【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 1随风现象与随机事件（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 1随风现象与随机事件
一、单选题
1．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥不对立的两个事件是（　　）
A．至少有1个黑球与都是红球
B．至少有1个黑球与都是黑球
C．至少有1个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
2．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（　　）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
3．甲盒中有200个螺杆，其中有 个 型的，乙盒中有240个螺母，其中有 个 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，不能配成 型螺栓的概率为 ，则恰好可配成 型螺栓的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．在抛掷一颗骰子的实验中，事件A表示“出现的点数不大于3”，事件B表示“出现的点数小于5”，则事件 （B的对立事件）发生的概率.（　　）
A． B． C． D．
5．下列正确命题的序号有（　　）
①若随机变量 ，且 ，则 .
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则 与 是互斥事件，也是对立事件.
③一只袋内装有 个白球， 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 个白球， .
④由一组样本数据 ， ，... 得到回归直线方程 ，那么直线 至少经过 ， ，... 中的一个点.
A．②③ B．①② C．③④ D．①④
6．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题，80%的可能答对问题，50%的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（　　）
A．问题 B．问题
C．问题和都可以 D．问题
二、多选题
7．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(　　)
A．
B．如果，那么
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
8．下列四个命题中是假命题的是（　　）
A．若复数z满足 ，则z是虚数
B．若直线的倾斜率为 ，则直线的倾斜角为
C．若， ，事件A，B相互独立和A，B相互互斥不能同时成立
D．若 ， ， ， 为锐角，则实数m的取值范围是
三、填空题
9．思考辨析，判断正误：
若事件，，两两互斥，则．　 　.
10．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 ，丙购买到冰墩墩的概率为 ，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为　 　．
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是　 　（写出所有正确结论的编号）．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关
12．甲、乙两人每次投篮命中的概率分别，甲、乙两人投中与否互不影响．现若两人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为　 　；若每人投篮两次，两人共投中三次的概率为　 　．
13．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是　 　.
14．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是　 　.
四、解答题
15．设人的某一特征(如眼睛的大小)是由他的一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
（1）1个孩子显露显性特征的概率是多少
（2）“该父母生的2个孩子中至少有1个显露显性特征”，这种说法正确吗
16．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
（1）若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
（2）若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
17．为减少新冠肺炎疫情传播风险，各地就春节期间新冠肺炎疫情防控工作发出了温馨提示，比如：提倡在外工作的双峰籍人员就地过节 返双人员请提前3天向目的地所在村（社区）或单位报备 对来自国外 高风险地区等人员要及时上报疫情防控指挥部等等.某社区严格把控进入小区的人员，对所有进入的人员都要进行体温测量，为了测温更快捷方便，使用电子体温计测量体温，但使用电子体温计测量体温可能会产生误差：对同一人而言，如果用电子体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为电子体温计“测温准确”；否则，我们认为电子体温计“测温失误”.在进入社区的人中随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下，用频率估计概率，解答下列问题：
序号 智能体温计 测温（℃） 水银体温计 测温（℃） 序号 智能体温计 测温（℃） 水银体温计 测温（℃）
01 36.6 36.6 11 36.3 36.2
02 36.6 36.5 12 36.7 36.7
03 36.5 36.7 13 36.2 36.2
04 36.5 36.5 14 35.4 35.4
05 36.5 36.4 15 35.2 35.3
06 36.4 36.4 16 35.6 35.6
07 36.2 36.2 17 37.2 37.0
08 36.3 36.4 18 36.8 36.8
09 36.5 36.5 19 36.6 36.6
10 36.3 36.4 20 36.7 36.7
（1）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（2）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；
（3）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3℃且不高于38℃时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.（注：如果这3人中至少有一人处于“低热”状态的概率大于0.95，则认定这3人中至少有一人处于“低热”状态；否则，不认定这3人中至少有一人处于“低热”状态）.
18．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
19．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
20．袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用 表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量 的概率分布列．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
2．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
4．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
5．【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用；简单计数与排列组合
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
7．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
8．【答案】B,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数的基本概念；互斥事件与对立事件；直线的倾斜角
9．【答案】错误
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
10．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
11．【答案】②④
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件；概率的应用
12．【答案】；
【知识点】互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；概率的应用
13．【答案】0.79
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
14．【答案】①③④
【知识点】利用不等式的性质比较大小；互斥事件与对立事件；概率的应用；类比推理
15．【答案】（1）解：一个孩子由显性基因决定的特征的概率为
（2）解：因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即两个孩子都具有rr基因的纯隐性特征，其概率为 ，所以两个孩子中至少有一个显性基因决定特征的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
16．【答案】（1）解：由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
（2）解：由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
17．【答案】（1）解：通过数据统计表可知：20人中有12人测温准确，
因此估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为：；
（2）解：由题意可知： X的可能取值为0，1，2，3，
由（1）可知：用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为：，那么不准确的概率为：，
所以，，
，，
X的分布列如下图：
P 0 1 2 3
X
；
（3）解：因为用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3℃，
所以由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态，说明至少有一个人测温准确，由（2）可知：其概率为：，
因此由上表中的数据不能认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
18．【答案】（1）解：不含编号为3的卡片的概率 ，故
（2）解：随机变量X的可能取值为： .
； ；
； .
分布列为：
1 2 3 4
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；简单计数与排列组合
19．【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
；
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）解：由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
4.5 3.6
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
20．【答案】解：（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件 ，∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有 种，其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有 ，∴ ．解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为 ，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为 ，则事件 与事件 是对立事件．∵ ，∴ ．（Ⅱ）解：由题意， 所有可能的取值为：2，3，4，5，6． ， ， ， ， ．故随机变量 的概率分布为
【知识点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；排列、组合的实际应用
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