的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若 p2 0.1，则先启
动系统 B；若 p2 0.9，则先启动系统A；若0.1 p2 0.9，则随机启动两个系统中的一
个，且先启动系统A的概率为 p2 .
(1 )2 2
①证明： p2 2 (1 )2
；
(1 )2 2
②若 0.001, 0.002，由①可求得 p2 0.8，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需
自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
2 2
18. y x双曲线C : 1(a,b 0)的焦点为 F1,F2 （F1在 F2下方），虚轴的右端点为 ，a2 b2
A
过点 F 且垂直于 y2 轴的直线 l交双曲线于点 P（ P在第一象限），与直线 AF1交于点 B，记
△ABF2 的周长为m,△BPF1的周长为 n, m n 4．
（1）若C的一条渐近线为 y 2x，求C的方程；
（2）已知动直线 l 与C相切于点T ，过点T 且与 l 垂直的直线分别交 x轴，y轴于M ,N两
点，Q为线段MN上一点，设MQ MN , (0,1)为常数．若 ||QF2 | |QF1 ||为定值，
求 b的最大值．
19. 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又
认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到
1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，
发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地
球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面
2
Γ : x y
2 z2
1 a 0, b 0, c 0 ， 这 说 明 椭 球 完 全 包 含 在 由 平 面
a2 b2 c2
x a, y b, z c所围成的长方体内，其中 a,b,c按其大小，分别称为椭球的长半轴、
x2
中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面 z 0的截痕是椭圆 E : y 2 1 .
2
x2 y2
（1）已知椭圆 1 a b 0 在其上一点Q x0 , y0 处的切线方程为a2 b2
xx0 yy0 A,B A,B
a2
1．过椭圆 E的左焦点 F作直线 l与椭圆 E相交于 两点，过点 分别作
b2 1
椭圆的切线，两切线交于点M ，求 ABM 面积的最小值．
（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于 5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容
异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两
个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等．当b c时，椭球面Γ围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅
原理求该椭球的体积．
福建省 2024 届高三一轮模拟
数学试题
一、单选题
1．复数 z满足 z 1 i 4 2i ，则 z （ ）
A．1 3i B．3 3i
C． 2 3 2i D．3 2 2i
2．已知集合 A x x 1 k ,k 0 ， B x 3 x 3 ，若 A B，则 k的最大值是（ ）
A．4 B．3
C． 2 D．1
3．已知 ABC所在平面内一点 P，满足 PA PB PC 0，则 AP （ ）
1
A． AB
1
AC 1 1B． AB AC
2 2 3 3
1 1 1
C． AB AC D． AB
1
AC
2 3 3 2
4．对变量 x， y有观测数据 xi , yi (i 1,2, ,10)，得散点图 1；对变量u，v有观测数据
ui ,vi (i 1,2, ,10)，得散点图 2. r1表示变量 x， y之间的样本相关系数， r2表示变量u，
v之间的样本相关系数，则（ ）
A． 1 r1 r2 0 B． 1 r2 r1 0
C．0 r1 r2 1 D．0 r2 r1 1
1, x 0,
5．已知符号函数 sgn x 0, x 0, 则函数 f (x) sgn(x) ln x x2 1 的图象大致为（ ）
1, x 0.
A． B．
C． D．
6．4sin140 tan 220 （ ）
A． 3 B． 3 C．1 D． 1
y
7．直线 l1 :mx y 3m 0与直线 l2 : x my 3 0相交于点P x ,y0 0 0，则 x 5的取值范围0
是（ ）
3 , 3 3 , 3A B ． ． 5 5 4 4
4 4 , 4 C． D． ,
4
3 3 3
,
3
8．某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87% .为提高产品合格
率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高 4%，产品合格率比
去年12月增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该
工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．5月份 B．6月份
C． 7月份 D．8月份
二、多选题
9．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 4,S5 35，则（ ）
A．nan 的最小值为 1 B． nSn的最小值为 1
Sn a C． 为递增数列 D． n
n
n2
为递减数列
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 2,AA1 AD 1,E 为 AB的中点，则（ ）
A． A1B B1C B． A1D / /平面 EB1C
C 3 5．点D到直线 A1B的距离为 D．点D到平面 EB1C 的距离为 3
5
11．通信工程中常用 n元数组 a1,a2 ,a3 , ,a n 表示信息，其中 ai 0或1 i,n N* ,1 i n ．设
u a1,a2 ,a3 , ,a n ,v b1,b2 ,b3 , ,bn ,d u ,v 表示u和v中相对应的元素（ ai对应bi，
i 1, 2, ,n）不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A．若u 0,0,0,0,0 ，则存在 5个 5元数组v，使得 d u,v 1
B．若u 1,1,1,1,1 ，则存在 12个 5元数组 v，使得 d u,v 3
C．若 n元数组w 0 ,0 , ,0 ，则 d u,w d v,w d u,v
n个0
D．若 n元数组w 1 ,1 , ,1 ，则 d u,w d v,w d u,v
n个1
三、填空题
12．在复平面内，复数 z对应的点的坐标是 2,1 ，则 i z ．
13．底面半径为 2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 3
的圆锥，所得的圆台的侧面积为 ．
14．在平面直角坐标系 xOy中，整点 P（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 PA，
2
PB与圆C： x 2 y2 4分别切于A，B两点，与 y轴分别交于M ，N两点，则使得 PMN
周长为 2 21的所有点 P的坐标是 ．
四、解答题
15．已知函数 f x 3 x2 4ax a2lnx在 x 1处取值得极大值．
2
(1)求 a的值；
(2)求 f x 1 在区间 ,e 上的最大值． e
16．某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中
成绩分组区间是 30,50 、 50,70 、 70,90 、 90,110 、 110,130 、 130,150 ．
(1)求图中 a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百
分位数；
(2)从这次数学成绩位于 50,70 、 70,90 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取
9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间 70,90 的人数记为 X ，求 X 的分布
列及数学期望．
17．如图，四棱锥 A BCDE ,AB BC AC CD 2BE 2,BE∥CD , BCD
π
，平面 ABC
2
平面 BCDE ,F 为 BC中点．
(1)证明：平面 AEC 平面 AFD；
(2)求平面 AED与平面 AFD夹角的正弦值．
2
18．设点 F1 c,0 x、 F2 c,0 分别是椭圆C : y 22 1的左、右焦点， P为椭圆C上任意一a
点，且 PF1 PF2 的最小值为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆C的外切矩形 ABCD的面积S的最大值．
19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变
量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 an ，规定 Δan 为数列 an 的一阶差分
数列，其中Δan an 1 a n N* Δ2n ，规定 an 为数列 an 的二阶差分数列，其中
Δ2an Δan 1 Δan n N* ．
(1) 3 * 2数列 an 的通项公式为 an n n N ，试判断数列 Δan , Δ an 是否为等差数列，请说
明理由？
(2)数列 logabn 是以 1为公差的等差数列，且 a 2，对于任意的 n N*，都存在m N*，使
2
得Δ bn bm，求 a的值；
(3)各项均为正数的数列 cn 的前 n项和为 Sn，且 Δcn 为常数列，对满足m n 2t，m n的
任意正整数m,n,t都有 cm cn，且不等式 Sm Sn St恒成立，求实数 的最大值．
广东省广州市 2024届高三下学期一模考试
数学试题
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A 1,3,a2 ,B 1,a 2 ，若 B A，则 a （ ）
A.2 B.1 C.-2 D.-1
2.已知复数 z满足 z 3 4i 1，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
S
3.记 Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 a3a5 2a2a 44 ，则 S （ ）2
A.5 B.4 C.3 D.2
4.已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上 下底面边长分别为 1和 2，且 BB1 DD1，则该棱
台的体积为（ ）
A. 7 2 B. 7 2 7 7C. D.
2 6 6 2
2
5. B,F C : y x
2
设 2 分别是椭圆 1(a b 0)的右顶点和上焦点，点 P在C上，且a2 b2
BF2 2F2P，则C的离心率为（ ）
1
A. 3 B. 65 C. D. 3
3 13 2 2
6.已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
A. f x sin tanx B. f x tan sinx
C. f x cos tanx D. f x tan cosx
3
7. b已知 a ,3 5,5c 8，则（ ）
2
A.a b c B.a c b
C. c b a D.b c a
π π
8.已知 , 是函数 f x 3sin 2x 2
0, 在 上的两个零点，则 cos
6 2
（ ）
2
A. B. 5 C. 15 2 D. 2 3 5
3 3 6 6
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. a
,b
已知向量 不共线，向量 a b平分 a与b 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.a b 0 B. a b a b
C. 向量 a与b在 a b上的投影向量相等 D. | a b | | a b |
10.甲箱中有 3个红球和 2个白球，乙箱中有 2个红球和 2个白球（两箱中的球除颜色外，
没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 A1和 A2 表示从甲箱中取出
的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 B表示从乙箱中取出的两球都是红
球，则（ ）
A. P A1
3 P B 11 B.
5 50
C. P B∣A1
9
D. P A B 2∣
50 2 11
11.已知直线 y kx与曲线 y lnx相交于不同两点M x1, y1 ,N x2 , y2 ，曲线 y lnx在
点M 处的切线与在点 N 处的切线相交于点 P x0 , y0 ，则（ ）
0 k 1A. B. x1x2 exe 0
C. y1 y2 1 y0 D. y1y2 1
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
S 9
12.已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n n，当 a 取最小值时， n __________.n
13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率 f （单位：心
跳次数/分钟 )的对应数据 Wi , fi i 1,2, ,8 ，根据生物学常识和散点图得出 f 与W 近
8
似满足 f cW k (c,k 为参数 ) .令 xi lnW
2
i , yi lnfi ，计算得 x 8, y 5, y i 214 .由
i 1
最小二乘法得经验回归方程为 y b x 7.4，则 k的值为__________；为判断拟合效果，通
8
2
过经验回归方程求得预测值 y i i 1,2, ,8 ，若残差平方和 yi y i 0.28，则决定
i 1
n
yi y i 2
系数 R2 __________.（参考公式：决定系数 R2 1 i 1n .）
yi y 2
i 1
14.已知曲线C是平面内到定点 F 0, 2 与到定直线 l : y 2的距离之和等于 6的点的轨迹，
若点 P在C上，对给定的点T 2, t ，用m t 表示 PF PT 的最小值，则m t 的最小
值为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应马出文字说明 证明过程或璌算步骤.
15.（13分）
记 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, ABC的面积为 S .已知
S 3 a 2 c 2 b2 .4
（1）求 B；
π
（2）若点D在边 AC上，且 ABD , AD 2DC 2，求 ABC的周长.
2
16.（15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形， DCP是等边三角形，
DCB PCB π ，点M ,N分别为DP和 AB的中点
4
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面 PBC 平面 ABCD；
（3）求CM 与平面 PAD所成角的正弦值.
17.（15分）
已知函数 f x cosx xsinx, x π, π .
（1）求 f x 的单调区间和极小值；
（2）证明：当 x 0, π 时， 2 f x ex e x .
18.（17分）
2 2
已知O x y为坐标原点，双曲线C : 1(a 0,b 0)的焦距为 4，且经过点 2, 3 .
a2 b2
（1）求C的方程；
（2）若直线 l与C交于 A,B两点，且OA OB 0，求 AB 的取值范围；
（3）已知点 P是C上的动点，是否存在定圆O : x2 y2 r 2 (r 0) ，使得当过点 P能作
圆O的两条切线 PM ,PN 时（其中M ,N分别是两切线与C的另一交点），总满足
PM PN ？若存在，求出圆O的半径 r；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
*
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 n n 3,n N 位成
员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该
成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关
闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二
关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.
3 1
已知 A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 和 ，且每位成员闯关是否成功
4 2
互不影响，每关结果也互不影响.
（1）若 n 3，用 X 表示 A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 X 的均值；
（2）记 A团队第 k 1 k n 1,k N* 位成员上场且闯过第二关的概率为 pk ，集合
k N* p
3
k 中元素的最小值为 k0，规定团队人数 n k 1，求 n .
128
0
河北省 2024届高三下学期 3月高考模拟考试
数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1
1．复数 3 的实部为（ ）(1 i)
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 4 2 2
2．已知集合 A x N x 4 ，B x x n2 1,n A ，P A B，则集合 P的子集
共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
a
3．已知向量 与b 的夹角为60 ，且 a (1, 3)， b 1，则 a 3b （ ）
A． 7 B． 10 C．4 D． 2 7
4．已知有 5人的身高各不相同，若安排 5人拍照，前排 2人，后排 3人，且后排 3人中身
高最高的站在中间，则不同的站法种数为（ ）
A．32 B．36 C．40 D．42
π
5．已知在三棱锥O ABC中， AOB BOC COA ，则直线OA与平面OBC所
3
成的角的正弦值为（ ）
2 1 3 6
A． B． C． D．
4 2 3 3
6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐
3
渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 2.25g/m ，首次改良工艺后排
放的废水中含有的污染物数量为 2.21g/m3，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物
数量 rn满足函数模型 rn r0 (r1 r0 ) 3
0.25n t
（ t R， n N*），其中 r0 为改良工艺前排
放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为
3
改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m 时符合废水排放标准，若
该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：lg 2 0.30，
lg 3 0.48）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．已知抛物线T : y2 2px p 0 的焦点为 F，直线 l交抛物线 T于 A，B两点，M为线
MN
段 AB的中点，过点 M作抛物线 T的准线的垂线，垂足为 N，若 MF AM ，则 的
AB
最大值为（ ）
2 1 1
A．1 B． C． D．
2 2 3
8．某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不
计），已知该球形玩具的直径为 2，每盒需放入 10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小
值为（ ）
A． 2 2 6 B． 2 4 6 C． .4 2 6
D． 4 4 6
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9 2 2．已知圆C1 : x y 2x 2y 2 0 C : x
2 y2，圆 2 8x 10y 32 0，则下列选项
正确的是（ ）
A．直线C1C2 的方程为 4x 3y 1 0
B．圆C1和圆C2共有 4条公切线
C．若 P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则 PQ 的最大值为 10
C C 25D．经过点 1， 2的所有圆中面积最小的圆的面积为 π4
π
10 ．已知函数 f (x) sin x ( 0)在 0,2π 上有且仅有 5个零点，则（ ）
5
6 , 23A ． 的取值范围是 5 10
B． f x 的图象在 0,2π 上有且仅有 3个最高点
C． f x 的图象在 0,2π 上最多有 3个最低点
f x 0, πD ． 在 上单调递增
6
11 f (x) ax2 x．已知函数 e 2ln x x a，则（ ）
A．当 a 1时， f x 有极小值 B．当 a 1时， f x 有极大值
C．若 f x 0，则 a 1 D．函数 f x 的零点最多有 1个
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
cos sin 112．已知 ，则 cos
2
π
______．
6 3 3
13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，
成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型
为 Aa，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为 aa的子代因无法适应自然环境而被自
然界淘汰．例如当亲代只有 Aa的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
雌 雄
1 A 1 a
2 2
1 A 1 AA 1 Aa
2 4 4
1 a 1 Aa
2 4
由上表可知，子一代中 AA : Aa 1: 2 2 1，子一代产生的配子中 A占 ，a占 ，以此类推，
3 3
子七代中 Aa的个体所占的比例为______．
x2 y2
14．已知椭圆T : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，P为椭圆 T上一点，a b
且 F1PF2 60 ，若△PF1F2 的外接圆面积是其内切圆面积的 25倍，则椭圆 T的离心率
e ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．（13分）
已知在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a sin A c sinC (a b)sin B．
（1）求 C；
（2）求 sin2 A sin2 B的最大值．
16．（15分）
如图，已知在圆柱OO1中，A，B，C是底面圆 O上的三个点，且线段 BC为圆 O的直径，
A1， B1为圆柱上底面上的两点，且矩形 ABB1A1 平面 ABC，D，E分别是 AA1，CB1的
中点．
（1）证明：DE∥平面 ABC．
（2）若△B1BC是等腰直角三角形，且DE 平面CBB1，求平面 A1B1C与平面 BB1C 的夹
角的正弦值．
17．（15分）
某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高
服务水平，现对当日购票的 120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的
人数分别为 36、60和 24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这 120人中随机抽取 10人，再从这 10人中
随机抽取 4人，求随机抽取的 4人中恰有 2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的 2人和购
买回程票的 m（m 2且m N*）人组成一组，负责人从某组中任选 2人进行询问，若选
出的 2人的购票类型相同，则该组标为 A，否则该组标为 B，记询问的某组被标为 B的概率
为 p．
（i）试用含 m的代数式表示 p；
（ii）若一共询问了 5组，用 g p 表示恰有 3组被标为 B的概率，试求 g p 的最大值及
此时 m的值．
18．（17分）
已知函数 f (x) ln x ax 1， a R．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 x 0， f x xe2x 2ax恒成立，求实数 a的取值范围．
19．（17分）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程为 y 3x，右焦点 F到渐近线a b
的距离为 3．
（1）求双曲线 C的标准方程；
（2）若双曲线上动点 Q处的切线交 C的两条渐近线于 A，B两点，其中 O为坐标原点，求
证：△AOB的面积 S是定值．
河南省驻马店部分学校 2024届高三下学期二模考试
数学试题
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知点 P 6, y0 在焦点为 F 的抛物线C : y2 2px(p 0)上，若 PF
15
，则 p
2
（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
2.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣
传力度.已知某社区共有居民 480人，其中老年人 200人，中年人 200人，青少年 80人，若
按年龄进行分层随机抽样，共抽取 36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A.6人 B.9人 C.12人 D.18人
3.已知 a b c 0，则下列说法一定正确的是（ ）
A. a b c B.a2 bc
C.ac b2 D.ab bc b2 ac
4. 已知向量 a 2, 3 ,b 1, 2 ，则 a b在a b 方向上的投影向量为（ ）
8 , 16 12 , 20 12 20 20 20 A. B. C. , D. ,
17 17 17 17 17 17 17 17
5.已知某正六棱柱的体积为6 3 20 5π，其外接球体积为 ，若该六棱柱的高为整数，则其
3
表面积为（ ）
A.6 3 18 B.3 3 18 C.6 3 24 D.3 3 24
6.已知甲 乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是 f x cosx 0 x 3π 的图像.
某日小明和小红分别从甲 乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也
停止前行.若将小明行走轨迹的点记为 a,b ，小红行走轨迹的点记为 c,d ，且满足
a
c 3π，函数 g a b 2d ，则 g a 的一个单调递减区间为（ ）
2
0, 4π π , 5π 4π 8π A. B. C. , D. 2π,3π
3 3 3 3 3
2 2
7.已知椭圆C : x y 1(0 m 9,m Z)的左 右焦点分别为 F1,F2，点 P在C上但不9 m
7
在坐标轴上，且 PF1F2是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为 ，则m （ ）8
A.4 B.5 C.6 D.8
m
8. x已知函数 f x me eln e 1 x的定义域为 0, ，若 f x 存在零点，则m的
x
取值范围为（ ）
1 1
A. , B. 0,e C.e 0, D. e, e
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知 z1 3 2i, z2 4 i，则（ ）
A. z1 z2 的虚部为-1
B. 4z1 3z2是纯虚数
C. z1z2在复平面内所对应的点位于第一象限
z
D. 2 z1 4i
10.已知 (4 3x)7 a0 a1 1 3x a (1 3x)22 a7 (1 3x)7，则（ ）
7
A. a4 945 B. a 47i 1
i 1
C. a a 13 6 6 130 2 a4 a6 2 2 D. a1 a3 a5 a7 2 2
11.设M x 是定义在N*上的奇因函数，是指 x的最大奇因数，比如：M 3 3,M 6 3，
M 8 1，则（ ）
A. *对 k N ,M 2k 1 M 2k
B.M 2k M k
C.M 1 M 2 M 63 931
D.M 1 2 63 63
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. A x∣4x2已知集合 x 5 0 ,B {x∣x m}，若m 0，则 RA B __________；
若 A B R，则m的取值范围为__________.
13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5
门研究性学习课程，要求每位同学选择其中 2门进行研修，记事件 A为甲 乙两人至多有 1
门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则 P A __________.
14.定义：对于函数 f x 和数列 xn ，若 xn 1 xn f xn f xn 0，则称数列 xn 具
有“ f x 函数性质”.已知二次函数 f x 图像的最低点为 0, 4 ，且
f x 1 f x 2x 1，若数列 xn 具有“ f x 函数性质”，且首项为 1的数列 an 满
足 an ln xn 2 ln xn 2 ，记 an 的前 n S
S n 项和为 n，则数列 n 5
的最小值
2
为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
b 2tanB
在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中 c 3，且 a tanB tan A B .
（1）求C；
（2）求 a2 b2 的取值范围.
16.（15分）
已知函数 f x lnx x a x .
（1）讨论 f x 的最值；
x
（2）若 a 1 f x ke x，且 ，求 k的取值范围.
x
17.（15分）
在如图①所示的平面图形中，四边形 ACDE为菱形，现沿 AC进行翻折，使得 AB 平面
1
ACDE，过点 E作EF∥ AB，且EF AB，连接 FD,FB,BD，所得图形如图②所示，
2
其中G为线段 BD的中点，连接 FG .
（1）求证： FG 平面 ABD；
（2）若 AC AD 2，直线FG与平面BCD 7所成角的正弦值为 ，求 AB的值.
7
18.（17分）
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近 300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，
如图所示.
（1）求 a的值以及该公司这 300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择 4天，记汽车销售量在区间 200,250 内
的天数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽
奖区有 A,B两个盒子，其中 A盒中放有 9张金卡 1张银卡，B盒中放有 2张金卡 8张银卡，
顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽
出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对
应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银
卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.
19.（17分）
x2 2
已知双曲线C : y2 2 1(a 0,b 0)的左顶点为 A，直线 l1 : y x 2与C的一条渐近a b
1
线平行，且与C交于点 B，直线 AB的斜率为 .
3
（1）求C的方程；
（2）已知直线 l2 : y 2x m m 8 与C交于 P,Q两点，问：是否存在满足
EA EP EP EQ EA EQ 的点 E x , y 2 20 0 ？若存在，求 x0 y0 的值；若不存在，请说
明理由.
湖北省 2024届高三下学期三模
数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设 a 1, 2 ，b 3,4 ， c 3,2 ，则 a 2b c等于（ ）
A. 15,12 B. 0 C. 3 D. 11
2. 已知集合 A y y x 1 x 2 B ∣， x y 6 ，则 A B （ ）
2
10 x
A. 10, B. 3, 10 C. 3, D.
10,3
3. 下面四个数中，最大的是（ ）
1 2
A. ln3 B. ln ln3 C. D. ln3
ln3
4. 数列 an 的首项为 1，前 n项和为 Sn，若 S n Sm Sn m ，（m,n N ）则，a9 （ ）
A. 9 B. 1 C. 8 D. 45
5. 复数 z a 2i （ a R）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
1 2i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
6. 函数 f x ex e x lnx2 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 能被 3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（ ）
A. 228 B. 210 C. 240 D. 238
8. 抛物线 : x2 2y上有四点A，B，C，D，直线 AC，BD交于点 P，且PC PA，
S 2
PD PB 0 1 ．过 A,B分别作 Q ABP的切线交于点 ，若 S ，则 （ ） ABQ 3
3 2A. B. C. 3 1D.
2 3 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0
分．
9. 平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（ ）
A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
f x 2sin x t 0, π π 310. 已知函数 , t Z 有最小正零点 ，
2 2 4
f 0 1，若 f x 9 在 4, 2 上单调，则（ ）
π 5A. B. π C. f 9 1 D. f 9 1
3
11. 如图，三棱台 ABC - A1B1C1的底面 ABC为锐角三角形，点 D，H，E分别为棱 AA1，BC，
C1A1的中点，且 BC 2B1C1 2，AC AB 4；侧面 BCC1B1为垂直于底面的等腰梯形，
7 3
若该三棱台的体积最大值为 ，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
6
7
A. 11该三棱台的体积最小值为 B. DH
4 2
1 3 2 21
C. VE ADH V28 ABC A B
D. EH ,
1 1C1 4 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 写出函数 f x x x x lnx的一条斜率为正的切线方程：______．2 e
13. 两个连续随机变量 X，Y满足 X 2Y 3，且 X N 3, 2 ，若 P X 1 0 0.14，
则 P Y 2 0 ______．
2 2
14. x y双曲线C : 1 a,b 0 的左右焦点分别为F1，F2，以实轴为直径作圆 O，过a2 b2
圆 O上一点 E作圆 O的切线交双曲线的渐近线于 A，B两点（B在第一象限），若BF2 c，
AF1与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算
步骤．
15. 数列 an 中， a1 1， a2 9，且 an 2 an 2an 1 8，
（1）求数列 an 的通项公式；
2
（2）数列 bn 的前 n项和为 Sn，且满足bn an，bnbn 1 0，求 Sn．
2 2
16. 已知椭圆C1 :
x
y 2 1 x和C : y 22 1 a b 0 的离心率相同，设C1的右顶点a2 b2
为 A1，C2的左顶点为 A2， B 0,1 ，
（1）证明：BA1 BA2；
（2）设直线 BA1与C2的另一个交点为 P，直线 BA2与C1的另一个交点为 Q，连 PQ，求 PQ
的最大值．
参考公式：m3 n3 m n m2 mn n2
17. 空间中有一个平面 和两条直线 m，n，其中 m，n与 的交点分别为 A，B， AB 1，
π
设直线 m与 n之间的夹角为 ，
3
（1）如图 1，若直线 m，n交于点 C，求点 C到平面 距离的最大值；
（2）如图 2，若直线 m，n互为异面直线，直线 m上一点 P和直线 n上一点 Q满足 PQ / / ，
PQ n 且 PQ m，
（i）证明：直线 m，n与平面 的夹角之和为定值；
（ii）设 PQ d 0 d 1 ，求点 P到平面 距离的最大值关于 d的函数 f d ．
18. 已知函数 f x ax2 x ln x 1 ， a R，
f x f x
（1）若对定义域内任意非零实数x x 1 2， ，均有 0，求 a；
1 2 x1x2
t 1 1 1 t 5（2）记 n ，证明： n ln n 1 t ．2 n 6 n
19. 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设 n为正整数，集合 X n 1,2, ,n 1 ，欧拉函
数 (n)的值等于集合 X n中与 n互质的正整数的个数；记M (x, y)表示 x除以 y的余数（x
和 y均为正整数），
（1）求 (6)和 (15)；
（2）现有三个素数 p，q， e( p q e)，n pq，存在正整数 d满足M (de, (n)) 1；
已知对素数 a和 x X a，均有M (xa 1,a) 1，证明：若 x X n ，则 x M ([M (xc ,n)]d ,n)；
（3）设 n为两个未知素数的乘积， e1， e2为另两个更大的已知素数，且 2e1 3e2 1；又
c1 M (x
e1 ,n)， c2 M (x
e2 ,n)， x X n ，试用 c1， c2和 n求出 x的值．
湖南省岳阳市 2024 届高三下学期三模
数学试题
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A { 2, 1,0,1, 2,3}， B x |
x 3
0 ，则 A B （ ）
x 1
A. { 1,0,1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
2. 若虚数单位 i是关于 x的方程 ax3 bx2 2x 1 0(a,b R)的一个根，则 a bi
（ ）
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3. 直线 2x 3y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 3,2 B. 2,3 C. 3, 2 D. 2, 3
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线 l上有无数个点不在平面 内，则 l / /
B. 若直线a不平行于平面 且 a ，则平面 内不存在与 a平行的直线
C. 已知直线 a，b，平面 , ，且 a ,b , // ，则直线 a，b平行
D. 已知两条相交直线 a，b，且 a//平面 ，则b与 相交
5. 已知 y f (x 1) 1为奇函数，则 f ( 1) f (0) f (1) f (2) f (3) （ ）
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
6. 把 5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相
邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
7. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a2 a1 0, S20 100，则 a10a11（ ）
A. 有最小值 25 B. 有最大值 25 C. 有最小值 50 D. 有最大
值 50
ex a, x a
8. 已知函数 f (x) ， f (x)不存在最小值，则实数 a2 的取值范围是（ ）
x 2ax, x a
A. ( 1,0)
1
B. ,
3
( 1,0) 1 1C. , D. ,0
(1, )
3 3
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. Cn7 C
3
7 ，则 n 3
Cm m 1B. Cm 1n n 1 n 1
C. (x 1)10 5的展开式的第 6项的系数是C10
D. (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 3的展开式中 x2的系数为C6 1
10. 已知函数 f (x) 2cos( x )
π
0, 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. 2
π 7π
B. f (x)的单调递减区间为 kπ ,kπ 12 12
,k Z
π
C. f (x)的图象可由函数 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到
6
f (x) f 7π D. 满足条件
f (x) f
4π 0 的最小正整数 x为 2
4 3
11. 如图，四边形 ABCD是圆柱OO1的轴截面且面积为 2，四边形OO1DA绕OO1逆时针旋
转 (0 π)到四边形OO1D1A1 ，则（ ）
A. 圆柱OO1的侧面积为 2π
B. 当0 π时，DD1 A1C
C. 当0 π时，四面体CDD1A1的外接球表面积最小值为3π
2π
D. 当BD1 2时， π3
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知双曲线C过点 (1, 6)，且渐近线方程为 y 2x，则C的离心率为______．
13. 已知角 , 的终边关于直线 y x sin( 3对称，且 ) ，则 , 的一组取值可以
2
是 ______， ______．
14. 如图所示，直角三角形 ABC所在平面垂直于平面 ，一条直角边 AC在平面 内，另
3 π
一条直角边 BC长为 且 BAC 3，若平面 上存在点 P，使得 ABP的面积为 ，
3 6 3
则线段CP长度的最小值为______．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15. 已知等差数列 an 满足： a1 2，且 a1， a2，a4成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
2
（2）若等差数列 an 的公差不为零且数列
4n
bn 满足：bn ，求数列
b 的
an 1 a 1 nn
前 n项和Tn ．
16. 某地区举行专业技能考试，共有 8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参
加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了 100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制
了样本频率分布直方图，如图所示.
（1 2）若所有考生的初试成绩 X 近似服从正态分布 N , ，其中 为样本平均数的估计
值， 11.5，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于 85分的人数；
（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得 5分，答错得 0分，后两道题考生每题答对
得 10分，答错得 0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试
3 3
中，前两题每题能答对的概率均为 ，后两题每题能答对的概率均为 ，且每道题回答正
4 5
确与否互不影响.规定复试成绩上了 20分（含 20分）的考生能进入面试，请问该考生进入
面试的概率有多大
2
附：若随机变量 X服从正态分布 N , ，则： P( X ) 0.6827，
P( 2 X 2 ) 0.9545,P( 3 X 3 ) 0.9973.
17. 已知四棱锥P ABCD的底面 ABCD是边长为 4的菱形， DAB 60 ，PA PC，
PB PD 2 10 ，M 是线段 PC上的点，且 PC 4MC．
（1）证明：PC 平面 BDM ；
（2）点E在直线DM 上，求 BE与平面 ABCD所成角的最大值．
18. 已知动圆 P过定点 F (0,1)且与直线 y 3相切，记圆心 P的轨迹为曲线 E．
（1）已知A、 B两点的坐标分别为 ( 2,1)、 (2,1)，直线 AP、 BP的斜率分别为 k1、 k2，
证明： k1 k2 1；
（2）若点M x1, y1 、N x2 , y2 是轨迹E上的两个动点且 x1x2 4，设线段MN的中点
为Q，圆 P与动点Q的轨迹 交于不同于F 的三点C、D、G，求证： CDG的重心的
横坐标为定值．
19. 已知 ABC的三个角 A,B,C的对边分别为 a,b,c且 c 2b，点D在边 BC上， AD是
BAC的角平分线，设 AD kAC（其中 k为正实数）．
（1）求实数 k的取值范围；
2 f (x) 3 ax3 5 b（ ）设函数 bx2 cx
3 2 2
k 2 3①当 时，求函数 f (x)的极小值；
3
②设 x0是 f (x)的最大零点，试比较 x0与 1的大小．
山东省淄博市 2024 届高三下学期一模考试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 y2 4x的焦点坐标为（ ）
A. 1,0 B. 0,1
1 1
C. ,0 D. 0,
16 16
2. 某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 4 2
3. 记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 a3 a7 10,a5a6 35，则 S6 （ ）
A. 20 B. 16 C. 14 D. 12
π
4. 已知函数 f (x) sin(2x )，则下列结论中正确的是（ ）
3
A. 函数 f (x)的最小正周期T 2π
5π
B. 函数 f (x)的图象关于点 ( ,0)中心对称
12
π
C. 函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
6
π
D. 函数 f (x)在区间[0, ]上单调递增
4
5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数 e 2.71828…的前 6位数字 2，7，1，
8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，
则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A. 24 B. 16 C. 12 D. 10
6. 在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 OA与 OB关于 x轴对称，向量 a 0,1 ，若满
2 足 OA a AB 0的点 A的轨迹为 E，则（ ）
A. E是一条垂直于 x轴的直线 B. E是一个半径为 1的圆
C. E是两条平行直线 D. E 是椭圆
π , 3π π π 7. 若 4 4
，6 tan 4
4cos 4
5cos 2 ，则 sin 2 （ ）
24 12 7 1
A. B. C. D.
25 25 25 5
8. 已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q．是它们的两个公共点，且 P，Q．关于原
2 e2 3e2
点对称， PF2Q ，
1 2
若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e ，则 3 2 e2 1 e21 2 3
的最小值是（ ）
A. 2 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 4 3
3 3 3 3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若样本数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 的方差为 2，则数据
3x1 1,3x2 1,3x3 1,3x4 1,3x5 1,3x 6 1的方差为 17
B. 一组数据 8，9，10，11，12的第 80百分位数是 11.5
C. 用决定系数R2 比较两个模型的拟合效果时，若 R2 越大，则相应模型的拟合效果越好
D. 以模型 y c ekx 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 z ln y，求得线性回
归方程为 z 2x 0.4，则 c，k的值分别是 e0.4和 2
10. 已知非零复数 z1， z2 ，其共轭复数分别为 z1，z2，则下列选项正确的是（ ）
2
A. z21 z1
B. z1 z2 z1 z2
C. 若 z2 1 1，则 z2 1的最小值为 2
z1 zD. 1
z2 z2
11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO 中椭圆长轴
AB 4，短轴CD 2 3，F1,F2 为下底面椭圆的左右焦点，F 2 为上底面椭圆的右焦点，
AA 4， P为线段BB 上的动点，E 为线段 A B 上的动点，MN 为过点F2的下底面的一
条动弦(不与 AB重合)，则下列选项正确的是（ ）
A. 当F F 1 2 //平面 PMN时， P为BB 的中点
B. 三棱锥F 2 F2CD外接球的表面积为8π
C. 若点 Q是下底面椭圆上的动点，Q 是点 Q在上底面的射影，且Q F1，Q F2 与下底面所
16
成的角分别为 , ，则 tan 的最大值为
13
D. 三棱锥E PMN 体积的最大值为 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知等比数列 an 共有 2n +1项， a1 1，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的和为
42，则公比 q=__________.
13. 已知定义在R 上的函数 f (x)， f (x)为 f (x)的导函数， f x 定义域也是 R，` f (x)满
2024
足 f (x 1012) f (1013 x) 4x 1，则 f (i) _______.
i 1
14. 设方程 ex x e 0，ln x x e 0 p q f x ex的根分别为 ， ，函数 p q x，
令 a f 0 ,b f 1 ,c f 3 ，则 a，b，c的大小关系为___________.
2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
2
15. 如图，在△ABC中， BAC , BAC 的角平分线交 BC于 P点， AP 2 .
3
（1）若 BC 8，求△ABC的面积;
（2）若CP 4，求 BP的长.
16. 如图，多面体 ABCDEF是由一个正四棱锥 A BCDE与一个三棱锥 F ADE拼接而成，
正四棱锥 A-BCDE的所有棱长均为3 2，AF / /CD .
（1）在棱 DE上找一点 G，使得面 ABC 面 AFG，并给出证明;
AF 1（2）当 CD时，求点 F到面 ADE的距离;
2
1
（3）若 AF CD，求直线 DF与面 ABC所成角的正弦值.
3
17. 已知函数 f (x) e x sin x 1 .
（1）讨论函数 f (x)在区间 (0, )上的单调性;
（2）证明函数 f (x)在区间 ( π,0]上有且仅有两个零点.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中 400
名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育
锻炼不超过 2次的称为体育锻炼频率低，不低于 3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值
0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼 5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层
随机抽样，抽取 8人，再从这 8人中随机抽取 3人，记这 3人中年龄在 [30,40)与[50,60]的
人数分别为 X ,Y , X Y ，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛
球 3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选
1 2 2
择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 , , ，求小明星期天选择跑
3 5 3
步的概率.
n ad bc 2
参考公式： 2 ，n a b c d .
a b c d a c b d
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 在平面直角坐标系 xOy中，点. F 5,0 ，点 P x, y 是平面内的动点.若以 PF 为直径的
圆与圆 D : x2 y2 1相切，记点 P 的轨迹为曲线 C.
（1）求 C的方程;
（2）设点 A(1,0),M (0, t),N (0, 4 t)(t 2) ，直线 AM ，AN 分别与曲线 C交于点 S，T (S，
T 异于 A)，过点 A作 AH ST ，垂足为 H，求 |OH |的最大值.
浙江省丽水、湖州、衢州三市 2024 届高三下学期二模
数学试卷
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 掷两枚质地均匀的骰子，设 A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”，则 A与 B
的关系为（ ）．
A. 互斥 B. 互为对立
C. 相互独立 D. 相等
2
2. 双曲线 x2 y 1(m 0)的渐近线方程为 y 2x，则m （ ）
m2
A. 12 B.
2 C. 2 D. 2
2
3. 复数 z满足 iz 1（ i为虚数单位），则 z 4 3i 的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知平面向量 a、b满足 b 2 a 2，若 a a b ，则 a与b的夹角为（ ）
π 5π π 2π
A. B. C. D.
6 6 3 3
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 a6，3a4，－a5成等差数列，则
S4
S ＝（ ）2
A. 3 B. 9
C. 10 D. 13
6. 将函数 f x cos2x π 的图象向右平移 0 个单位后得到函数 g x 的图象，若
2
对满足 f x1 g x2 2
π
的 x1, x2 ，有 x1 x2 min ，则 （ ）3
π π π 5π
A. B. C. D.
6 4 3 12
x2 y2
7. 已知椭圆C : 2 2 1(a b 0),F1,F
2 为左 右焦点，P为椭圆上一点， F1PF 60 ，a b 2
直线 l : y x t经过点 P .若点 F2关于 l的对称点在线段 F1P的延长线上，则C的离心率是
（ ）
1
A. B. 2 2C. 1
3 2 2
D.
3
8. 已知正实数 x , x , x x2满足 2x 1 x 2x1 21 2 3 1 1 1 ，x2 3x2 1 x
x2 2
23 ，x3 4x3 1 x
x3
34 ，
则 x1, x2 , x3的大小关系是（ ）
A. x3 x2 x1 B. x1 x2 x3
C. x1 x3 x2 D. x2 x1 x3
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 有一组样本数据 x1, x 22 , x3 , x4 , x5 , x6 的平均数是 x ，方差是 s ，极差为 R，则下列判断正
确的是（ ）
A. 若ax1 b,ax2 b,ax3 b,ax4 b,ax5 b,ax6 b的平均数是 x0 ，则 x0 ax b
B. 若 x1, 2x2 ,3x3, 4x4 ,5x5 ,6x6的极差是R1，则 R1 R
C. 若方差 s2 0，则 x1 x2 x3 x4 x5 x6
D. 若 x1 x2 x3 x4 x5 x
x x
6，则第 75百分位数是
4 5
2
10. 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB BC且 AB BC 2，直线 A1C与底面 ABC所
3
成角的正弦值为 ，则（ ）
3
A. 线段 A1C上存在点D，使得 A1B AD
B. 线段 A1C上存在点D，使得平面DBB1 平面DCC1
4
C. 直三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为 3
D. 点B1到平面 A1BC的距离为 2
11. 已知函数 f x 的定义域为R，且
f x y f x y f 2 x f 2 y , f 1 2, f x 1 为偶函数，则（ ）
A. f 3 2 B. f x 为奇函数
2024
C. f 2 0 D. f (k) 0
k 1
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 在 ABC π 1中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,B ,c 2,BC 边上的高等于 a，则
4 3
ABC的面积是__________，sinA __________.
13. C :mx2 2m 1 y2已知圆 2ax a 2 0 ，若对于任意的 a R，存在一条直线被
圆C所截得的弦长为定值n，则m n __________.
14. 已知正四面体 A BCD的棱长为 1，若棱长为 a的正方体能整体放入正四面体
A BCD中，则实数a的最大值为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设等差数列 an 的公差为d ，记 Sn是数列 an 的前 n项和，若 S5 a3 20，
S15 a2a3a8 .
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若d 0,b
4S
n n N*n a a ，数列 bn
1
的前 n项和为Tn ，求证：Tn n .
n n 1 2
16. 如图，三棱锥 A BCD中， AD CD, AD CD, ADB BDC,E为线段 AC的
中点.
（1）证明：平面BED 平面 ACD；
（2）设 AB BD 3,BF 2FD,EF BD 0，求直线CF与平面 ABC所成角的正弦值.
17. f x e x设函数 ln x a ,a R .
（1）当 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若对定义域内任意的实数 x，恒有 f x a，求实数a的取值范围（. 其中 e 2.71828
是自然对数的底数）
18. 已知抛物线 E : y2 4x ，点 A,B,C在抛物线 E上，且A在 x轴上方，B和C在 x轴下
方（ B在C左侧）， A,C 关于 x轴对称，直线 AB交 x轴于点M ，延长线段CB交 x轴于点
Q，连接QA .
OM
（1）证明： 为定值（O为坐标原点）；OQ
（2）若点Q
8
的横坐标为 1，且MB MC ，求 AQB的内切圆的方程.
9
19. 为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.
若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 p1；若该区
域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 p2 .已知该指
定区域有珍稀动物活动的概率为 0.2.现用 2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功
能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定
指定区域有珍稀动物活动.
（1）若 p1 0.8, p2 0.02 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
（精确到 0.001）；
（2）若监测系统在监测识别中，当0.8 p1 0.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍
稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，
该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为 0.9.求 p2的范围（精确到 0.001）.
35.04 0.9866, 35.01（参考数据： 0.9861,0.98 2 0.9604 ）
6 6
参考答案
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测
数学试题参考答案
1.B
由集合U 1,2,3,4,5 , A 1,2 ,B 1,3,5 ，
可得 UB {2,4}，所以 A UB 1,2,4 .
故选：B.
2.A
z cos 2π isin 2π 1 3因为 i，
3 3 2 2
2
2 1 3 所以 z i
1 3 3 2 1 3
2 2
i i i .
4 2 4 2 2
故选：A .
3.D
当 a 1,b 1时， a b 2，所以 A错.
当 a 0,b 0时， a b ，所以 B错.
当 a 2,b 1时， ln a b 0，所以 C错.
1 1
若a b 0，则 0
1 1
，则 a b 成立，所以 D正确.
b a b a
故选：D
4.C
f x sinx由 πcosx 可知，cos x 0，即 x kπ,k Z，显然该函数定义域关于原点对称，2
f x sin( x) sin x由 = f (x)cos( x) cos x 可知，函数为奇函数，排除 B, D两项，
sin 3π
又 f (
3π) 4 1 0，排除 A项，故 C项正确.
4 | cos 3π |
4
故选：C.
5.D
每个考生都均答对 4道题，答错一道题，
第 1题，若甲乙答错，则甲乙的后四题答案应相同，不成立，故丙答错了第 1题；
丙答错了第 1题，则丙的后四题全部正确，对比可知，甲答错了第 4题，乙答错了第 2题，
则这 5道题的正确答案依次为 TFFTT.
故选：D
6. B
依题意， f ( x) f (x)，即 ax ln e x 1 ax ln ex 1 ，
x
2ax e 1整理得： ln 0，即2ax lnex 0，则有 (2a 1)x 0，
e x 1
1
因 x不恒为 0，故必有 2a 1 0，解得， a .
2
故选：B.
7.A
由 AB AC 2AO可得：O是BC的中点，即 B,C关于原点对称，
不妨假设点 B(m,n)，则C( m, n)，
由 A(a,0) 1及直线 AB, AC的斜率分别为 4和 2 可得：
n 4 m 9a n 4m 4a m a 7 ，联立解得： ，
n 1 2n m a
8a
n
m a 2 7
所以把点 B(9a , 8a )代入双曲线方程 E得：
7 7
2 2
9a 8a
7 81 64a2
2
7
2 1 1
，
a b 49 49 c2 a2
c 64 32
再由 e 代入得： 2
a 49 e2 1 49 ，解得： e 3，
e 1, e 3，
故选：A.
8.D
若 4t 0，即 t 0时， f (x) x2 t ，其对称轴为 x 0， f (x)max t 16，
此时，因 t 0，故 g(t) t 16的最小值为 16；
若 t 0，由 y x2 t 0可得 x t ，
（Ⅰ）如图 1，当 t 4时，即 16 t 0时， f x x2 t 在 [ 4, t ]上递减，
在[ t ,0]上递增，
在[0, t ]上递减，在[ t , 4]上递增，又 f ( 4) | t 16 | t 16, f (0) | t | t ，
① 当 16 t 8时， t 16 t，故 f x t，而 g(t) t在[ 16, 8]max 上单调递
减，则此时， g(t)min g( 8) 8；
② 当 8 t 0时， t 16 t ，故 f x t 16，而 h(t) t 16在 ( 8,0)max 上单调
递增，则此时， g(t) h( 8) 8 .
（Ⅱ）如图 2，当 t 4，即 t 16时， f x x2 t 在[ 4,0]上单调递增，在[0, 4]上
单调递减，
则此时 f x f (0) t t，而 (t) t在 ( , 16)max 上单调递减，则
(t) ( 16) 16 .
综上，函数 f x x2 t , x 4,4 最大值的最小值为 8.
故选：D.
9.ABD
an 2n 1，所以 an 是首项 a1 1，公差d 2的等差数列，
10 10 1
S10 10 1 2 100，故选项 A正确.2
1 1 1 1 1 1 1
令 cn = ，则 cn ( ) ( )a ，n ×an+1 d an an 1 2 an an 1
c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c2 c10 ( ) ( )2 a ，1 a2 a2 a3 a10 a11 2 a1 a11
又 a1 1， a11 21，
c 1 1 c2 c10 (1
1 ) 10 ，故选项 C错误.
2 21 21
T 2n 1又 n 2， bn Tn T 2
n 1
n 1 2 2
n 2 2n (n＞1,n N )，
又 b1 T1 2
1 1 2 2 b 21， 1 2， b
n
n 2 (n N
)，
bn 是首项为b1 2，公比 q= 2的等比数列，
b 21010 1024，故选项 B正确.
1 1 1 1
n 1
又 n
b 2 2
，
n 2
1
1 1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， bn
1 1
1 1 1 1 (1 2 210
)
1023 1 ，故选项 D正确.b1 b2 b3 b10 1 1024
2
故选：ABD.
10.BD
如图所示建立空间直角坐标系，
则M 2,1,0 ,N 0,2,1 , A 2,0,0 ,C1 0,2,2 ,C 0,2,0 ,D1 0,0,2 ，
所以MN 2,1,1 ,AC1 2,2,2 ,CD1 0, 2,2 ，
2 2
由空间向量共线的充要条件知若MN / /AC1，则有MN AC1 ，
1 2
显然上述方程无解，故 A错误；
又MN CD1 2 0 1 2 1 2 0，所以 B正确；
延长D1N ,DC交于 H点，连接MH 交 BC于 G点，
由平行线分线段成比例可知 G为靠近 B点的线段 BC的一个三等分点，故 C错误；
设平面 A1D1M 的一个法向量为 n x, y, z ，
易知D1A1 2,0,0 ,A1M 0,1, 2 ,A1N 2,2, 1 ，
n D1A1 2x 0
则 ，令 y 2 x 0, z 1，即 n 0,2,1 ，
n A1M y 2z 0
n A N
则 N到平面 A1D1M
1 3
的距离为 d
n
，
5
S 1而 A D M 2 2
2 12 5，
1 1 2
1
所以VN A1D M d S 1，故 D正确.1 3 A1D1M
故选：BD
11.ACD
A选项， X1的可能取值为 5,7 ，
且 P X1 7 P X 5
1 E X 5 1 7 1 1 ，故 1 6，A正确；2 2 2
B选项， X 2 12，即 2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，
故 P X 2 12 C1
1 1 1
2 ，B错误；2 2 2
C选项， X 7 7，即顺时针走了 210 或逆时针走了150 ，
设硬币正面朝上的次数为 x，则反面朝上的次数为 7 x ，
150 7 x 150 x 150 ，解得 x 3，
1 3 4P X 7 C3 1 35故 7 7 ，C正确；
2 2 128
D选项，若硬币 8次均正面朝上，此时 X 8 4，
1 8P X 4 C8 1
0
1
故 8 8 2
，
2 256
若硬币 7次正面朝上，1次反面朝上，此时 X 8 6，
7 1
故 P X 6 C7 1 1 18 8 2
，
2 32
若硬币 6次正面朝上，2次反面朝上，此时 X 8 8，
6 2
P X 8 C6 1 1 7故 8 8 ，
2 2 64
若硬币 5次正面朝上，3次反面朝上，此时 X8 10，
5 3
P X 1 10 C5 1 7故 8 8 2 2
，
32
若硬币 4次正面朝上，4次反面朝上，此时 X8 12，
4 4
P X 12 C4 1 1 358 8 ，
2 2 128
若硬币 3次正面朝上，5次反面朝上，此时 X 8 2，
3 5
P X 2 C3 1 1 78 8 2 2
，
32
若硬币 2次正面朝上，6次反面朝上，此时 X 8 4，
2 6
P X 4 C2 1 1 78 8 2 2
，
64
若硬币 1次正面朝上，7次反面朝上，此时 X 8 6，
1 7
P X 8 6 C1
1 1 1
8 ，
2 2 32
若硬币 8次均反面朝上，此时 X 8 8，
8
P X 8 8
1
C0 18 ，
2 256
故
E X 4 1 6 1 8 78 10
7 35 7 7 1
12 2 4 6 8 1
256 32 64 32 128 32 64 32 256
489
6，D正确.
64
故选：ACD
12.2
a
由 1,2 ,b 1, t 可得，2a b (3, t 4) a ， 2b (3,2t 2)，
因 2a b与a 2b 共线，则有3(t 4) 3(2t 2)，解得 t 2 .
故答案为：2.
13. 72
4
设四种颜色分别为 ABCD，对于第一个 2 2的方格，共有 A4 24种不同的涂法，
假设第一个 2 2的方格，涂如图所示 ABCD四种颜色，
①若第三列的一个方格涂A，第三列的第二方格涂C，则第三列的第三方格涂A或 B，
当第三列的第三方格涂A时，则第三行的第一、二方格，分别涂 A,B；
当第三列的第三方格涂 B时，则第三行的第一、二方格，分别涂 B, A；
②若第三列的一个方格涂C，第三列的第二方格涂A，则第三列的第三方格涂C或 B，
当第三列的第三方格涂C时，则第三行的第一、二方格，分别涂 A,B；
当第三列的第三方格涂 B时，则第三行的第一、二方格，分别涂 B, A；
所以，共有3类涂法，则共有 24 3 72种不同的涂色方法.
故答案为： 72 .
14.10； 3 3
DA x 2
设DA x， DAB ，则Rt DAB中， cos ，
AB 4 sin
16 x
，
4
2 2
过D作DE AB E x x 16 x， 为垂足，则 AE DAcos ，DE DAsin ，
4 4
等腰梯形 ABCD周长为
x2 2 x 2
2
AB x BC CD DA 4 x 4 x 2x 8
10，
2 2 2
所以当DA 2时，梯形周长的最大值为 10.
2
8 x x 16 x
2
3
梯形面积 2 2AB CD DE 2 4 16 x 3xS
2 2 16 3
3 416 x2 3x2
4
，
144 3 3
16 3 16 3
当且仅当16 x2 3x2 ，即 x 2时等号成立，
所以梯形面积的最大值为3 3 .
故答案为：10；3 3 .
15.（1）解：由 c b 2csin2 A，可得 sin2 A c b 1 cos A c b ，所以 ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b b
即 ，所以 cos A ，
2 2 2 2c c
b2 c2 a2 b π
又由余弦定理得 ，可得 a2 b2 c2，所以C ，
2bc c 2
所以 ABC是直角三角形
（2）解：由（1）知， ABC是直角三角形，且 c 1，可得 a sin A, b cos A，
所以 ABC周长为1 sin A cos A 1 2 sin
π
A ，
4
A 0, π A π π , 3π 因为 ，可得2 4 4 4
，
所以，当 A 时，即 ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为
4 2 1
.
16.（1）
因为 BC 平面 ABB1A1， AE 平面 ABB1A1，所以 AE BC．
又 AE A1B， A1BI BC B，所以 AE 平面 A1BC
因为 A1C 平面 A1BC，所以 AE A1C
同理：因为CD 平面 ADD1A1， AF 平面 ADD1A1，所以 AF CD．
又 AF A1D， A1D CD D，所以 AF 平面 A1CD
因为 A1C 平面 A1CD，所以 AF A1C
又因为 AE A1C， AE AF A，所以 A1C 平面 AEF
（2）以A为原点，分别以 AB、 AD、 AA1所在直线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐
标系如图．
则 A(0,0,0)， A1(0,0,5)， B(4,0,0)，B1(4,0,5)，D(0,3,0)，C(4,3,0)．
所以 A1C (4,3, 5)，且 A1C是平面 AEF 的一个法向量．
BB1 (0,0,5)，BD ( 4,3,0)
设平面D1B1BD的法向量为 n
(x, y, z)
n B 5z 0
则
B 1 0 ，即
n BD 0 4x 3y 0
所以 z 0，令 x 3，得 y 4．
则平面D1B1BD的一个法向量为 n (3,4,0)．
所以 n A1C 12 12 24．
| n | 32 42 5 AC 42 32 ( 5)2 ， 1 5 2
所以 cos n, A
n A
1C
1C 24 12 2
n A 25
．
1C 5 5 2
12 2
所以平面 AEF 与平面D1B1BD的夹角的余弦值为 ．
25
17.（1）
由频率分布直方图得样本中 A品种石榴单个果实质量的估计值为:
xA 0.005 20 60 0.015 20 80 0.020 20 100 0.010 20 120 94g,
样本中 B品种石榴单个果实质量的估计值为:
xB 0.005 20 60 0.020 20 80 0.020 20 100 0.005 20 120 90g.
（2）设 A:从A品种石榴中任取 1个为合格品；B:从 B品种石榴中任取 1个为合格品；则:
P(A) 0.005 20 0.7 0.015 20 0.8 0.020 20 0.7 0.010 20 0.8 0.75;
P(B) 0.005 20 0.7 0.020 20 0.8 0.020 20 0.8 0.005 20 0.9 0.8.
由题意得 X 0,1,2,3, 4，
则 P(X 0) (1 0.75) 2 (1 0.8) 2 0.0025 ，
P(X 1) C12 0.75 (1 0.75) (1 0.8)
2 (1 0.75)2 C12 (1 0.8) 0.8 0.035,
P(X = 2) = C2 0.752 (1 0.8)2 C12 2 0.75 (1 0.75) C
1
2 0.8 (1 0.8)
(1 0.75)2 C22 0.8
2 0.1825,
P(X 3) C22 0.75
2 C12 0.8 (1 0.8) C
1
2 0.75 (1 0.75) C
2
2 0.8
2 0.42,
P(X 4) 0.752 0.82 0.36.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.0025 0.035 0.1825 0.42 0.36
所以 E(X ) 0 0.0025 1 0.035 2 0.1825 3 0.42 4 0.36 3.1 .
18.（1）
不妨设 F1 c,0 ,F2 c,0 ，
G 因 1,
1 3
为△AF1F2的重心，所以 A 3,2
，
2
9
所以 9
2
4 ，
a b2
1
又短轴长为 6，所以b 3，代入解得 a2 12，
x2 y2
所以椭圆方程为: 1；
12 9
（2）由上可知 F2 3,0 ，设 B x1, y1 ,D x2 , y2 ,BD中点 E x0 , y0 ，
2
则 BF 22 x1 3 y1 ，
x2 2
又 1
y 1
1 1，消去 y
12 9 1
并整理得 BF2 2 3 x2 1
，
1
同理 DF2 2 3 x2，2
又 CF 3 32 ，2
1 1 3 3
由题意得2 3 x 2 3 x 2 ，
2 1 2 2 2
x 1即 0 x1 x2 3，2
x2 x2 y2 y2 y1 y2 9 x1 x 3x
因 B，D在 上，易得 1 2 1 2 0，化简得 2 0 ，
12 9 x1 x2 12 y1 y2 4y0
4y
BD 0
4y0
所以线段 中垂线的斜率 3x ，0 3 3
4 y
线段 BD 0中垂线方程: y y0 (x 3)，3 3
x 4 1令 0得 yE y0 y0 y ，3 3 0
3 y2
又线段 BD中点在椭圆内所以 0 1 3 3 3 3 y
12 9 2 0
，
2
所以 y
3 3
E ,2 2
；
（3）设M x3, y3 ,N x4 , y4 ，由 PM PN得 x3 x4 , 0，
x2 y2
1 2 2
联立 12 9 消 y整理得 4k 3 x 16kx 20 0，
y kx 2
x x 16k , x x 20得 3 4 ，4k 2 3 3 4 4k 2 3
x x 2
1 2 x3 x4 2 3 4 64k
2
所以
x4 x3 x3x4 5 4k 2 ， 3
当 k 0时， 1，
1 2 64k
2 1 16 48 16当 k 0时， , 0
5 4k 2 3 5 4k 2 3 ， 5
解不等式得 5 1 .
5
19.
（1）由 a 1，可知 f (x) cos2x x 2 1, g(x) f (x) 2sin 2x 2x 2(x sin 2x) ，
则 g (x) 2(1 2cos2x)，
x π 在 0, 2
时，
g x 0 cos 2x 1 π π令 ，解之得 x
2
,
6 2
，
令 g x 0 cos 2x 1 ，解之得 x 0,
π
，
2 6
0, π π πg(x) 所以 在 上单调递减，在 , 上单调递增；
6 6 2
（2）法一、
注意到 f (x) a(cos2x 1) x 2是偶函数，故只需证明当 x [0, )时， f (x) 0，
①当 a 0时，显然 f (x) 0，
1
②当0 a 时， f (x) 2(x a sin 2x)，
2
令u x x asin 2x，则u x 1 2acos2x，
令h(a) 1 2acos2x h(a) 0,
1
，则 在 上是单调函数，
2
h(0) 1,h 1 而 1 cos 2x 0 ,
2
故 h(a) 0，即u x 0，于是u x 在[0, )单调递增，
又u 0 0，可知u x 0 ,
于是 f (x)在[0, )单调递增，
又 f (0) 0，可知 f (x) 0，证毕；
法二、
注意到 f (x) 2a sin2 x x2 是偶函数，故只需证明当 x [0, )时， f (x) 0，
①当 a 0时，显然 f (x) 0，
②当0 a 1 时， f (x) 2a sin 2 x x 2 x 2 sin 2 x ，
2
而 x2 sin2 x 0 | x | | sin x | 0
当 x 1时，上式显然成立；
当 0 x 1时，上式等价于 x sin x 0
令 (x) x sin x，
则 (x) 1 cos x 0，
即 (x)在(0,1)单调递增，则 (x) (0) 0，证毕；
（3）法一、
题设可化为: cos(2sin x) acos 2 x对 x R恒成立，
令 2sin x t，则 2 t 2，条件进一步化为:
t2
对任意 2 t 2，有 cos t a 1 恒成立，
4
注意到 t 0时， a 1，
t2 t2
另一方面，当 a 1时， 1 a cos t 1 cos t，
4 4
2
记 r(t) t 1 cos t, ( 2 t 2) ，
4
显然函数 r(t)为偶函数，故考虑0 t 2时情形，
易得： r (t) t sin t，令 r t n(t) n (t) 1 cos t，
2 2
令 n (t) 0 π得 t ，
3
于是 r (t) 0,
π π
在 上单调递增，在 , 23 3
上单调递减；
而 r (0) 0, r
π
0, r (2) 1 sin 2 0，
3
π
故必然存在实数 t0 , 2 使得:
3
当 t 0, t0 时， r (t) 0，当 t t0 , 2 时， r (t) 0，
于是 r(t)在 0,t0 上单调递增，在 t0 , 2 上单调递减；
验证 r(0) 0,r(2) cos2 0知:对任意0 t 2,r(t) 0恒成立.
t 2 1 t
2
因此 4
a cos t 0 ，即 cos t a 1 ，
4
综上，实数 a的取值范围为[1, ) ；
法二、
题设可化为： cos(2sin x) acos 2 x对 x R恒成立，
令 2sin x t，则 2 t 2，条件进一步化为：对任意 2 t 2，
2
cos t t a 1 （*）恒成立
4
2
注意到 y cos t y t与 1 都是偶函数，故只需考虑 t [0, 2]情形即可.
4
①当 t 2时，结论显然.
②当 t [0, 2) 4cos t时，（*）化为a 2 ，4 t
4cos t 4 t 2 4 sin t 2t cos t
令m(t) ，则m (t) ，
4 t2 24 t 2
令 s(t) t 2 4 sin t 2t cos t s t t 2，则 2 cos t，
（1）当 t
π
, 2 2 时，有 t 4 0,sin t 0,cos t 0，于是 s(t) 0， 2
t π 0, π （2）当 时，有2 t [0, 2), s
(t) 0, s(t)单调递减；t 2, , s (t) 0, s(t)单
2
调递增.
π π2
而 s(0) 0, s 4 0，故 s(t) 0，
2 4
进一步，m (t) 0,m(t)在[0, 2)上单调递减，
于是得到:a m(t)max m(0) 1即为 a的取值范围.
重庆市 2024 届高三下学期二模
数学试题参考答案
1.B
若 a 1，且b 1，根据不等式的加法和乘法法则可得 a b 2，且 ab 1，即必要
性成立；
a 3,b 1 1当 ，满足a b 2，且 ab 1，但是b 1，故充分性不成立，
2 2
所以“ a b 2，且 ab 1”是“ a 1，且b 1”的必要不充分条件.
故选：B
2.B
由 z i 1 i 1 2i 1 i 1 2i 3 i，可得复数 z 的实部为 3，
故选：B .
3.C
先将 6名同学分成 4组，则 4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3，
当甲 2乙在 2人组，再从另外 4人任选 2人组成一组，其余的一人一组，有C4 种分组方法；
1
当甲 乙在 3人组，甲 乙与另外 4人中的 1人组成一组，其余的一人一组，有C4 种分组方
法，
2 1 4
再把 4组人分到 4个区域，所以安排方法种数为 C4 C4 A4 240 .
故选：C.
4.A
如图，
在正四面体 P ABC中，假设 PH 底面 ABC，则点 H为 ABC外心．
在PH上取一点 O，满足OA OM ，则 O为三棱锥M ABC的外接球球心．
当OA取得最小值时，OM 最小，三棱锥M ABC的外接球体积最小，此时点 O与点 H
重合．
作MN AH ，垂足为 N， MN //PH ，
MN 为三棱锥M ABC的高．
由正四面体 P ABC的棱长为 2 3，易知 AH 2 MH ，
所以 PH PA2 AH 2 2 2 ， PA 2 3， AH 2．
PH MN
由 2 ，设 AN x，则
AH AN MN 2x
，HN 2 x．
2 4
由HM 2 MN 2 HN 2，得 22 2 x 2 2x ，解得 x ．3
2
MN 4 2 1 3 4 2 4 6 ． V ．
3 三棱锥M ABC
2 3 3 4 3 3
故选：A
5.A
n n
因为Q(a,b) yi bxi 2 y2i 2bx 2 2i yi b xi
i 1 i 1
n n n
b2 x2i 2b xi yi y2i ，
i 1 i 1 i 1
上式是关于b的二次函数，
n
xi yi
i 1
因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为b n .
x2i
i 1
故选：A.
6.B
令 g(x) x sin x，可得 g (x) 1 cos x≥0，所以 g(x) x sin x在R 上单调递增，
当 x 0时， g(x) g(0)，所以 x sin x，
所以10sin 1 10 1 1 ，所以a c，
100 100 10
2 x 1
令 f (x) x ln(1 x) 2 x 2ln(1 x) ，求导可得 f (x) 1 ，
x 1 x 1
当 0 x 1， f (x) 0，所以 f (x)单调递减，所以 f (x) f (0)，
即 x 2ln(1 x) 0 2ln1 0，所以 x 2ln(1 x) ln(1 x)2，
令 x 1 1 ，可得 ln(1 0.1)2 ln1.21，即 a b，
10 10
所以 c故选：B.
7.D
如图，取线段 AB的中点D，连接CD，则CD AB，
由CP CA CB 2CP CD 2(CD DP) CD 2 |CD |2 ，
因直线 l经过点M (0, 4)，考虑临界情况，
当线段 AB中点D与点M 重合时（此时CM AB ），弦长 AB最小，此时CD最长，
为 |CD |max |CM | 4 3 1，（但此时直线 l与 x轴平行，点 P不存在）；
当线段 AB中点D与点C重合时，点 P与点O重合，CD最短为 0（此时符合题意）.
故CP CA CB 的范围为[0, 2) .
故选：D.
8.B
2 1
因为DO AB AC, R，DO AC，
3 2
2 1 DO AC AB AC AC 2 cbcos BAC 所以 b
2 0, R，
3 2 3 2
c2 b2 a2
从而 4cbcos BAC 3b2 ，即 4cb 3b2，
2cb
2 2
所以 c2 b2 4 3b b ，所以 c2 4，
2 2
1
所以 ABC的面积为 S ABC = bc sin BAC
1
= bc 1-cos 2 BAC
2 2
2
1 2 2 2
2 2 2 2
bc 2 bc 2 b c a 1 b c a b2c2
2 2bc
2 4
2
3b2
1 2 22 2 1 2 b 9b4 b c b 4
2 4 2 2 16
1 b4 4b2 1 1
2
b2 32 64 1 64 4 ，2 16 2 16 2
等号成立当且仅当b 4 2,c 2 5 ，
综上所述， ABC面积的最大值为 4.
故选：B.
9.BCD
A A U , 1A(x) 1 (x) 对于 ，由于 所以 A 1A(x) 1
模拟试题精编（数学）
目录
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测数学试题
重庆市 2024 届高三下学期二模数学试题
福建省 2024 届高三一轮模拟数学试题
广东省广州市 2024 届高三下学期一模考试数学试题
河北省 2024 届高三下学期 3 月高考模拟考试数学试题
河南省驻马店部分学校 2024 届高三下学期二模考试数学试题
湖北省 2024 届高三下学期三模数学试题
湖南省岳阳市 2024 届高三下学期三模数学试题
山东省淄博市 2024 届高三下学期一模考试数学试题
浙江省丽水、湖州、衢州三市 2024 届高三下学期二模数学试卷
参考答案
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测
数学试题
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合U 1,2,3,4,5 , A 1,2 ,B 1,3,5 ，则 A UB （ ）
A. 2 B. 1,2,4
C. 1,2,3,5 D. 1,3,4,5
z cos 2π2. 若复数 isin 2π（ i为虚数单位），则 z23 3
（ ）
A. 1 3 1 3 i B. i
2 2 2 2
C. 1 3 i D. 1 3 i
2 2 2 2
3. 已知 a,b R，下列命题正确的是（ ）
A. 若ab 1，则 a b 2
B. 1 1若 a ba b，则
C. 若 a b，则 ln a b 0
a 1D. 若 a b 0，则 b 1
b a
f x sinx4. 函数 cosx 的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某次考试一共 5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对 4道题，答错一道题，三
人回答具体情况记录如下:
题号 1 2 3 4 5
考生甲 T F F F T
考生乙 T T F T T
考试丙 F F F T T
则这 5道题的正确答案依次为（ ）
A. FFFTT
B. FTFTT
C. TFFTF
D. TFFTT
6. 若函数 f x ax ln ex 1 是偶函数（e是自然对数的底数），则实数 a的值为（ ）
A. 1
1 1 1
2 B. C. D. 2 e e
2 2
7. E : x y已知A为双曲线 1 a 0,b 0 的右顶点，O为坐标原点，B,C 为双曲线
a2 b2
E 1上两点，且 AB AC 2AO，直线 AB, AC的斜率分别为 4 和 2 ，则双曲线 E的离心
率为（ ）
A. 63 B. 5 C. D. 2
2 2
8. 2当实数 t变化时，函数 f x x t , x 4,4 最大值的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多项选择题:木题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 已知数列 a n 1n , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若an 2n 1,Tn 2 2，则（ ）
A. S10 100 B. b10 1024
1 9 1 1023
C. 的前 10项和为 D. 的前 10项和为
anan 1 19 bn 1024
10. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,M ,N分别是棱 AB,CC1的中点，下列结论正
确的是（ ）
A. MN / /AC1
B. MN CD1
C. 棱BC的中点在平面D1MN 内
D. 四面体MNA1D1的体积为 1
11. 如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按
顺时针方向旋转150 ，若出现反面则时针按逆时针方向旋转150 ，用 X n表示 n次后时针指
向的数字，则（ ）
A. E X1 6
1
B. P X 2 12 4
35
C. P X 7 7 D. E X8 6128
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知向量 a 1,2 ,b 1, t ，若 2a b与 a 2b 共线，则实数 t ______.
13. 在3 3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个 2 2的方格中
的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为______.
14. 在等腰梯形 ABCD中，AB//CD,DA DB，若 AB 4，则梯形周长的最大值为______，
梯形面积的最大值为______.
四、解答题:本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
A
15. 记 ABC的内角 A,B,C 2的对边分别为 a,b,c，已知 c b 2csin
2
（1）试判断 ABC的形状；
（2）若c 1，求 ABC周长的最大值.
16. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E、F分别在 BB1，DD1上，且 AE A1B，
AF A1D．
（1）求证： A1C 平面 AEF ；
（2）当 AB 4， AD 3， AA1 5时，求平面 AEF 与平面D1B1BD的夹角的余弦值．
17. 塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效
农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了 A,B两种新品
石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取
300个，按质量（单位:g）将它们分成 4组: 50,70 , 70,90 ， 90,110 , 110,130 ，得到
如下频率分布直方图:
（1）分别估计 A,B品种石榴单个果实的质量；
（2）经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表:
50,70 70,90 90,110 110,130
A品种合格
0.7 0.8 0.7 0.8
率
B品种合格
0.7 0.8 0.8 0.9
率
已知 A品种混放在一个库房，B品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取 2
个石榴，其中合格石榴的总个数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
18. x
2 y2
如图，已知椭圆Γ : 2 2 1, a b 0 的左右焦点为 Fa b 1
,F2 ，短轴长为6, A为 上
一点，G 1,
1
为△AF1F2的重心.
2
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 上不同三点 B,C ,D，满足CF2 OF2，且 BF2 , CF2 , DF2 成等差数列，线
段 BD中垂线交 y轴于 E点，求点 E纵坐标的取值范围；
y （3）直线 l : y kx 2与 交于M ,N点，交 轴于 P点，若PM PN，求实数 的取
值范围.
19. f x acos2x x2已知函数 a，其中 a R
（1）若 a 1，记 g x f x ，试判断 g x 在 0, π 上的单调性；
2
1
（2）求证:当 a 时， f x 0；
2
x 1 13 R cos 2sinx f x a x2（ ）若对 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
2 2
重庆市 2024 届高三下学期二模
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ a b 2，且 ab 1”是“ a 1，且b 1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 复数 z i 1 i3 i4 2i 的实部为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
3. 2024年 3月 22日国家文物局在北京公布 2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地
区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区 崧泽文
化区 良渚文化区 钱山漾文化区四大区域，总面积约 6万平方米.该遗址延续时间长 谱系完
整，是长江下游地区少有的连续时间近 4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在
皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大
区域进行考古发掘，现安排包含甲 乙在内的 6名研究生同学到这 4个区域做考古志愿者，
每人去 1个区域，每个区域至少安排 1个人，则甲 乙两人安排在相同区域的方法种数为
（ ）
A. 96 B. 144 C. 240 D. 360
4. 若正四面体 P ABC的棱长为 2 3，M为棱 PA上的动点，则当三棱锥M ABC的外
接球的体积最小时，三棱锥M ABC的体积为（ ）
A. 4 6 B. 4 2 C. 4 3 D. 8 3
3
5. 假设变量 x与变量Y 的 n对观测数据为 x1, y1 , x2 , y2 , , xn , yn ，两个变量满足一元
Y bx e,
线性回归模型 E e 0,D e 2 .要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计 b，即
n
求使Q(b) yi bx 2i 取最小值时的b的值，则（ ）
i 1
n n
xi yi xi yi
A. b i 1 B. b i 1n n
x2 2i yi
i 1 i 1
n n
xi yi xi x yi y
C. b i 1 b i 1n n D. n n
x2i y2i xi x 2 yi y 2
i 1 i 1 i 1 i 1
a 16. 设 ，b ln1.21， c 10sin 1 ，则（ ）
10 100
A. a b c B. b a c C. c a b D.
c b a
7. 已知圆C： x2 y 3 2 4，过点 0,4 的直线 l与 x轴交于点 P，与圆C交于A， B
两点，则CP CA CB 的取值范围是（ ）
A. 0,1 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,2
2 1
8. 设O是 ABC的外心，点D为 AC的中点，满足DO AB AC, R，若
3 2
BC 2，则 ABC面积的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 2
分.
9. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元
1, x S
素个数有限，对于U 的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x
0, x US
若 A,B,C U，则（ ）
注： f (x)表示M 中所有元素 x所对应的函数值 f x 之和（其中M 是 f x 定义域的
x M
子集）.
A. 1A (x) 1A (x)
x A x U
B. 1A B (x) 1A(x) 1A B (x)
C. 1A B (x) 1A (x) 1B (x) 1A (x)1B (x)
x U x U
D. 1 1A (x) 1 1B (x) 1 1C (x) 1U (x) 1A B C (x)
x U x U x U
10. 已知圆O : x2 y2 1，圆C : (x a)2 (y 1)2 4,a R，则（ ）
A. 两圆的圆心距 OC 的最小值为 1
B. 若圆O与圆C相切，则 a 2 2
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则 2 2 a 2 2
D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为 2
11. 已知集合 A x Z x2 2x 8 0 x m，集合 B x 9 3 ,m R, x R ，若 A B
有且仅有 3个不同元素，则实数m的值可以为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 在四边形 ABCD中， BC 2AD，点 P是四边形 ABCD所在平面上一点，满足
PA 10PB PC 10PD 0 .设 s, t
t
分别为四边形 ABCD与 PAB的面积，则 ______.
s
x
13. 若关于 x的方程m elnm x e ln x x 有解，则实数 m的最大值为__________.e
14. 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD，且 PA 2 ，
AB 1．四棱锥 P ABCD的各个顶点均在球 O的表面上，B l， l OB，则直线 l与
平面 PAC所成夹角的范围为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
ln x
15. 已知函数 f x ．
x
（1）求曲线 y f x 在点 e, f e 处的切线方程；
（2 2）当 x 1时， xf x a x 1 ，求 a的取值范围．
16. 在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 2b c 2acosC 0 .
（1）求角A；
（2）射线 AB绕A点旋转90 交线段 BC于点 E，且 AE 1，求 ABC的面积的最小值.
17. 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动
驾驶系统（记为系统A和系统 B），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾
驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，
进行如下试验：每一轮对系统A和 B分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排
下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少 2次时，就停止试验，并认为出现
故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统A不
出现故障且系统 B出现故障，则系统A得 1分，系统 B得-1分；若系统A出现故障且系统 B
不出现故障，则系统A得-1分，系统 B得 1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，
则两个系统均得 0分.系统 A B出现故障的概率分别记为 和 ，一轮试验中系统A的得分
为 X 分.
（1）求 X 的分布列；
（2）若系统A和 B在试验开始时都赋予 2分， pi i 0,1,2,3,4 表示“系统A的累计得分
为 i时，最终认为系统A比系统 B更稳定”的概率，则 p0 0, p4 1，
pi api 1 bpi cpi 1 i 1,2,3 ，其中 a P X 1 ,b P X 0 ,c P X 1 .现
根据 p2的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若 p2 0.1，则先启
动系统 B；若 p2 0.9，则先启动系统A；若0.1 p2 0.9，则随机启动两个系统中的一
个，且先启动系统A的概率为 p2 .
(1 )2 2
①证明： p2 2 (1 )2
；
(1 )2 2
②若 0.001, 0.002，由①可求得 p2 0.8，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需
自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
2 2
18. y x双曲线C : 1(a,b 0)的焦点为 F1,F2 （F1在 F2下方），虚轴的右端点为 ，a2 b2
A
过点 F 且垂直于 y2 轴的直线 l交双曲线于点 P（ P在第一象限），与直线 AF1交于点 B，记
△ABF2 的周长为m,△BPF1的周长为 n, m n 4．
（1）若C的一条渐近线为 y 2x，求C的方程；
（2）已知动直线 l 与C相切于点T ，过点T 且与 l 垂直的直线分别交 x轴，y轴于M ,N两
点，Q为线段MN上一点，设MQ MN , (0,1)为常数．若 ||QF2 | |QF1 ||为定值，
求 b的最大值．
19. 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又
认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到
1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，
发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地
球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面
2
Γ : x y
2 z2
1 a 0, b 0, c 0 ， 这 说 明 椭 球 完 全 包 含 在 由 平 面
a2 b2 c2
x a, y b, z c所围成的长方体内，其中 a,b,c按其大小，分别称为椭球的长半轴、
x2
中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面 z 0的截痕是椭圆 E : y 2 1 .
2
x2 y2
（1）已知椭圆 1 a b 0 在其上一点Q x0 , y0 处的切线方程为a2 b2
xx0 yy0 A,B A,B
a2
1．过椭圆 E的左焦点 F作直线 l与椭圆 E相交于 两点，过点 分别作
b2 1
椭圆的切线，两切线交于点M ，求 ABM 面积的最小值．
（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于 5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容
异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两
个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等．当b c时，椭球面Γ围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅
原理求该椭球的体积．
福建省 2024 届高三一轮模拟
数学试题
一、单选题
1．复数 z满足 z 1 i 4 2i ，则 z （ ）
A．1 3i B．3 3i
C． 2 3 2i D．3 2 2i
2．已知集合 A x x 1 k ,k 0 ， B x 3 x 3 ，若 A B，则 k的最大值是（ ）
A．4 B．3
C． 2 D．1
3．已知 ABC所在平面内一点 P，满足 PA PB PC 0，则 AP （ ）
1
A． AB
1
AC 1 1B． AB AC
2 2 3 3
1 1 1
C． AB AC D． AB
1
AC
2 3 3 2
4．对变量 x， y有观测数据 xi , yi (i 1,2, ,10)，得散点图 1；对变量u，v有观测数据
ui ,vi (i 1,2, ,10)，得散点图 2. r1表示变量 x， y之间的样本相关系数， r2表示变量u，
v之间的样本相关系数，则（ ）
A． 1 r1 r2 0 B． 1 r2 r1 0
C．0 r1 r2 1 D．0 r2 r1 1
1, x 0,
5．已知符号函数 sgn x 0, x 0, 则函数 f (x) sgn(x) ln x x2 1 的图象大致为（ ）
1, x 0.
A． B．
C． D．
6．4sin140 tan 220 （ ）
A． 3 B． 3 C．1 D． 1
y
7．直线 l1 :mx y 3m 0与直线 l2 : x my 3 0相交于点P x ,y0 0 0，则 x 5的取值范围0
是（ ）
3 , 3 3 , 3A B ． ． 5 5 4 4
4 4 , 4 C． D． ,
4
3 3 3
,
3
8．某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87% .为提高产品合格
率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高 4%，产品合格率比
去年12月增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该
工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．5月份 B．6月份
C． 7月份 D．8月份
二、多选题
9．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 4,S5 35，则（ ）
A．nan 的最小值为 1 B． nSn的最小值为 1
Sn a C． 为递增数列 D． n
n
n2
为递减数列
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 2,AA1 AD 1,E 为 AB的中点，则（ ）
A． A1B B1C B． A1D / /平面 EB1C
C 3 5．点D到直线 A1B的距离为 D．点D到平面 EB1C 的距离为 3
5
11．通信工程中常用 n元数组 a1,a2 ,a3 , ,a n 表示信息，其中 ai 0或1 i,n N* ,1 i n ．设
u a1,a2 ,a3 , ,a n ,v b1,b2 ,b3 , ,bn ,d u ,v 表示u和v中相对应的元素（ ai对应bi，
i 1, 2, ,n）不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A．若u 0,0,0,0,0 ，则存在 5个 5元数组v，使得 d u,v 1
B．若u 1,1,1,1,1 ，则存在 12个 5元数组 v，使得 d u,v 3
C．若 n元数组w 0 ,0 , ,0 ，则 d u,w d v,w d u,v
n个0
D．若 n元数组w 1 ,1 , ,1 ，则 d u,w d v,w d u,v
n个1
三、填空题
12．在复平面内，复数 z对应的点的坐标是 2,1 ，则 i z ．
13．底面半径为 2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 3
的圆锥，所得的圆台的侧面积为 ．
14．在平面直角坐标系 xOy中，整点 P（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 PA，
2
PB与圆C： x 2 y2 4分别切于A，B两点，与 y轴分别交于M ，N两点，则使得 PMN
周长为 2 21的所有点 P的坐标是 ．
四、解答题
15．已知函数 f x 3 x2 4ax a2lnx在 x 1处取值得极大值．
2
(1)求 a的值；
(2)求 f x 1 在区间 ,e 上的最大值． e
16．某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中
成绩分组区间是 30,50 、 50,70 、 70,90 、 90,110 、 110,130 、 130,150 ．
(1)求图中 a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百
分位数；
(2)从这次数学成绩位于 50,70 、 70,90 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取
9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间 70,90 的人数记为 X ，求 X 的分布
列及数学期望．
17．如图，四棱锥 A BCDE ,AB BC AC CD 2BE 2,BE∥CD , BCD
π
，平面 ABC
2
平面 BCDE ,F 为 BC中点．
(1)证明：平面 AEC 平面 AFD；
(2)求平面 AED与平面 AFD夹角的正弦值．
2
18．设点 F1 c,0 x、 F2 c,0 分别是椭圆C : y 22 1的左、右焦点， P为椭圆C上任意一a
点，且 PF1 PF2 的最小值为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆C的外切矩形 ABCD的面积S的最大值．
19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变
量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 an ，规定 Δan 为数列 an 的一阶差分
数列，其中Δan an 1 a n N* Δ2n ，规定 an 为数列 an 的二阶差分数列，其中
Δ2an Δan 1 Δan n N* ．
(1) 3 * 2数列 an 的通项公式为 an n n N ，试判断数列 Δan , Δ an 是否为等差数列，请说
明理由？
(2)数列 logabn 是以 1为公差的等差数列，且 a 2，对于任意的 n N*，都存在m N*，使
2
得Δ bn bm，求 a的值；
(3)各项均为正数的数列 cn 的前 n项和为 Sn，且 Δcn 为常数列，对满足m n 2t，m n的
任意正整数m,n,t都有 cm cn，且不等式 Sm Sn St恒成立，求实数 的最大值．
广东省广州市 2024届高三下学期一模考试
数学试题
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A 1,3,a2 ,B 1,a 2 ，若 B A，则 a （ ）
A.2 B.1 C.-2 D.-1
2.已知复数 z满足 z 3 4i 1，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
S
3.记 Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 a3a5 2a2a 44 ，则 S （ ）2
A.5 B.4 C.3 D.2
4.已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上 下底面边长分别为 1和 2，且 BB1 DD1，则该棱
台的体积为（ ）
A. 7 2 B. 7 2 7 7C. D.
2 6 6 2
2
5. B,F C : y x
2
设 2 分别是椭圆 1(a b 0)的右顶点和上焦点，点 P在C上，且a2 b2
BF2 2F2P，则C的离心率为（ ）
1
A. 3 B. 65 C. D. 3
3 13 2 2
6.已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
A. f x sin tanx B. f x tan sinx
C. f x cos tanx D. f x tan cosx
3
7. b已知 a ,3 5,5c 8，则（ ）
2
A.a b c B.a c b
C. c b a D.b c a
π π
8.已知 , 是函数 f x 3sin 2x 2
0, 在 上的两个零点，则 cos
6 2
（ ）
2
A. B. 5 C. 15 2 D. 2 3 5
3 3 6 6
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. a
,b
已知向量 不共线，向量 a b平分 a与b 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A.a b 0 B. a b a b
C. 向量 a与b在 a b上的投影向量相等 D. | a b | | a b |
10.甲箱中有 3个红球和 2个白球，乙箱中有 2个红球和 2个白球（两箱中的球除颜色外，
没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 A1和 A2 表示从甲箱中取出
的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 B表示从乙箱中取出的两球都是红
球，则（ ）
A. P A1
3 P B 11 B.
5 50
C. P B∣A1
9
D. P A B 2∣
50 2 11
11.已知直线 y kx与曲线 y lnx相交于不同两点M x1, y1 ,N x2 , y2 ，曲线 y lnx在
点M 处的切线与在点 N 处的切线相交于点 P x0 , y0 ，则（ ）
0 k 1A. B. x1x2 exe 0
C. y1 y2 1 y0 D. y1y2 1
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
S 9
12.已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n n，当 a 取最小值时， n __________.n
13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率 f （单位：心
跳次数/分钟 )的对应数据 Wi , fi i 1,2, ,8 ，根据生物学常识和散点图得出 f 与W 近
8
似满足 f cW k (c,k 为参数 ) .令 xi lnW
2
i , yi lnfi ，计算得 x 8, y 5, y i 214 .由
i 1
最小二乘法得经验回归方程为 y b x 7.4，则 k的值为__________；为判断拟合效果，通
8
2
过经验回归方程求得预测值 y i i 1,2, ,8 ，若残差平方和 yi y i 0.28，则决定
i 1
n
yi y i 2
系数 R2 __________.（参考公式：决定系数 R2 1 i 1n .）
yi y 2
i 1
14.已知曲线C是平面内到定点 F 0, 2 与到定直线 l : y 2的距离之和等于 6的点的轨迹，
若点 P在C上，对给定的点T 2, t ，用m t 表示 PF PT 的最小值，则m t 的最小
值为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应马出文字说明 证明过程或璌算步骤.
15.（13分）
记 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, ABC的面积为 S .已知
S 3 a 2 c 2 b2 .4
（1）求 B；
π
（2）若点D在边 AC上，且 ABD , AD 2DC 2，求 ABC的周长.
2
16.（15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形， DCP是等边三角形，
DCB PCB π ，点M ,N分别为DP和 AB的中点
4
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面 PBC 平面 ABCD；
（3）求CM 与平面 PAD所成角的正弦值.
17.（15分）
已知函数 f x cosx xsinx, x π, π .
（1）求 f x 的单调区间和极小值；
（2）证明：当 x 0, π 时， 2 f x ex e x .
18.（17分）
2 2
已知O x y为坐标原点，双曲线C : 1(a 0,b 0)的焦距为 4，且经过点 2, 3 .
a2 b2
（1）求C的方程；
（2）若直线 l与C交于 A,B两点，且OA OB 0，求 AB 的取值范围；
（3）已知点 P是C上的动点，是否存在定圆O : x2 y2 r 2 (r 0) ，使得当过点 P能作
圆O的两条切线 PM ,PN 时（其中M ,N分别是两切线与C的另一交点），总满足
PM PN ？若存在，求出圆O的半径 r；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
*
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 n n 3,n N 位成
员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该
成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关
闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二
关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.
3 1
已知 A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 和 ，且每位成员闯关是否成功
4 2
互不影响，每关结果也互不影响.
（1）若 n 3，用 X 表示 A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 X 的均值；
（2）记 A团队第 k 1 k n 1,k N* 位成员上场且闯过第二关的概率为 pk ，集合
k N* p
3
k 中元素的最小值为 k0，规定团队人数 n k 1，求 n .
128
0
河北省 2024届高三下学期 3月高考模拟考试
数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1
1．复数 3 的实部为（ ）(1 i)
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 4 2 2
2．已知集合 A x N x 4 ，B x x n2 1,n A ，P A B，则集合 P的子集
共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
a
3．已知向量 与b 的夹角为60 ，且 a (1, 3)， b 1，则 a 3b （ ）
A． 7 B． 10 C．4 D． 2 7
4．已知有 5人的身高各不相同，若安排 5人拍照，前排 2人，后排 3人，且后排 3人中身
高最高的站在中间，则不同的站法种数为（ ）
A．32 B．36 C．40 D．42
π
5．已知在三棱锥O ABC中， AOB BOC COA ，则直线OA与平面OBC所
3
成的角的正弦值为（ ）
2 1 3 6
A． B． C． D．
4 2 3 3
6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐
3
渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 2.25g/m ，首次改良工艺后排
放的废水中含有的污染物数量为 2.21g/m3，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物
数量 rn满足函数模型 rn r0 (r1 r0 ) 3
0.25n t
（ t R， n N*），其中 r0 为改良工艺前排
放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为
3
改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m 时符合废水排放标准，若
该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：lg 2 0.30，
lg 3 0.48）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．已知抛物线T : y2 2px p 0 的焦点为 F，直线 l交抛物线 T于 A，B两点，M为线
MN
段 AB的中点，过点 M作抛物线 T的准线的垂线，垂足为 N，若 MF AM ，则 的
AB
最大值为（ ）
2 1 1
A．1 B． C． D．
2 2 3
8．某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不
计），已知该球形玩具的直径为 2，每盒需放入 10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小
值为（ ）
A． 2 2 6 B． 2 4 6 C． .4 2 6
D． 4 4 6
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9 2 2．已知圆C1 : x y 2x 2y 2 0 C : x
2 y2，圆 2 8x 10y 32 0，则下列选项
正确的是（ ）
A．直线C1C2 的方程为 4x 3y 1 0
B．圆C1和圆C2共有 4条公切线
C．若 P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则 PQ 的最大值为 10
C C 25D．经过点 1， 2的所有圆中面积最小的圆的面积为 π4
π
10 ．已知函数 f (x) sin x ( 0)在 0,2π 上有且仅有 5个零点，则（ ）
5
6 , 23A ． 的取值范围是 5 10
B． f x 的图象在 0,2π 上有且仅有 3个最高点
C． f x 的图象在 0,2π 上最多有 3个最低点
f x 0, πD ． 在 上单调递增
6
11 f (x) ax2 x．已知函数 e 2ln x x a，则（ ）
A．当 a 1时， f x 有极小值 B．当 a 1时， f x 有极大值
C．若 f x 0，则 a 1 D．函数 f x 的零点最多有 1个
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
cos sin 112．已知 ，则 cos
2
π
______．
6 3 3
13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，
成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型
为 Aa，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为 aa的子代因无法适应自然环境而被自
然界淘汰．例如当亲代只有 Aa的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
雌 雄
1 A 1 a
2 2
1 A 1 AA 1 Aa
2 4 4
1 a 1 Aa
2 4
由上表可知，子一代中 AA : Aa 1: 2 2 1，子一代产生的配子中 A占 ，a占 ，以此类推，
3 3
子七代中 Aa的个体所占的比例为______．
x2 y2
14．已知椭圆T : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，P为椭圆 T上一点，a b
且 F1PF2 60 ，若△PF1F2 的外接圆面积是其内切圆面积的 25倍，则椭圆 T的离心率
e ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．（13分）
已知在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a sin A c sinC (a b)sin B．
（1）求 C；
（2）求 sin2 A sin2 B的最大值．
16．（15分）
如图，已知在圆柱OO1中，A，B，C是底面圆 O上的三个点，且线段 BC为圆 O的直径，
A1， B1为圆柱上底面上的两点，且矩形 ABB1A1 平面 ABC，D，E分别是 AA1，CB1的
中点．
（1）证明：DE∥平面 ABC．
（2）若△B1BC是等腰直角三角形，且DE 平面CBB1，求平面 A1B1C与平面 BB1C 的夹
角的正弦值．
17．（15分）
某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高
服务水平，现对当日购票的 120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的
人数分别为 36、60和 24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这 120人中随机抽取 10人，再从这 10人中
随机抽取 4人，求随机抽取的 4人中恰有 2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的 2人和购
买回程票的 m（m 2且m N*）人组成一组，负责人从某组中任选 2人进行询问，若选
出的 2人的购票类型相同，则该组标为 A，否则该组标为 B，记询问的某组被标为 B的概率
为 p．
（i）试用含 m的代数式表示 p；
（ii）若一共询问了 5组，用 g p 表示恰有 3组被标为 B的概率，试求 g p 的最大值及
此时 m的值．
18．（17分）
已知函数 f (x) ln x ax 1， a R．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 x 0， f x xe2x 2ax恒成立，求实数 a的取值范围．
19．（17分）
x2 y2
已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程为 y 3x，右焦点 F到渐近线a b
的距离为 3．
（1）求双曲线 C的标准方程；
（2）若双曲线上动点 Q处的切线交 C的两条渐近线于 A，B两点，其中 O为坐标原点，求
证：△AOB的面积 S是定值．
河南省驻马店部分学校 2024届高三下学期二模考试
数学试题
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知点 P 6, y0 在焦点为 F 的抛物线C : y2 2px(p 0)上，若 PF
15
，则 p
2
（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
2.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣
传力度.已知某社区共有居民 480人，其中老年人 200人，中年人 200人，青少年 80人，若
按年龄进行分层随机抽样，共抽取 36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A.6人 B.9人 C.12人 D.18人
3.已知 a b c 0，则下列说法一定正确的是（ ）
A. a b c B.a2 bc
C.ac b2 D.ab bc b2 ac
4. 已知向量 a 2, 3 ,b 1, 2 ，则 a b在a b 方向上的投影向量为（ ）
8 , 16 12 , 20 12 20 20 20 A. B. C. , D. ,
17 17 17 17 17 17 17 17
5.已知某正六棱柱的体积为6 3 20 5π，其外接球体积为 ，若该六棱柱的高为整数，则其
3
表面积为（ ）
A.6 3 18 B.3 3 18 C.6 3 24 D.3 3 24
6.已知甲 乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是 f x cosx 0 x 3π 的图像.
某日小明和小红分别从甲 乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也
停止前行.若将小明行走轨迹的点记为 a,b ，小红行走轨迹的点记为 c,d ，且满足
a
c 3π，函数 g a b 2d ，则 g a 的一个单调递减区间为（ ）
2
0, 4π π , 5π 4π 8π A. B. C. , D. 2π,3π
3 3 3 3 3
2 2
7.已知椭圆C : x y 1(0 m 9,m Z)的左 右焦点分别为 F1,F2，点 P在C上但不9 m
7
在坐标轴上，且 PF1F2是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为 ，则m （ ）8
A.4 B.5 C.6 D.8
m
8. x已知函数 f x me eln e 1 x的定义域为 0, ，若 f x 存在零点，则m的
x
取值范围为（ ）
1 1
A. , B. 0,e C.e 0, D. e, e
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知 z1 3 2i, z2 4 i，则（ ）
A. z1 z2 的虚部为-1
B. 4z1 3z2是纯虚数
C. z1z2在复平面内所对应的点位于第一象限
z
D. 2 z1 4i
10.已知 (4 3x)7 a0 a1 1 3x a (1 3x)22 a7 (1 3x)7，则（ ）
7
A. a4 945 B. a 47i 1
i 1
C. a a 13 6 6 130 2 a4 a6 2 2 D. a1 a3 a5 a7 2 2
11.设M x 是定义在N*上的奇因函数，是指 x的最大奇因数，比如：M 3 3,M 6 3，
M 8 1，则（ ）
A. *对 k N ,M 2k 1 M 2k
B.M 2k M k
C.M 1 M 2 M 63 931
D.M 1 2 63 63
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. A x∣4x2已知集合 x 5 0 ,B {x∣x m}，若m 0，则 RA B __________；
若 A B R，则m的取值范围为__________.
13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5
门研究性学习课程，要求每位同学选择其中 2门进行研修，记事件 A为甲 乙两人至多有 1
门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则 P A __________.
14.定义：对于函数 f x 和数列 xn ，若 xn 1 xn f xn f xn 0，则称数列 xn 具
有“ f x 函数性质”.已知二次函数 f x 图像的最低点为 0, 4 ，且
f x 1 f x 2x 1，若数列 xn 具有“ f x 函数性质”，且首项为 1的数列 an 满
足 an ln xn 2 ln xn 2 ，记 an 的前 n S
S n 项和为 n，则数列 n 5
的最小值
2
为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
b 2tanB
在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中 c 3，且 a tanB tan A B .
（1）求C；
（2）求 a2 b2 的取值范围.
16.（15分）
已知函数 f x lnx x a x .
（1）讨论 f x 的最值；
x
（2）若 a 1 f x ke x，且 ，求 k的取值范围.
x
17.（15分）
在如图①所示的平面图形中，四边形 ACDE为菱形，现沿 AC进行翻折，使得 AB 平面
1
ACDE，过点 E作EF∥ AB，且EF AB，连接 FD,FB,BD，所得图形如图②所示，
2
其中G为线段 BD的中点，连接 FG .
（1）求证： FG 平面 ABD；
（2）若 AC AD 2，直线FG与平面BCD 7所成角的正弦值为 ，求 AB的值.
7
18.（17分）
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近 300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，
如图所示.
（1）求 a的值以及该公司这 300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择 4天，记汽车销售量在区间 200,250 内
的天数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽
奖区有 A,B两个盒子，其中 A盒中放有 9张金卡 1张银卡，B盒中放有 2张金卡 8张银卡，
顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽
出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对
应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银
卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.
19.（17分）
x2 2
已知双曲线C : y2 2 1(a 0,b 0)的左顶点为 A，直线 l1 : y x 2与C的一条渐近a b
1
线平行，且与C交于点 B，直线 AB的斜率为 .
3
（1）求C的方程；
（2）已知直线 l2 : y 2x m m 8 与C交于 P,Q两点，问：是否存在满足
EA EP EP EQ EA EQ 的点 E x , y 2 20 0 ？若存在，求 x0 y0 的值；若不存在，请说
明理由.
湖北省 2024届高三下学期三模
数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设 a 1, 2 ，b 3,4 ， c 3,2 ，则 a 2b c等于（ ）
A. 15,12 B. 0 C. 3 D. 11
2. 已知集合 A y y x 1 x 2 B ∣， x y 6 ，则 A B （ ）
2
10 x
A. 10, B. 3, 10 C. 3, D.
10,3
3. 下面四个数中，最大的是（ ）
1 2
A. ln3 B. ln ln3 C. D. ln3
ln3
4. 数列 an 的首项为 1，前 n项和为 Sn，若 S n Sm Sn m ，（m,n N ）则，a9 （ ）
A. 9 B. 1 C. 8 D. 45
5. 复数 z a 2i （ a R）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
1 2i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
6. 函数 f x ex e x lnx2 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 能被 3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（ ）
A. 228 B. 210 C. 240 D. 238
8. 抛物线 : x2 2y上有四点A，B，C，D，直线 AC，BD交于点 P，且PC PA，
S 2
PD PB 0 1 ．过 A,B分别作 Q ABP的切线交于点 ，若 S ，则 （ ） ABQ 3
3 2A. B. C. 3 1D.
2 3 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0
分．
9. 平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（ ）
A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
f x 2sin x t 0, π π 310. 已知函数 , t Z 有最小正零点 ，
2 2 4
f 0 1，若 f x 9 在 4, 2 上单调，则（ ）
π 5A. B. π C. f 9 1 D. f 9 1
3
11. 如图，三棱台 ABC - A1B1C1的底面 ABC为锐角三角形，点 D，H，E分别为棱 AA1，BC，
C1A1的中点，且 BC 2B1C1 2，AC AB 4；侧面 BCC1B1为垂直于底面的等腰梯形，
7 3
若该三棱台的体积最大值为 ，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
6
7
A. 11该三棱台的体积最小值为 B. DH
4 2
1 3 2 21
C. VE ADH V28 ABC A B
D. EH ,
1 1C1 4 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 写出函数 f x x x x lnx的一条斜率为正的切线方程：______．2 e
13. 两个连续随机变量 X，Y满足 X 2Y 3，且 X N 3, 2 ，若 P X 1 0 0.14，
则 P Y 2 0 ______．
2 2
14. x y双曲线C : 1 a,b 0 的左右焦点分别为F1，F2，以实轴为直径作圆 O，过a2 b2
圆 O上一点 E作圆 O的切线交双曲线的渐近线于 A，B两点（B在第一象限），若BF2 c，
AF1与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算
步骤．
15. 数列 an 中， a1 1， a2 9，且 an 2 an 2an 1 8，
（1）求数列 an 的通项公式；
2
（2）数列 bn 的前 n项和为 Sn，且满足bn an，bnbn 1 0，求 Sn．
2 2
16. 已知椭圆C1 :
x
y 2 1 x和C : y 22 1 a b 0 的离心率相同，设C1的右顶点a2 b2
为 A1，C2的左顶点为 A2， B 0,1 ，
（1）证明：BA1 BA2；
（2）设直线 BA1与C2的另一个交点为 P，直线 BA2与C1的另一个交点为 Q，连 PQ，求 PQ
的最大值．
参考公式：m3 n3 m n m2 mn n2
17. 空间中有一个平面 和两条直线 m，n，其中 m，n与 的交点分别为 A，B， AB 1，
π
设直线 m与 n之间的夹角为 ，
3
（1）如图 1，若直线 m，n交于点 C，求点 C到平面 距离的最大值；
（2）如图 2，若直线 m，n互为异面直线，直线 m上一点 P和直线 n上一点 Q满足 PQ / / ，
PQ n 且 PQ m，
（i）证明：直线 m，n与平面 的夹角之和为定值；
（ii）设 PQ d 0 d 1 ，求点 P到平面 距离的最大值关于 d的函数 f d ．
18. 已知函数 f x ax2 x ln x 1 ， a R，
f x f x
（1）若对定义域内任意非零实数x x 1 2， ，均有 0，求 a；
1 2 x1x2
t 1 1 1 t 5（2）记 n ，证明： n ln n 1 t ．2 n 6 n
19. 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设 n为正整数，集合 X n 1,2, ,n 1 ，欧拉函
数 (n)的值等于集合 X n中与 n互质的正整数的个数；记M (x, y)表示 x除以 y的余数（x
和 y均为正整数），
（1）求 (6)和 (15)；
（2）现有三个素数 p，q， e( p q e)，n pq，存在正整数 d满足M (de, (n)) 1；
已知对素数 a和 x X a，均有M (xa 1,a) 1，证明：若 x X n ，则 x M ([M (xc ,n)]d ,n)；
（3）设 n为两个未知素数的乘积， e1， e2为另两个更大的已知素数，且 2e1 3e2 1；又
c1 M (x
e1 ,n)， c2 M (x
e2 ,n)， x X n ，试用 c1， c2和 n求出 x的值．
湖南省岳阳市 2024 届高三下学期三模
数学试题
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A { 2, 1,0,1, 2,3}， B x |
x 3
0 ，则 A B （ ）
x 1
A. { 1,0,1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
2. 若虚数单位 i是关于 x的方程 ax3 bx2 2x 1 0(a,b R)的一个根，则 a bi
（ ）
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3. 直线 2x 3y 1 0的一个方向向量是（ ）
A. 3,2 B. 2,3 C. 3, 2 D. 2, 3
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线 l上有无数个点不在平面 内，则 l / /
B. 若直线a不平行于平面 且 a ，则平面 内不存在与 a平行的直线
C. 已知直线 a，b，平面 , ，且 a ,b , // ，则直线 a，b平行
D. 已知两条相交直线 a，b，且 a//平面 ，则b与 相交
5. 已知 y f (x 1) 1为奇函数，则 f ( 1) f (0) f (1) f (2) f (3) （ ）
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
6. 把 5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相
邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
7. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a2 a1 0, S20 100，则 a10a11（ ）
A. 有最小值 25 B. 有最大值 25 C. 有最小值 50 D. 有最大
值 50
ex a, x a
8. 已知函数 f (x) ， f (x)不存在最小值，则实数 a2 的取值范围是（ ）
x 2ax, x a
A. ( 1,0)
1
B. ,
3
( 1,0) 1 1C. , D. ,0
(1, )
3 3
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. Cn7 C
3
7 ，则 n 3
Cm m 1B. Cm 1n n 1 n 1
C. (x 1)10 5的展开式的第 6项的系数是C10
D. (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 3的展开式中 x2的系数为C6 1
10. 已知函数 f (x) 2cos( x )
π
0, 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. 2
π 7π
B. f (x)的单调递减区间为 kπ ,kπ 12 12
,k Z
π
C. f (x)的图象可由函数 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到
6
f (x) f 7π D. 满足条件
f (x) f
4π 0 的最小正整数 x为 2
4 3
11. 如图，四边形 ABCD是圆柱OO1的轴截面且面积为 2，四边形OO1DA绕OO1逆时针旋
转 (0 π)到四边形OO1D1A1 ，则（ ）
A. 圆柱OO1的侧面积为 2π
B. 当0 π时，DD1 A1C
C. 当0 π时，四面体CDD1A1的外接球表面积最小值为3π
2π
D. 当BD1 2时， π3
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知双曲线C过点 (1, 6)，且渐近线方程为 y 2x，则C的离心率为______．
13. 已知角 , 的终边关于直线 y x sin( 3对称，且 ) ，则 , 的一组取值可以
2
是 ______， ______．
14. 如图所示，直角三角形 ABC所在平面垂直于平面 ，一条直角边 AC在平面 内，另
3 π
一条直角边 BC长为 且 BAC 3，若平面 上存在点 P，使得 ABP的面积为 ，
3 6 3
则线段CP长度的最小值为______．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15. 已知等差数列 an 满足： a1 2，且 a1， a2，a4成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
2
（2）若等差数列 an 的公差不为零且数列
4n
bn 满足：bn ，求数列
b 的
an 1 a 1 nn
前 n项和Tn ．
16. 某地区举行专业技能考试，共有 8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参
加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了 100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制
了样本频率分布直方图，如图所示.
（1 2）若所有考生的初试成绩 X 近似服从正态分布 N , ，其中 为样本平均数的估计
值， 11.5，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于 85分的人数；
（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得 5分，答错得 0分，后两道题考生每题答对
得 10分，答错得 0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试
3 3
中，前两题每题能答对的概率均为 ，后两题每题能答对的概率均为 ，且每道题回答正
4 5
确与否互不影响.规定复试成绩上了 20分（含 20分）的考生能进入面试，请问该考生进入
面试的概率有多大
2
附：若随机变量 X服从正态分布 N , ，则： P( X ) 0.6827，
P( 2 X 2 ) 0.9545,P( 3 X 3 ) 0.9973.
17. 已知四棱锥P ABCD的底面 ABCD是边长为 4的菱形， DAB 60 ，PA PC，
PB PD 2 10 ，M 是线段 PC上的点，且 PC 4MC．
（1）证明：PC 平面 BDM ；
（2）点E在直线DM 上，求 BE与平面 ABCD所成角的最大值．
18. 已知动圆 P过定点 F (0,1)且与直线 y 3相切，记圆心 P的轨迹为曲线 E．
（1）已知A、 B两点的坐标分别为 ( 2,1)、 (2,1)，直线 AP、 BP的斜率分别为 k1、 k2，
证明： k1 k2 1；
（2）若点M x1, y1 、N x2 , y2 是轨迹E上的两个动点且 x1x2 4，设线段MN的中点
为Q，圆 P与动点Q的轨迹 交于不同于F 的三点C、D、G，求证： CDG的重心的
横坐标为定值．
19. 已知 ABC的三个角 A,B,C的对边分别为 a,b,c且 c 2b，点D在边 BC上， AD是
BAC的角平分线，设 AD kAC（其中 k为正实数）．
（1）求实数 k的取值范围；
2 f (x) 3 ax3 5 b（ ）设函数 bx2 cx
3 2 2
k 2 3①当 时，求函数 f (x)的极小值；
3
②设 x0是 f (x)的最大零点，试比较 x0与 1的大小．
山东省淄博市 2024 届高三下学期一模考试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 y2 4x的焦点坐标为（ ）
A. 1,0 B. 0,1
1 1
C. ,0 D. 0,
16 16
2. 某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 4 2
3. 记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 a3 a7 10,a5a6 35，则 S6 （ ）
A. 20 B. 16 C. 14 D. 12
π
4. 已知函数 f (x) sin(2x )，则下列结论中正确的是（ ）
3
A. 函数 f (x)的最小正周期T 2π
5π
B. 函数 f (x)的图象关于点 ( ,0)中心对称
12
π
C. 函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
6
π
D. 函数 f (x)在区间[0, ]上单调递增
4
5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数 e 2.71828…的前 6位数字 2，7，1，
8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，
则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A. 24 B. 16 C. 12 D. 10
6. 在平面直角坐标系 xOy中，已知向量 OA与 OB关于 x轴对称，向量 a 0,1 ，若满
2 足 OA a AB 0的点 A的轨迹为 E，则（ ）
A. E是一条垂直于 x轴的直线 B. E是一个半径为 1的圆
C. E是两条平行直线 D. E 是椭圆
π , 3π π π 7. 若 4 4
，6 tan 4
4cos 4
5cos 2 ，则 sin 2 （ ）
24 12 7 1
A. B. C. D.
25 25 25 5
8. 已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q．是它们的两个公共点，且 P，Q．关于原
2 e2 3e2
点对称， PF2Q ，
1 2
若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e ，则 3 2 e2 1 e21 2 3
的最小值是（ ）
A. 2 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 4 3
3 3 3 3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若样本数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 的方差为 2，则数据
3x1 1,3x2 1,3x3 1,3x4 1,3x5 1,3x 6 1的方差为 17
B. 一组数据 8，9，10，11，12的第 80百分位数是 11.5
C. 用决定系数R2 比较两个模型的拟合效果时，若 R2 越大，则相应模型的拟合效果越好
D. 以模型 y c ekx 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 z ln y，求得线性回
归方程为 z 2x 0.4，则 c，k的值分别是 e0.4和 2
10. 已知非零复数 z1， z2 ，其共轭复数分别为 z1，z2，则下列选项正确的是（ ）
2
A. z21 z1
B. z1 z2 z1 z2
C. 若 z2 1 1，则 z2 1的最小值为 2
z1 zD. 1
z2 z2
11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(OO 中椭圆长轴
AB 4，短轴CD 2 3，F1,F2 为下底面椭圆的左右焦点，F 2 为上底面椭圆的右焦点，
AA 4， P为线段BB 上的动点，E 为线段 A B 上的动点，MN 为过点F2的下底面的一
条动弦(不与 AB重合)，则下列选项正确的是（ ）
A. 当F F 1 2 //平面 PMN时， P为BB 的中点
B. 三棱锥F 2 F2CD外接球的表面积为8π
C. 若点 Q是下底面椭圆上的动点，Q 是点 Q在上底面的射影，且Q F1，Q F2 与下底面所
16
成的角分别为 , ，则 tan 的最大值为
13
D. 三棱锥E PMN 体积的最大值为 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知等比数列 an 共有 2n +1项， a1 1，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的和为
42，则公比 q=__________.
13. 已知定义在R 上的函数 f (x)， f (x)为 f (x)的导函数， f x 定义域也是 R，` f (x)满
2024
足 f (x 1012) f (1013 x) 4x 1，则 f (i) _______.
i 1
14. 设方程 ex x e 0，ln x x e 0 p q f x ex的根分别为 ， ，函数 p q x，
令 a f 0 ,b f 1 ,c f 3 ，则 a，b，c的大小关系为___________.
2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
2
15. 如图，在△ABC中， BAC , BAC 的角平分线交 BC于 P点， AP 2 .
3
（1）若 BC 8，求△ABC的面积;
（2）若CP 4，求 BP的长.
16. 如图，多面体 ABCDEF是由一个正四棱锥 A BCDE与一个三棱锥 F ADE拼接而成，
正四棱锥 A-BCDE的所有棱长均为3 2，AF / /CD .
（1）在棱 DE上找一点 G，使得面 ABC 面 AFG，并给出证明;
AF 1（2）当 CD时，求点 F到面 ADE的距离;
2
1
（3）若 AF CD，求直线 DF与面 ABC所成角的正弦值.
3
17. 已知函数 f (x) e x sin x 1 .
（1）讨论函数 f (x)在区间 (0, )上的单调性;
（2）证明函数 f (x)在区间 ( π,0]上有且仅有两个零点.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中 400
名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育
锻炼不超过 2次的称为体育锻炼频率低，不低于 3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值
0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼 5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层
随机抽样，抽取 8人，再从这 8人中随机抽取 3人，记这 3人中年龄在 [30,40)与[50,60]的
人数分别为 X ,Y , X Y ，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛
球 3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选
1 2 2
择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 , , ，求小明星期天选择跑
3 5 3
步的概率.
n ad bc 2
参考公式： 2 ，n a b c d .
a b c d a c b d
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 在平面直角坐标系 xOy中，点. F 5,0 ，点 P x, y 是平面内的动点.若以 PF 为直径的
圆与圆 D : x2 y2 1相切，记点 P 的轨迹为曲线 C.
（1）求 C的方程;
（2）设点 A(1,0),M (0, t),N (0, 4 t)(t 2) ，直线 AM ，AN 分别与曲线 C交于点 S，T (S，
T 异于 A)，过点 A作 AH ST ，垂足为 H，求 |OH |的最大值.
浙江省丽水、湖州、衢州三市 2024 届高三下学期二模
数学试卷
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 掷两枚质地均匀的骰子，设 A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”，则 A与 B
的关系为（ ）．
A. 互斥 B. 互为对立
C. 相互独立 D. 相等
2
2. 双曲线 x2 y 1(m 0)的渐近线方程为 y 2x，则m （ ）
m2
A. 12 B.
2 C. 2 D. 2
2
3. 复数 z满足 iz 1（ i为虚数单位），则 z 4 3i 的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知平面向量 a、b满足 b 2 a 2，若 a a b ，则 a与b的夹角为（ ）
π 5π π 2π
A. B. C. D.
6 6 3 3
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 a6，3a4，－a5成等差数列，则
S4
S ＝（ ）2
A. 3 B. 9
C. 10 D. 13
6. 将函数 f x cos2x π 的图象向右平移 0 个单位后得到函数 g x 的图象，若
2
对满足 f x1 g x2 2
π
的 x1, x2 ，有 x1 x2 min ，则 （ ）3
π π π 5π
A. B. C. D.
6 4 3 12
x2 y2
7. 已知椭圆C : 2 2 1(a b 0),F1,F
2 为左 右焦点，P为椭圆上一点， F1PF 60 ，a b 2
直线 l : y x t经过点 P .若点 F2关于 l的对称点在线段 F1P的延长线上，则C的离心率是
（ ）
1
A. B. 2 2C. 1
3 2 2
D.
3
8. 已知正实数 x , x , x x2满足 2x 1 x 2x1 21 2 3 1 1 1 ，x2 3x2 1 x
x2 2
23 ，x3 4x3 1 x
x3
34 ，
则 x1, x2 , x3的大小关系是（ ）
A. x3 x2 x1 B. x1 x2 x3
C. x1 x3 x2 D. x2 x1 x3
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 有一组样本数据 x1, x 22 , x3 , x4 , x5 , x6 的平均数是 x ，方差是 s ，极差为 R，则下列判断正
确的是（ ）
A. 若ax1 b,ax2 b,ax3 b,ax4 b,ax5 b,ax6 b的平均数是 x0 ，则 x0 ax b
B. 若 x1, 2x2 ,3x3, 4x4 ,5x5 ,6x6的极差是R1，则 R1 R
C. 若方差 s2 0，则 x1 x2 x3 x4 x5 x6
D. 若 x1 x2 x3 x4 x5 x
x x
6，则第 75百分位数是
4 5
2
10. 已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB BC且 AB BC 2，直线 A1C与底面 ABC所
3
成角的正弦值为 ，则（ ）
3
A. 线段 A1C上存在点D，使得 A1B AD
B. 线段 A1C上存在点D，使得平面DBB1 平面DCC1
4
C. 直三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为 3
D. 点B1到平面 A1BC的距离为 2
11. 已知函数 f x 的定义域为R，且
f x y f x y f 2 x f 2 y , f 1 2, f x 1 为偶函数，则（ ）
A. f 3 2 B. f x 为奇函数
2024
C. f 2 0 D. f (k) 0
k 1
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 在 ABC π 1中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,B ,c 2,BC 边上的高等于 a，则
4 3
ABC的面积是__________，sinA __________.
13. C :mx2 2m 1 y2已知圆 2ax a 2 0 ，若对于任意的 a R，存在一条直线被
圆C所截得的弦长为定值n，则m n __________.
14. 已知正四面体 A BCD的棱长为 1，若棱长为 a的正方体能整体放入正四面体
A BCD中，则实数a的最大值为__________.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设等差数列 an 的公差为d ，记 Sn是数列 an 的前 n项和，若 S5 a3 20，
S15 a2a3a8 .
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若d 0,b
4S
n n N*n a a ，数列 bn
1
的前 n项和为Tn ，求证：Tn n .
n n 1 2
16. 如图，三棱锥 A BCD中， AD CD, AD CD, ADB BDC,E为线段 AC的
中点.
（1）证明：平面BED 平面 ACD；
（2）设 AB BD 3,BF 2FD,EF BD 0，求直线CF与平面 ABC所成角的正弦值.
17. f x e x设函数 ln x a ,a R .
（1）当 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若对定义域内任意的实数 x，恒有 f x a，求实数a的取值范围（. 其中 e 2.71828
是自然对数的底数）
18. 已知抛物线 E : y2 4x ，点 A,B,C在抛物线 E上，且A在 x轴上方，B和C在 x轴下
方（ B在C左侧）， A,C 关于 x轴对称，直线 AB交 x轴于点M ，延长线段CB交 x轴于点
Q，连接QA .
OM
（1）证明： 为定值（O为坐标原点）；OQ
（2）若点Q
8
的横坐标为 1，且MB MC ，求 AQB的内切圆的方程.
9
19. 为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.
若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 p1；若该区
域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 p2 .已知该指
定区域有珍稀动物活动的概率为 0.2.现用 2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功
能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定
指定区域有珍稀动物活动.
（1）若 p1 0.8, p2 0.02 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
（精确到 0.001）；
（2）若监测系统在监测识别中，当0.8 p1 0.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍
稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，
该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为 0.9.求 p2的范围（精确到 0.001）.
35.04 0.9866, 35.01（参考数据： 0.9861,0.98 2 0.9604 ）
6 6
参考答案
安徽省淮北市 2024 届高三第二次质量检测
数学试题参考答案
1.B
由集合U 1,2,3,4,5 , A 1,2 ,B 1,3,5 ，
可得 UB {2,4}，所以 A UB 1,2,4 .
故选：B.
2.A
z cos 2π isin 2π 1 3因为 i，
3 3 2 2
2
2 1 3 所以 z i
1 3 3 2 1 3
2 2
i i i .
4 2 4 2 2
故选：A .
3.D
当 a 1,b 1时， a b 2，所以 A错.
当 a 0,b 0时， a b ，所以 B错.
当 a 2,b 1时， ln a b 0，所以 C错.
1 1
若a b 0，则 0
1 1
，则 a b 成立，所以 D正确.
b a b a
故选：D
4.C
f x sinx由 πcosx 可知，cos x 0，即 x kπ,k Z，显然该函数定义域关于原点对称，2
f x sin( x) sin x由 = f (x)cos( x) cos x 可知，函数为奇函数，排除 B, D两项，
sin 3π
又 f (
3π) 4 1 0，排除 A项，故 C项正确.
4 | cos 3π |
4
故选：C.
5.D
每个考生都均答对 4道题，答错一道题，
第 1题，若甲乙答错，则甲乙的后四题答案应相同，不成立，故丙答错了第 1题；
丙答错了第 1题，则丙的后四题全部正确，对比可知，甲答错了第 4题，乙答错了第 2题，
则这 5道题的正确答案依次为 TFFTT.
故选：D
6. B
依题意， f ( x) f (x)，即 ax ln e x 1 ax ln ex 1 ，
x
2ax e 1整理得： ln 0，即2ax lnex 0，则有 (2a 1)x 0，
e x 1
1
因 x不恒为 0，故必有 2a 1 0，解得， a .
2
故选：B.
7.A
由 AB AC 2AO可得：O是BC的中点，即 B,C关于原点对称，
不妨假设点 B(m,n)，则C( m, n)，
由 A(a,0) 1及直线 AB, AC的斜率分别为 4和 2 可得：
n 4 m 9a n 4m 4a m a 7 ，联立解得： ，
n 1 2n m a
8a
n
m a 2 7
所以把点 B(9a , 8a )代入双曲线方程 E得：
7 7
2 2
9a 8a
7 81 64a2
2
7
2 1 1
，
a b 49 49 c2 a2
c 64 32
再由 e 代入得： 2
a 49 e2 1 49 ，解得： e 3，
e 1, e 3，
故选：A.
8.D
若 4t 0，即 t 0时， f (x) x2 t ，其对称轴为 x 0， f (x)max t 16，
此时，因 t 0，故 g(t) t 16的最小值为 16；
若 t 0，由 y x2 t 0可得 x t ，
（Ⅰ）如图 1，当 t 4时，即 16 t 0时， f x x2 t 在 [ 4, t ]上递减，
在[ t ,0]上递增，
在[0, t ]上递减，在[ t , 4]上递增，又 f ( 4) | t 16 | t 16, f (0) | t | t ，
① 当 16 t 8时， t 16 t，故 f x t，而 g(t) t在[ 16, 8]max 上单调递
减，则此时， g(t)min g( 8) 8；
② 当 8 t 0时， t 16 t ，故 f x t 16，而 h(t) t 16在 ( 8,0)max 上单调
递增，则此时， g(t) h( 8) 8 .
（Ⅱ）如图 2，当 t 4，即 t 16时， f x x2 t 在[ 4,0]上单调递增，在[0, 4]上
单调递减，
则此时 f x f (0) t t，而 (t) t在 ( , 16)max 上单调递减，则
(t) ( 16) 16 .
综上，函数 f x x2 t , x 4,4 最大值的最小值为 8.
故选：D.
9.ABD
an 2n 1，所以 an 是首项 a1 1，公差d 2的等差数列，
10 10 1
S10 10 1 2 100，故选项 A正确.2
1 1 1 1 1 1 1
令 cn = ，则 cn ( ) ( )a ，n ×an+1 d an an 1 2 an an 1
c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c2 c10 ( ) ( )2 a ，1 a2 a2 a3 a10 a11 2 a1 a11
又 a1 1， a11 21，
c 1 1 c2 c10 (1
1 ) 10 ，故选项 C错误.
2 21 21
T 2n 1又 n 2， bn Tn T 2
n 1
n 1 2 2
n 2 2n (n＞1,n N )，
又 b1 T1 2
1 1 2 2 b 21， 1 2， b
n
n 2 (n N
)，
bn 是首项为b1 2，公比 q= 2的等比数列，
b 21010 1024，故选项 B正确.
1 1 1 1
n 1
又 n
b 2 2
，
n 2
1
1 1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， bn
1 1
1 1 1 1 (1 2 210
)
1023 1 ，故选项 D正确.b1 b2 b3 b10 1 1024
2
故选：ABD.
10.BD
如图所示建立空间直角坐标系，
则M 2,1,0 ,N 0,2,1 , A 2,0,0 ,C1 0,2,2 ,C 0,2,0 ,D1 0,0,2 ，
所以MN 2,1,1 ,AC1 2,2,2 ,CD1 0, 2,2 ，
2 2
由空间向量共线的充要条件知若MN / /AC1，则有MN AC1 ，
1 2
显然上述方程无解，故 A错误；
又MN CD1 2 0 1 2 1 2 0，所以 B正确；
延长D1N ,DC交于 H点，连接MH 交 BC于 G点，
由平行线分线段成比例可知 G为靠近 B点的线段 BC的一个三等分点，故 C错误；
设平面 A1D1M 的一个法向量为 n x, y, z ，
易知D1A1 2,0,0 ,A1M 0,1, 2 ,A1N 2,2, 1 ，
n D1A1 2x 0
则 ，令 y 2 x 0, z 1，即 n 0,2,1 ，
n A1M y 2z 0
n A N
则 N到平面 A1D1M
1 3
的距离为 d
n
，
5
S 1而 A D M 2 2
2 12 5，
1 1 2
1
所以VN A1D M d S 1，故 D正确.1 3 A1D1M
故选：BD
11.ACD
A选项， X1的可能取值为 5,7 ，
且 P X1 7 P X 5
1 E X 5 1 7 1 1 ，故 1 6，A正确；2 2 2
B选项， X 2 12，即 2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，
故 P X 2 12 C1
1 1 1
2 ，B错误；2 2 2
C选项， X 7 7，即顺时针走了 210 或逆时针走了150 ，
设硬币正面朝上的次数为 x，则反面朝上的次数为 7 x ，
150 7 x 150 x 150 ，解得 x 3，
1 3 4P X 7 C3 1 35故 7 7 ，C正确；
2 2 128
D选项，若硬币 8次均正面朝上，此时 X 8 4，
1 8P X 4 C8 1
0
1
故 8 8 2
，
2 256
若硬币 7次正面朝上，1次反面朝上，此时 X 8 6，
7 1
故 P X 6 C7 1 1 18 8 2
，
2 32
若硬币 6次正面朝上，2次反面朝上，此时 X 8 8，
6 2
P X 8 C6 1 1 7故 8 8 ，
2 2 64
若硬币 5次正面朝上，3次反面朝上，此时 X8 10，
5 3
P X 1 10 C5 1 7故 8 8 2 2
，
32
若硬币 4次正面朝上，4次反面朝上，此时 X8 12，
4 4
P X 12 C4 1 1 358 8 ，
2 2 128
若硬币 3次正面朝上，5次反面朝上，此时 X 8 2，
3 5
P X 2 C3 1 1 78 8 2 2
，
32
若硬币 2次正面朝上，6次反面朝上，此时 X 8 4，
2 6
P X 4 C2 1 1 78 8 2 2
，
64
若硬币 1次正面朝上，7次反面朝上，此时 X 8 6，
1 7
P X 8 6 C1
1 1 1
8 ，
2 2 32
若硬币 8次均反面朝上，此时 X 8 8，
8
P X 8 8
1
C0 18 ，
2 256
故
E X 4 1 6 1 8 78 10
7 35 7 7 1
12 2 4 6 8 1
256 32 64 32 128 32 64 32 256
489
6，D正确.
64
故选：ACD
12.2
a
由 1,2 ,b 1, t 可得，2a b (3, t 4) a ， 2b (3,2t 2)，
因 2a b与a 2b 共线，则有3(t 4) 3(2t 2)，解得 t 2 .
故答案为：2.
13. 72
4
设四种颜色分别为 ABCD，对于第一个 2 2的方格，共有 A4 24种不同的涂法，
假设第一个 2 2的方格，涂如图所示 ABCD四种颜色，
①若第三列的一个方格涂A，第三列的第二方格涂C，则第三列的第三方格涂A或 B，
当第三列的第三方格涂A时，则第三行的第一、二方格，分别涂 A,B；
当第三列的第三方格涂 B时，则第三行的第一、二方格，分别涂 B, A；
②若第三列的一个方格涂C，第三列的第二方格涂A，则第三列的第三方格涂C或 B，
当第三列的第三方格涂C时，则第三行的第一、二方格，分别涂 A,B；
当第三列的第三方格涂 B时，则第三行的第一、二方格，分别涂 B, A；
所以，共有3类涂法，则共有 24 3 72种不同的涂色方法.
故答案为： 72 .
14.10； 3 3
DA x 2
设DA x， DAB ，则Rt DAB中， cos ，
AB 4 sin
16 x
，
4
2 2
过D作DE AB E x x 16 x， 为垂足，则 AE DAcos ，DE DAsin ，
4 4
等腰梯形 ABCD周长为
x2 2 x 2
2
AB x BC CD DA 4 x 4 x 2x 8
10，
2 2 2
所以当DA 2时，梯形周长的最大值为 10.
2
8 x x 16 x
2
3
梯形面积 2 2AB CD DE 2 4 16 x 3xS
2 2 16 3
3 416 x2 3x2
4
，
144 3 3
16 3 16 3
当且仅当16 x2 3x2 ，即 x 2时等号成立，
所以梯形面积的最大值为3 3 .
故答案为：10；3 3 .
15.（1）解：由 c b 2csin2 A，可得 sin2 A c b 1 cos A c b ，所以 ，
2 2 2c 2 2c
1 cos A 1 b b
即 ，所以 cos A ，
2 2 2 2c c
b2 c2 a2 b π
又由余弦定理得 ，可得 a2 b2 c2，所以C ，
2bc c 2
所以 ABC是直角三角形
（2）解：由（1）知， ABC是直角三角形，且 c 1，可得 a sin A, b cos A，
所以 ABC周长为1 sin A cos A 1 2 sin
π
A ，
4
A 0, π A π π , 3π 因为 ，可得2 4 4 4
，
所以，当 A 时，即 ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为
4 2 1
.
16.（1）
因为 BC 平面 ABB1A1， AE 平面 ABB1A1，所以 AE BC．
又 AE A1B， A1BI BC B，所以 AE 平面 A1BC
因为 A1C 平面 A1BC，所以 AE A1C
同理：因为CD 平面 ADD1A1， AF 平面 ADD1A1，所以 AF CD．
又 AF A1D， A1D CD D，所以 AF 平面 A1CD
因为 A1C 平面 A1CD，所以 AF A1C
又因为 AE A1C， AE AF A，所以 A1C 平面 AEF
（2）以A为原点，分别以 AB、 AD、 AA1所在直线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐
标系如图．
则 A(0,0,0)， A1(0,0,5)， B(4,0,0)，B1(4,0,5)，D(0,3,0)，C(4,3,0)．
所以 A1C (4,3, 5)，且 A1C是平面 AEF 的一个法向量．
BB1 (0,0,5)，BD ( 4,3,0)
设平面D1B1BD的法向量为 n
(x, y, z)
n B 5z 0
则
B 1 0 ，即
n BD 0 4x 3y 0
所以 z 0，令 x 3，得 y 4．
则平面D1B1BD的一个法向量为 n (3,4,0)．
所以 n A1C 12 12 24．
| n | 32 42 5 AC 42 32 ( 5)2 ， 1 5 2
所以 cos n, A
n A
1C
1C 24 12 2
n A 25
．
1C 5 5 2
12 2
所以平面 AEF 与平面D1B1BD的夹角的余弦值为 ．
25
17.（1）
由频率分布直方图得样本中 A品种石榴单个果实质量的估计值为:
xA 0.005 20 60 0.015 20 80 0.020 20 100 0.010 20 120 94g,
样本中 B品种石榴单个果实质量的估计值为:
xB 0.005 20 60 0.020 20 80 0.020 20 100 0.005 20 120 90g.
（2）设 A:从A品种石榴中任取 1个为合格品；B:从 B品种石榴中任取 1个为合格品；则:
P(A) 0.005 20 0.7 0.015 20 0.8 0.020 20 0.7 0.010 20 0.8 0.75;
P(B) 0.005 20 0.7 0.020 20 0.8 0.020 20 0.8 0.005 20 0.9 0.8.
由题意得 X 0,1,2,3, 4，
则 P(X 0) (1 0.75) 2 (1 0.8) 2 0.0025 ，
P(X 1) C12 0.75 (1 0.75) (1 0.8)
2 (1 0.75)2 C12 (1 0.8) 0.8 0.035,
P(X = 2) = C2 0.752 (1 0.8)2 C12 2 0.75 (1 0.75) C
1
2 0.8 (1 0.8)
(1 0.75)2 C22 0.8
2 0.1825,
P(X 3) C22 0.75
2 C12 0.8 (1 0.8) C
1
2 0.75 (1 0.75) C
2
2 0.8
2 0.42,
P(X 4) 0.752 0.82 0.36.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.0025 0.035 0.1825 0.42 0.36
所以 E(X ) 0 0.0025 1 0.035 2 0.1825 3 0.42 4 0.36 3.1 .
18.（1）
不妨设 F1 c,0 ,F2 c,0 ，
G 因 1,
1 3
为△AF1F2的重心，所以 A 3,2
，
2
9
所以 9
2
4 ，
a b2
1
又短轴长为 6，所以b 3，代入解得 a2 12，
x2 y2
所以椭圆方程为: 1；
12 9
（2）由上可知 F2 3,0 ，设 B x1, y1 ,D x2 , y2 ,BD中点 E x0 , y0 ，
2
则 BF 22 x1 3 y1 ，
x2 2
又 1
y 1
1 1，消去 y
12 9 1
并整理得 BF2 2 3 x2 1
，
1
同理 DF2 2 3 x2，2
又 CF 3 32 ，2
1 1 3 3
由题意得2 3 x 2 3 x 2 ，
2 1 2 2 2
x 1即 0 x1 x2 3，2
x2 x2 y2 y2 y1 y2 9 x1 x 3x
因 B，D在 上，易得 1 2 1 2 0，化简得 2 0 ，
12 9 x1 x2 12 y1 y2 4y0
4y
BD 0
4y0
所以线段 中垂线的斜率 3x ，0 3 3
4 y
线段 BD 0中垂线方程: y y0 (x 3)，3 3
x 4 1令 0得 yE y0 y0 y ，3 3 0
3 y2
又线段 BD中点在椭圆内所以 0 1 3 3 3 3 y
12 9 2 0
，
2
所以 y
3 3
E ,2 2
；
（3）设M x3, y3 ,N x4 , y4 ，由 PM PN得 x3 x4 , 0，
x2 y2
1 2 2
联立 12 9 消 y整理得 4k 3 x 16kx 20 0，
y kx 2
x x 16k , x x 20得 3 4 ，4k 2 3 3 4 4k 2 3
x x 2
1 2 x3 x4 2 3 4 64k
2
所以
x4 x3 x3x4 5 4k 2 ， 3
当 k 0时， 1，
1 2 64k
2 1 16 48 16当 k 0时， , 0
5 4k 2 3 5 4k 2 3 ， 5
解不等式得 5 1 .
5
19.
（1）由 a 1，可知 f (x) cos2x x 2 1, g(x) f (x) 2sin 2x 2x 2(x sin 2x) ，
则 g (x) 2(1 2cos2x)，
x π 在 0, 2
时，
g x 0 cos 2x 1 π π令 ，解之得 x
2
,
6 2
，
令 g x 0 cos 2x 1 ，解之得 x 0,
π
，
2 6
0, π π πg(x) 所以 在 上单调递减，在 , 上单调递增；
6 6 2
（2）法一、
注意到 f (x) a(cos2x 1) x 2是偶函数，故只需证明当 x [0, )时， f (x) 0，
①当 a 0时，显然 f (x) 0，
1
②当0 a 时， f (x) 2(x a sin 2x)，
2
令u x x asin 2x，则u x 1 2acos2x，
令h(a) 1 2acos2x h(a) 0,
1
，则 在 上是单调函数，
2
h(0) 1,h 1 而 1 cos 2x 0 ,
2
故 h(a) 0，即u x 0，于是u x 在[0, )单调递增，
又u 0 0，可知u x 0 ,
于是 f (x)在[0, )单调递增，
又 f (0) 0，可知 f (x) 0，证毕；
法二、
注意到 f (x) 2a sin2 x x2 是偶函数，故只需证明当 x [0, )时， f (x) 0，
①当 a 0时，显然 f (x) 0，
②当0 a 1 时， f (x) 2a sin 2 x x 2 x 2 sin 2 x ，
2
而 x2 sin2 x 0 | x | | sin x | 0
当 x 1时，上式显然成立；
当 0 x 1时，上式等价于 x sin x 0
令 (x) x sin x，
则 (x) 1 cos x 0，
即 (x)在(0,1)单调递增，则 (x) (0) 0，证毕；
（3）法一、
题设可化为: cos(2sin x) acos 2 x对 x R恒成立，
令 2sin x t，则 2 t 2，条件进一步化为:
t2
对任意 2 t 2，有 cos t a 1 恒成立，
4
注意到 t 0时， a 1，
t2 t2
另一方面，当 a 1时， 1 a cos t 1 cos t，
4 4
2
记 r(t) t 1 cos t, ( 2 t 2) ，
4
显然函数 r(t)为偶函数，故考虑0 t 2时情形，
易得： r (t) t sin t，令 r t n(t) n (t) 1 cos t，
2 2
令 n (t) 0 π得 t ，
3
于是 r (t) 0,
π π
在 上单调递增，在 , 23 3
上单调递减；
而 r (0) 0, r
π
0, r (2) 1 sin 2 0，
3
π
故必然存在实数 t0 , 2 使得:
3
当 t 0, t0 时， r (t) 0，当 t t0 , 2 时， r (t) 0，
于是 r(t)在 0,t0 上单调递增，在 t0 , 2 上单调递减；
验证 r(0) 0,r(2) cos2 0知:对任意0 t 2,r(t) 0恒成立.
t 2 1 t
2
因此 4
a cos t 0 ，即 cos t a 1 ，
4
综上，实数 a的取值范围为[1, ) ；
法二、
题设可化为： cos(2sin x) acos 2 x对 x R恒成立，
令 2sin x t，则 2 t 2，条件进一步化为：对任意 2 t 2，
2
cos t t a 1 （*）恒成立
4
2
注意到 y cos t y t与 1 都是偶函数，故只需考虑 t [0, 2]情形即可.
4
①当 t 2时，结论显然.
②当 t [0, 2) 4cos t时，（*）化为a 2 ，4 t
4cos t 4 t 2 4 sin t 2t cos t
令m(t) ，则m (t) ，
4 t2 24 t 2
令 s(t) t 2 4 sin t 2t cos t s t t 2，则 2 cos t，
（1）当 t
π
, 2 2 时，有 t 4 0,sin t 0,cos t 0，于是 s(t) 0， 2
t π 0, π （2）当 时，有2 t [0, 2), s
(t) 0, s(t)单调递减；t 2, , s (t) 0, s(t)单
2
调递增.
π π2
而 s(0) 0, s 4 0，故 s(t) 0，
2 4
进一步，m (t) 0,m(t)在[0, 2)上单调递减，
于是得到:a m(t)max m(0) 1即为 a的取值范围.
重庆市 2024 届高三下学期二模
数学试题参考答案
1.B
若 a 1，且b 1，根据不等式的加法和乘法法则可得 a b 2，且 ab 1，即必要
性成立；
a 3,b 1 1当 ，满足a b 2，且 ab 1，但是b 1，故充分性不成立，
2 2
所以“ a b 2，且 ab 1”是“ a 1，且b 1”的必要不充分条件.
故选：B
2.B
由 z i 1 i 1 2i 1 i 1 2i 3 i，可得复数 z 的实部为 3，
故选：B .
3.C
先将 6名同学分成 4组，则 4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3，
当甲 2乙在 2人组，再从另外 4人任选 2人组成一组，其余的一人一组，有C4 种分组方法；
1
当甲 乙在 3人组，甲 乙与另外 4人中的 1人组成一组，其余的一人一组，有C4 种分组方
法，
2 1 4
再把 4组人分到 4个区域，所以安排方法种数为 C4 C4 A4 240 .
故选：C.
4.A
如图，
在正四面体 P ABC中，假设 PH 底面 ABC，则点 H为 ABC外心．
在PH上取一点 O，满足OA OM ，则 O为三棱锥M ABC的外接球球心．
当OA取得最小值时，OM 最小，三棱锥M ABC的外接球体积最小，此时点 O与点 H
重合．
作MN AH ，垂足为 N， MN //PH ，
MN 为三棱锥M ABC的高．
由正四面体 P ABC的棱长为 2 3，易知 AH 2 MH ，
所以 PH PA2 AH 2 2 2 ， PA 2 3， AH 2．
PH MN
由 2 ，设 AN x，则
AH AN MN 2x
，HN 2 x．
2 4
由HM 2 MN 2 HN 2，得 22 2 x 2 2x ，解得 x ．3
2
MN 4 2 1 3 4 2 4 6 ． V ．
3 三棱锥M ABC
2 3 3 4 3 3
故选：A
5.A
n n
因为Q(a,b) yi bxi 2 y2i 2bx 2 2i yi b xi
i 1 i 1
n n n
b2 x2i 2b xi yi y2i ，
i 1 i 1 i 1
上式是关于b的二次函数，
n
xi yi
i 1
因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为b n .
x2i
i 1
故选：A.
6.B
令 g(x) x sin x，可得 g (x) 1 cos x≥0，所以 g(x) x sin x在R 上单调递增，
当 x 0时， g(x) g(0)，所以 x sin x，
所以10sin 1 10 1 1 ，所以a c，
100 100 10
2 x 1
令 f (x) x ln(1 x) 2 x 2ln(1 x) ，求导可得 f (x) 1 ，
x 1 x 1
当 0 x 1， f (x) 0，所以 f (x)单调递减，所以 f (x) f (0)，
即 x 2ln(1 x) 0 2ln1 0，所以 x 2ln(1 x) ln(1 x)2，
令 x 1 1 ，可得 ln(1 0.1)2 ln1.21，即 a b，
10 10
所以 c
7.D
如图，取线段 AB的中点D，连接CD，则CD AB，
由CP CA CB 2CP CD 2(CD DP) CD 2 |CD |2 ，
因直线 l经过点M (0, 4)，考虑临界情况，
当线段 AB中点D与点M 重合时（此时CM AB ），弦长 AB最小，此时CD最长，
为 |CD |max |CM | 4 3 1，（但此时直线 l与 x轴平行，点 P不存在）；
当线段 AB中点D与点C重合时，点 P与点O重合，CD最短为 0（此时符合题意）.
故CP CA CB 的范围为[0, 2) .
故选：D.
8.B
2 1
因为DO AB AC, R，DO AC，
3 2
2 1 DO AC AB AC AC 2 cbcos BAC 所以 b
2 0, R，
3 2 3 2
c2 b2 a2
从而 4cbcos BAC 3b2 ，即 4cb 3b2，
2cb
2 2
所以 c2 b2 4 3b b ，所以 c2 4，
2 2
1
所以 ABC的面积为 S ABC = bc sin BAC
1
= bc 1-cos 2 BAC
2 2
2
1 2 2 2
2 2 2 2
bc 2 bc 2 b c a 1 b c a b2c2
2 2bc
2 4
2
3b2
1 2 22 2 1 2 b 9b4 b c b 4
2 4 2 2 16
1 b4 4b2 1 1
2
b2 32 64 1 64 4 ，2 16 2 16 2
等号成立当且仅当b 4 2,c 2 5 ，
综上所述， ABC面积的最大值为 4.
故选：B.
9.BCD
A A U , 1A(x) 1 (x) 对于 ，由于 所以 A 1A(x) 1
同课章节目录