2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：圆的基本性质一
圆心角、圆周角、垂径定理的基本概念及其应用:
例1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
变式训练1.如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )
A．22° B．26° C．32° D．68°
变式训练2.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（ ）21教育网
A. B. C. D.
变式3.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A． 55° B．60° C．65° D．70°
变式4.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=( )2·1·c·n·j·y
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定【来源：21·世纪·教育·网】
变式5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
弧长与扇形面积：
例2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=（ ）
A．π B． 2π C． D． π
变式训练1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
变式训练2.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
变式训练3.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）2-1-c-n-j-y
变式训练4.如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为 21·cn·jy·com
正多边形与圆：
例3.如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是( ) 21·世纪*教育网
A. B. C. D. 2
变式训练1.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为( ) 21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
变式训练2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）A．30° B．35° C．45° D．60°
变式训练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=
变式训练4.已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是__________cm． 21cnjy.com
例4.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．www.21-cn-jy.com
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：圆的基本性质一答案
圆心角、圆周角、垂径定理的基本概念及其应用:
例1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
分析：利用垂径定理得出，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴，
∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．
变式训练1.如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )
A．22° B．26° C．32° D．68°
解析：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形
AOC求出∠OBC的度数，答案为：A
变式训练2.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，
且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（ ）
A. B. C. D.
解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA=, ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即，解得OC=，
∵AE⊥CD， , ∴, 故选B．
变式3.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A． 55° B．60° C．65° D．70°
变式4.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=( )21教育网
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定21cnjy.com
解：∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角，
所以它们相等，
变式5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=故选：B．
弧长与扇形面积：
例2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=（ ）
A．π B． 2π C． D． π
变式训练1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（ D ）21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
分析：根据弧长公式列式计算即可得解．
解：的长=．故选D．
变式训练2.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
分析：根据弧长的公式l=进行计算．
解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得 r=18，故选：C．
变式训练3.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）21·cn·jy·com
解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC, 故答案为：．
变式训练4.如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为 www.21-cn-jy.com
解：连接AC，
∵DC是⊙A的切线，∴AC⊥CD，
又∵AB=AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
又∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=45°，
∵的长为， ∴，解得：r=2，
∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACD=．
故答案为：．
正多边形与圆：
例3.如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是( ) 2·1·c·n·j·y
A. B. C. D. 2
解析：连接，与交于点.
则根据对称性质，经过圆心，
∴垂直 平分，.
不妨设正方形ABCD的边长为2，则.
∵是⊙O的直径，∴.
在中，，
.
在中，∵，∴.
易知是等腰直角三角形，∴.
又∵是等边三角形，∴.
∴. 故选C.
变式训练1.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为( ) 21·世纪*教育网
A. B. C. D.
解析：在正六边形中，我们连接OB、OC可以得到为
等边三角形，边长等于半径4。因为OM为边心距，
所以，所以，在边长为4的等边三角形中，边上的高。弧BC所对的圆心角为，由弧长计算公式： ，选D。
变式2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形
的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°.
变式训练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=
解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCE=∠A=50°． 故答案为50°．
变式训练4.已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是__________cm．
解析：如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB= ×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2，故答案为：2．
例4.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．
解析：（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，
（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所 以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，www-2-1-cnjy-com
（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的长．
解答： 解：（1）BE=FH．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，
∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠HEF=∠BAE，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS）问题， ∴BE=FH．
（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，
∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．
（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．
∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．
如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．
∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，
∴△CPE∽△FHE．
．
∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：圆的基本性质一作业答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
B
B
D
D
A
B
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
D
B
B
A
B
B
D
B
B
B
二．填空题：
21. 22. 答案不唯一，如∠A=∠C 23. 24. 点D在⊙C外
26. 27. 28. 29.
4 31. 32. 1 33. 34.
