课件18张PPT。函数的单调性与导数⑴数形变量变化的快慢一、知识回顾：函数单调性思考： 刻画函数变化趋势的是否还有其他…函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；增函数减函数G = ( a , b )导数与函数的单调性有什么关系？讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）二、问题探究解：取x1
f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当20， f(x1) 那么 y=f(x)单调递增。综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。函数y=x2－4x＋3的图象：2单增区间：（２，+∞）.单减区间：(－∞，２).问题探究2.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象 函数在区间
（－∞，2）上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负；总结: 在区间（2，+∞）上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正. 一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 若f(x1) 内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.构建数学基本求导公式:忆一忆例1、应用导数讨论函数y=x2－4x＋3的
单调性.四、数学应用例2、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，
则f(x)的单增区间为（－∞，0）和
（2，＋∞）.
再令6x2-12x<0,解得0则f(x)的单减区间(0,2).注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.例3、 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]
的单调区间.五、课堂练习应用导数求函数的单调区间(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。增变式：求函数 的单调区间。2、求函数 的单调区间。已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致形状。应用导数信息确定函数大致图象总结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.课件13张PPT。函数的单调性与导数⑵一、知识回顾： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.一、知识回顾：注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.一、知识回顾：根据导数确定函数的单调性的步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.二、数学应用例1 求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为x>0, 当lnx+1>0时，解得x> .则f(x)的
单增区间是( ,+∞).当lnx+1<0时，解得0的单减区间是（0， ).例2 判定函数y=ex-x+1的单调区间.解: f’(x) =ex-1
当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞).
当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).高考尝试B三、课堂练习1、求函数 的单调区间。2、求函数 的单调区间.4、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
单调递增函数 （B）单调递减函数
(C)部份单调增，部分单调减
(D) 单调性不能确定 3、函数y=a(x3-x)的减区间为
a的取值范围为( )
(A)a>0 (B)–1(C)a>1 (D) 0右图所示,则 的图象最有可能的是( )(A)(B)(C)(D)C 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.四、课堂小结注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.根据导数确定函数的单调性的步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间. 注：函数的单调性只与导函数的正负有关，而与导函数的单调性无关.课件21张PPT。函数的 和、差、积、商的导数一、复习回顾1、基本求导公式:注意:关于 是两个不同的函数,例如:2、由定义求导数（三步法）步骤:结论： 猜想：3．巩固练习：利用导数定义求
的导数. 证明猜想证明：令 二、知识新授 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2:三、数学应用法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：二、知识新授三、数学应用法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 二、知识新授三、数学应用练 习解：法二：法一：例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切线的方程.练 习1．求 的导数． 2．求 的导数． 四、课堂小结：函数的和、差、积、商的导数： 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2:法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 课后作业：课本 P26 习题1.2
No.1⑵、⑷；
2⑵、⑶；
4、5、8. 课件17张PPT。函数的最大值与最小值一、知识回顾： 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值. 1、函数极值的定义1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注 意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
是极大值点， 是极小值点，而 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.2、求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)注意:如果函数f(x)在x0处取得极值,就意味着二、新课讲授1、最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值；最值是相对函数定义域整体而言的. 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.2、如何求函数的最值?(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数;如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值；
(极大值或极小值)3、利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)． 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值 解: f′(x)=2x- 4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2-+3112故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2． 三、数学应用 函数 ，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12A练 习例2、解：四、课堂练习课本 P33 练习
No.1、2、3. 五、课堂小结1、最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值；最值是相对函数定义域整体而言的. 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.2、求函数最值的常用方法：(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数．如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.3、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．课件19张PPT。函数的极大值与极小值一、知识回顾： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间
如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.一、知识回顾：根据导数确定函数的单调性的步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.一、知识回顾：注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.二、构建数学三、新课讲授 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值. （一）、函数极值的定义1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注 意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
是极大值点， 是极小值点，而 （二）、极值与导数的关系极大值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系（三）、导数的应用例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.解：(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.小结：求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)解：当x变化时，y′，y的变化情况如下表例２：求 的极值令y′=0，解得x1=－2，x2=2∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=
当x=2时，y有极小值且y极小值=例3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( )
A.y=－x3 B.y=x2
C.y=x2－x D.y=1/x 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。B四、课堂练习1、下列说法正确的是( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比
极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是
极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ ，
则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值C∴a=2.2、函数 在
处具有极值，求a的值分析：f(x)在 处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值.解：∵ ，
∴
3、y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值．解：∴因为在x=1和x=2处,导数为0五、课堂小结(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根；(x为极值点.)课件21张PPT。2019/3/121定积分2019/3/122微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？知识回顾：2019/3/123用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以直代曲作和逼近2019/3/124求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. (4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1xixi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x2019/3/125如果当n?+∞时，Sn 就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近.2019/3/126定积分的定义:一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: .2019/3/127定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x)dx —叫做被积表达式，
f(x) ——叫做被积函数,
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。积分下限积分上限2019/3/128 按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 (3) 设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a, b]内所做的功W为2019/3/129注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关2019/3/12101.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.2. 中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______2-2[-2,2]3.定积分 =__________.82019/3/1211思考: 函数在区间[a,b]上的定积分 能否为负的?定积分 定积分 =__________.2019/3/1212定积分的几何意义. 曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积2019/3/1213当函数 f (x) ? 0 ， x?[a, b] 时
定积分 几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 2019/3/1214用定积分表示下列阴影部分面积 S=______;S=______;S=______;2019/3/1215当函数 f (x)在 x?[a, b] 有正有负时, 定积分 几何意义就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号) 2019/3/1216定积分的几何意义： 在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).2019/3/1217 例：计算下列定积分.
求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。2019/3/1218 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 2019/3/1219 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3. 2019/3/1220小结:１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．２．定积分的思想和方法：求近似以直（不变）代曲（变）取逼近3.定积分的几何意义及简单应用2019/3/1221 1.曲边梯形面积问题;
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义……
它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值问题情境: 课件18张PPT。导数在实际生活中的应用一、知识回顾：1、求函数最值的常用方法：(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数．2、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．二、新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用2.物理方面的应用 3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（答）解答应用题的基本流程三、新课讲授引例 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为：
，求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入答：产量为84时，利润L最大。令 ，即 ，求得唯一的极值点例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？1.几何方面的应用： 因此，16000是最大值。
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3 .解：设箱底边长为xcm，则箱高 cm，
得箱子容积令 ，解得 x=0（舍去），x=40，并求得：V(40)=16000解：设圆柱的高为h，底半径为R，则
表面积例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 ，则令 解得， ，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即: h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值例3 有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的
岸边A处，乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB处，
乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸
边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的
水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C
在何处才能使水管费用最省？CX解：设供水站C建在AD间距D点xkm处能使水管费
用最省，设水管费用为y元 .则CX又0≤ ≤50，答：供水站C建在AD间距D点30km处能使水管费用最省.高考链接（2006年江苏卷） 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高
为１m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为３
m的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点O到底面
中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1帐篷的体积为（单位：m3）
V（x）=解:设OO1为x m，则1＜x＜4 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 于是底面正六形的面积为（单位：m2）求导数令V’（x）=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2
当 1＜x＜2 时 V’（x）＞ 0 ，V（x）为增函数
当 2＜x＜4 时 V’（x）＜0 V（x） 为减函数
所以 当 x=2时V（x）最大
答：当OO1为2m时帐篷的体积最大.五、课堂小结1、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值;
(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（答）解答应用题的基本流程课件23张PPT。导数的复习与小结本
章
知
识
结
构定积分知识梳理：Ⅰ、导数的概念 Ⅱ、几种常见函数的导数公式 我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(x)．Ⅲ、求导法则 Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义 Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性 2．求函数的极值
3．求函数的最值 4. 定积分近几年该知识点的考查情况 高考命题结构 主要题型（1）2001年高考第8题关于极值问题，第19题第（2）问证明函数的单调性；2002年高考第20题考查导数的几何意义；2003年高考的第7题与第19题，分别考查导数几何意义与函数的单调性。 对导数的考查客观题为一个，与导数的知识有关的解答题也为一个。1、以填空题考查导数的概念，求函数的导数，求函数的极、最值。
2、与导数的几何意义相结合的函数综合问题，利用导数证明函数的单调性或求函数的单调区间，多为中档题。
3、利用导数求实际问题中的最值问题，为中档偏难题 例题讲解：例2：用公式法求下列导数：
（1）y= （3）y=ln(x+sinx)
（2）y= （4）y=
解(1)y′=
(2)
(3)
(4)
例3、已知f (x) =2x2+3x f ?(1), f ?(0)=
解: 由已知得: f ?(x)=4x+3 f ?(1),
∴ f ?(1)=4+3 f ?(1),
∴ f ?(1)=-2
∴ f ?(0)= 4×0+3 f ?(1)=3×(-2)=-6-6例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1 处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。 分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f’(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间 。略解：
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞）
单间区间为（-1/3，1）练习巩固1： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极值为-4 （1）、求a、b、c的值 （2）、求函数的单调区间答案（1）a=-3,b=0,c=0
（2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)解：由已知,函数f (x)过原点(0,0),
∴ f (0) =c=0
∵ f ?(x)=3x2+2ax+b
且函数f (x)与y=0在原点相切，
∴ f ?(0)=b=0
即f (x)=x3+ax2
由f ?(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
由已知
即
解得a=-3 例5 若函数 在区间（1，4）内为
减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
解：函数 的导数 令 ，解得 依题意应有 当
所以 解得 故a的取值范围是[5，7]. 例6 已知 在R上是减函数，求a的取值
范围.解：函数f(x)的导数： （Ⅰ）当 （ ）时， f(x)是减函数. 所以，当 是减函数； （II）当 时， =（Ⅲ）当 时，在R上存在一个区间，其上有 所以，当 时，函数 不是减函数.综上，所求a的取值范围是（ 例7 如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.解：（Ⅰ）由 得
交点O、A的坐标分别是（0，0），
（1，1）.
即 （Ⅱ） 令 解得
当 从而 在区间 上是增函数； 当 从而 在区间 上
是减函数； 所以当 时， 有最大值为
例8 已知函数 在 处取得极值。
(1)讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；
(2)过点 作曲线 的切线，求此切线方程。解：依题意， f(x)在 上是减函数。f(x)在 上是增函数，所以， 是极大值；
是极小值。（2）曲线方程为 ，点 不在曲线上 .设切点为 ，则点M的坐标满足因为故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有所以，切点为 ，切线方程为例9解：例10 已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0 00 时， 当 x ≥ 0 时， 知 f(x)单调递减， 而 x=0 时， 故当 x>0 时， 综上得 原不等式成立.课堂小结：利用导数的几何意义求切线的斜率；
求函数的单调区间，只要解不等式f(x) ＞0或f(x)＜0即可；
求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求f `(x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；
函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b）内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。导数的应用主要表现在：课件21张PPT。常见函数的导数一、复习引入1.导数的几何意义：
曲线在某点处的切线的斜率;(瞬时速度或瞬时加速度)导数的物理意义：
物体在某一时刻的瞬时度。PQoxyy=f(x)割线切线T2、如何求切线的斜率? 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若△x无限趋近于零时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处
的导数，记作f/(x0)．3、导数：函数在某点处的瞬时变化率4、由定义求导数（三步法）步骤:二、知识新授几种常见函数的导数:公式一:(kx+b)/=k－20－2110通过以上运算我们能得到什么结论? 公式二:通过以上运算我们能得到什么结论? 1三、知识应用例1：求下列函数的导数：公式三:公式四:解：例2: 求下列函数的导数： 解：解：解：例3:公式五:对数函数的导数公式六:指数函数的导数四、例题讲解1:求过曲线y=cosx上点P( ) 的切线的直线方程.2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),
则有:
y0=3x0+1 ①, y0=ax03 ②, 3ax02=3. ③由①,②得3x0+1=ax03, 由③得ax02=1,
代入上式可得:
3x0+1=x0, x0=-1/2.所以a?(-1/2)2=1,a=4.拓展研究四、课堂小结：公式五:对数函数的导数公式六:指数函数的导数课件18张PPT。平均变化率 甲和乙投入相同资金经营某商品，甲用1年时间挣到2万元， 乙用5个月时间挣到1万元，甲、 乙两人谁的经营成果更好？问题情境一：乙的资金增长得更快！问题情境二： 如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？ 开始时，h变化得快，后来h变化得慢。MNMN某市某年3月和4月的某几天日最高气温记载.温差： 15.1℃温差： 14.8℃问题情境三：3.5℃18.6℃33.4℃前者变化得慢，后者变化得快。 如何用数学模型刻画变量变化的快与慢？建构数学 对比两个图形，变量变化的快慢与曲线的走势有关吗？ 如何量化曲线的陡峭程度？建构数学(以3月18日作为第1天)平均变化率 一般地，函数 在区间上 的平均变化率为 建构数学平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．建构数学例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。知识运用解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为你能说出这两个平均变化率的实际意义吗？ 比较它们的实际意义，你能从中得出什么结论？ 你还有其它的方法得出这样的结论吗？例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积 （单位： ），
计算第一个10s内V的平均变化率。(其中e-1≈0.3678)知识运用 第一个10s内V的平均
变化率为-0.3161cm3/s 第二个10s内V的平均
变化率为-0.1162cm3/s例3、已知函数 分
别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 及
的平均变化率。 思考： y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？ 知识运用例4 已知函数 ，分别计算 在下
列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]。 432.12.001（5）[0.9，1]；
（6）[0.99，1]；
（7）[0.999，1].1.991.91.999知识运用 分别观察两组区间和其对应的平均变化率，
你能得出什么规律吗？ 请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。知识运用观察这三个数据你有什么发现？课堂小结 今天这节课你学到了
哪些知识？课堂小结平均变化率曲线陡峭数形变量变化的快慢 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．xy13O课件19张PPT。2019/3/121微积分基本定理2019/3/122微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？知识回顾：2019/3/123用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以直代曲作和逼近2019/3/124求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. (4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1xixi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x2019/3/125定积分的定义:一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: .2019/3/126 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?问题情景(分割---以直代曲----求和------逼近)2019/3/127变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为这段路程可表示为问题思考另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 2019/3/128 对于一般函数，设是否也有 若上式成立，的原函数来计算我们就找到了用2019/3/129定理 （微积分基本定理）牛顿—莱布尼茨公式记:则:f(x)是F(x)的导函数F(x) 是f(x)的原函数2019/3/1210解:(1)取解:(2)取例 计算下列定积分 2019/3/1211解:(3)∵例 计算下列定积分 2019/3/12122019/3/1213解（１）∵例 计算下列定积分 2019/3/1214例 ．计算下列定积分 解（1）∵012019/3/1215解002019/3/1216解2019/3/1217 练习： 29/619e2-e+12019/3/1218 练习： 2019/3/1219微积分基本公式小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．课件13张PPT。2019/3/121 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。情景设计：面积 但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？ 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。2019/3/122如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？2019/3/123楚水实验学校高二数学备课组曲边梯形的面积2019/3/124微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线2019/3/125曲边梯形的面积直线x?0、x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。2019/3/126A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为2019/3/127分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程2019/3/128（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作2019/3/129（2） 以直代曲（3）作和2019/3/1210（4）逼近分割以曲代直作和逼近2019/3/1211 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值演示2019/3/1212例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实际意义？例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A为a处移到距A为b 处，求库仑力对电荷B所做的功。2019/3/1213课后作业：课本 P46 练习
No.1、2.
思考：用方案3、方案4解决
曲边梯形的面积问题. 课件16张PPT。曲线上一点处的切线平均变化率近似的刻画了曲线在某个区间上的变化趋势●如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势 ？曲面平 面直 线曲 线直线l的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势.●这对研究曲线在一点处的变化趋势有何启发？ 在点P附近用直线l代替曲线，即很小范围内以直代曲；曲线在点P附近逼近一条确定的直线l；
直线l是经过点P的所有直线中，最逼近曲线的一条直线.●将点P附近的曲线放大再放大，会有什么发现？ 直线l的斜率 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.yOxPQ●如何求出点P处切线的斜率？用割线斜率逼近切线斜率●如何作出直线l？试说明作的过程．试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．●如何用割线斜率逼近切线斜率？Q试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．●如何用割线斜率逼近切线斜率？Qx 试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．当△x无限趋近于0时，
割 线 逼 近 切 线，
割线斜率逼近切线斜率找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率 (A)(1)、(4) (B)(2)、(4)
(C)(3)、(4) (D)(1)、(2)、(3)、(4)( ) 课堂练习2：
（1）运用割线逼近切线的方法，分别求曲线y=x2在x=0,x=-2,x=3处的切线的斜率。课 堂 小 结
1、数学思想方法：局部以直代曲、割线逼近切线；
2、理解曲线在一点处的切线斜率的定义，会根据定义求曲线在一点处的切线方程。作 业
1、书Ｐ16 习题1.1 7 11谢谢！课件20张PPT。瞬时速度 瞬时变化率 一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率的关系；
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ABxAxByByAy=f(x)PQ割线切线T当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动。当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.如图,已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.412x-3y-16=0巩固练习：二.瞬时速度已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δt)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:新课教学在时间段 内，物体的平均速度为:平均速度：
反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt?0 时平均速度:新课教学解:(1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 三、瞬时加速度
已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts时的速度为v(t)=t2+3，求当t=t0时轿车的瞬时加速度 a.瞬时加速度的概念吗？能给出运动物体的瞬时加速度小结：
1、瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率。
2、瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。
三.导数的概念 我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(x)．由定义求导数（三步法）步骤:例1.求y=x2+2在点x=1处的导数解：变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数;
(2)求函数 在x=2处的导数.四、函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值课堂小结：如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当 Δt?0 时平均速度:1、瞬时速度2、瞬时加速度3、导数的概念 我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(x)．4、导函数与导数（值）的关系 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值课件19张PPT。简单复合函数 的导数基本求导公式:知识回顾：根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2:法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 与 复合而成
的函数一般形式是
，其中u称为中间变量．目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如f（ax+b）的复合函数求函数 的导数 。方法一：问题探究： 方法二：看作是函数 和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得 从而有 将函数； 问题探究： 考察函数 的导数 。另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得 从而有 看作是函数 和函数将函数分解求导相乘回代建构数学对于一般的复合函数，结论也成立 。
复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即一般地，我们有u=ax+b时，有若 y=f(u),u=ax+b，则复合函数求导的基本步骤是：(1)分解
(2)求导
(3)相乘
(4)回代 数学运用试说明下列函数是怎样复合而成的数学运用 求下列函数的导数：例写出由下列函数复合而成的函数,并
求它们的导数。
⑴，； ⑵，．
解：⑴ ⑵1、求下列函数的导数：课堂练习：2、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。小结 ：
⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
⑵复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代 课件13张PPT。导数在实际生活中的应用⑵一、知识回顾：1、求函数最值的常用方法：(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数．2、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（答）解答应用题的基本流程二、新课讲授2.物理方面的应用：例1 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为
r，电动势为ε，外电阻Ｒ为多大时，才能使电
功率最大？最大电功率是多少?rεR例2 强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们间
的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB
上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上
述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离
的平方成反比）.ABPX3-X例3 如图：质点P在半径为10cm的圆上逆时针做
匀速圆周运动，角速度为2rad/s,设A（10，0）
为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的
速度.N角的弧度数
为___2t3.经济学中的应用：例4 生产某塑料管的利润函数为：
P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n为工
厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n)的单位为
元。
（1）求边际利润函数P’(n);
（2）求使P’(n)=0的n值；
（3）解释(2)中的n值的实际意义。例5 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成
本函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为收
益函数，记为R(x); R(x)- C(x)称为利润函数，
记为P(x).
（1）设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，生产多
少单位产品时，边际成本C’(x) 最低?
（2）设C(x)=50x+10000，产品的单价p =100-
0.01x，怎样定价可使利润最大？
例6 某产品制造过程中，次品数y依赖于日产量
x，其函数关系为y=x/(101-x) (x≤100)；又
该产品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就
损失a/3元．为获取该产品的最大利润，日产量
应为多少？四、课堂小结1、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值;
(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（答）2、解答应用题的基本流程3、导数在实际生活中的应用：1).几何方面的应用2).物理方面的应用 3).经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)