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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学案
（一）学习目标：
1．掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．
2．培养分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用
学习难点：一元二次方程根的判别式的推导及应用
阅读课本，识记知识：
一、一元二次方程的根的判别式
1.一元二次方程的根的情况由来确定，因此叫作一元二次方程的根的判别式，一般用表示，即=。
2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
一般地方程
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程无实数根；
二、根与系数的关系
1.如果方程的两个根为，那么，，这个关系也称为韦达定理。
2.根与系数的关系在运用时必须要注意：
（1）方程必须是一元二次方程；
（2）方程有实数根，即；
3.如果方程的两个根是，则，。
4.一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
例．已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用一元二次方程的解的含义可判断B，利用一元二次方程根与系数的关系可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，故B符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．
选择题
1．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答此题的关键．
由根与系数的关系得到，，再把式子变形代入求值即可．
【详解】解：∵，分别是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选B．
2．下列一元二次方程中，两根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】、两根之和等于，不合题意；
、两根之和等于，符合题意；
、两根之和等于，不合题意；
、两根之和等于，不合题意；
故选：．
3．若是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，根据即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
，
故选：A
4．已知方程 的两根分别为 和 ，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根于系数的关系．根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
5．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
故选：C．
6．已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
则＝＝．
故选：D．
7．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，通过得到的关系，将代数式变形成已知式子的形式，是解答本题的关键．
根据一元二次二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，得到，，又，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
8．若方程的一个根为3，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确使用是关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵方程的一个根是3，
∴，
故选：C．
9．是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根满足，是解答本题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根满足，是关于的一元二次方程的一个根，设另一根为，
∴，
解得：，
故选：B．
10．对于一元二次方程，下列说法错误的是( )
A．若，则方程必有一根为；
B．若是一元二次方程的根，则
C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根
D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意；
是一元二次方程的根，
，
，
，故B说法正确，不符合题意；
方程两根为，且满足，
，，
，，
方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
填空题
11．若是方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案为：．
12．若关于x的一元二次方程有一个根是，则此方程的另一个根是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，首先设关于x的一元二次方程的另一个实数根是，然后根据根与系数的关系，即可得，继而求得答案．
【详解】解：设方程的另一个根是α，
则，
解得．
故答案为：4．
13．若一元二次方程两根分别为，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，，再通分即可得到答案．
【详解】解：根据题意得到，，
故．
故答案为：．
14．设，是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．关于x的一元二次方程的两个根是，若，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：是解题的关键．
直接运用一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，若，
∴，即．
故答案为4．
三、解答题
16．完成下面解答．已知a，b是方程的两根，求的值．
解∶∵a，b是方程的两根，∴________，________．
又∵______，∴_____．
因此， ______．
【答案】，，3，，，
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，．再求出．代入求值即可，此题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键．
【详解】解∶∵a，b是方程的两根，
∴，．
又∵，
∴．
因此，．
故答案为：，，3，，，
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得，由此即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入得出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)当 时，求出方程的解．
(2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值．
【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3)8．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握是方程的两根时，．
（1）将代入方程，再解一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式得出，据此可得答案；
（3）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案．
【详解】（1）解：当 时，得方程，
解得：；
（2）证明：
，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：由根与系数的关系得出
由得，
解得．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1．掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．
2．培养分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程根的判别式的内容及应用
学习难点：一元二次方程根的判别式的推导及应用
阅读课本，识记知识：
一、一元二次方程的根的判别式
1.一元二次方程的根的情况由来确定，因此叫作一元二次方程的根的判别式，一般用表示，即=。
2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
一般地方程
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程无实数根；
二、根与系数的关系
1.如果方程的两个根为，那么，，这个关系也称为韦达定理。
2.根与系数的关系在运用时必须要注意：
（1）方程必须是一元二次方程；
（2）方程有实数根，即；
3.如果方程的两个根是，则，。
4.一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
例．已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用一元二次方程的解的含义可判断B，利用一元二次方程根与系数的关系可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，故B符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．
选择题
1．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
2．下列一元二次方程中，两根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知方程 的两根分别为 和 ，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若方程的一个根为3，则方程的另一个根是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．5 B． C．4 D．
10．对于一元二次方程，下列说法错误的是( )
A．若，则方程必有一根为；
B．若是一元二次方程的根，则
C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根
D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
填空题
11．若是方程的两个根，则的值是 ．
12．若关于x的一元二次方程有一个根是，则此方程的另一个根是 ．
13．若一元二次方程两根分别为，，则 ．
14．设，是方程的两根，则 ．
15．关于x的一元二次方程的两个根是，若，则m的值是 ．
三、解答题
16．完成下面解答．已知a，b是方程的两根，求的值．
解∶∵a，b是方程的两根，∴________，________．
又∵______，∴_____．
因此， ______．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求的值．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)当 时，求出方程的解．
(2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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