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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 学案
（一）学习目标：
经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
3、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
（二）学习重难点：
学习重点：二次函数y=ax2的图像及性质
学习难点：二次函数y=ax2的图像及性质
阅读课本，识记知识：
1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 的性质：上加下减。
例1.[直观想象]定义运算“※”:a※b=如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4,则函数y=2※x的图象大致是( )
A B
C D
【答案】C y=2※x=当x>0时,图象是函数y=2x2图象的对称轴右侧的部分;当x≤0时,图象是y=-2x2图象的对称轴上及其左侧的部分,故选C.
例2.[逻辑推理]如图,在抛物线y=ax2上有点A(-2,4),过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,点C为抛物线上的动点(不与点A、B重合),连接CA,BC,取线段AC,BC的中点D,E,连接DE.当点C在抛物线上运动时,下列结论正确的为 .(填写序号即可)
①AB=4;②DE=2;③S△CAB=8;④S△CDE=2;⑤△ACB的周长为4+4.
【答案】①②
解析 ∵抛物线y=ax2关于y轴对称,AB∥x轴,∴点B与点A关于y轴对称,又∵点A的坐标为(-2,4),∴点B的坐标为(2,4),∴AB=4,故①正确;∵D,E分别为AC,BC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=AB=2,故②正确;∵点C为动点,∴点C到AB、DE的距离不确定,∴△CAB和△CDE的面积不确定,故③④错误;∵点C是动点,∴AC+BC不确定,∴△ACB的周长不确定,故⑤错误(当点C与点O重合时,△ACB的周长为4+4).
选择题
1.(2022河北石家庄赵县月考)下列抛物线中,开口向下的有( )
①y=-x2;②y=x2;③y=10x2;④y=-x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B ∵-<0,-<0,∴①y=-x2和④y=-x2的图象开口向下.
2.(2022四川南充蓬安期中)下列抛物线中,开口最窄的是( )
A.y=-x2 B.y=-2x2
C.y=3x2 D.y=5x2
【答案】D ∵|-1|<|-2|<|3|<|5|,∴函数y=5x2的图象的开口最窄.
3.下表是二次函数y=ax2的部分x,y的对应值:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
则下列说法不正确的是( )
A.图象开口向上
B.图象对称轴是y轴
C.图象顶点是原点
D.图象经过点(-3,6)
【答案】D 形如y=ax2(a≠0)的函数图象的对称轴都是y轴,顶点都是原点,从表格中数值的变化趋势可知,图象开口向上,∴选项A,B,C中说法都正确.把(1,1)代入y=ax2,得a=1,则函数为y=x2,把x=-3代入y=x2,得y=(-3)2=9,∴图象不经过点(-3,6).故选D.
4.(2021安徽六安金安期中)抛物线y=x2,y=-3x2,y=x2的共同性质是( )
A.开口都向上 B.都有最大值
C.对称轴都是x轴 D.顶点都是原点
【答案】D 抛物线y=x2的开口向上,有最小值,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0);抛物线y=
-3x2的开口向下,有最大值,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0);抛物线y=x2的开口向上,有最小值,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0),∴三条抛物线的共同性质是顶点都是原点.故选D.
5.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致为( )
A B
C D
【答案】D 一次函数y=kx+2的图象与y轴正半轴相交,故A、B错误;函数y=kx2的图象开口向上时,k>0,一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、三象限,故C错误,D符合.故选D.
6.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1
【答案】B ∵二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x增大而增大,∴a-1>0,∴a>1.
7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上,且x1A.y1【答案】A ∵二次函数y=ax2图象的对称轴为y轴,开口向下,∴当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.∵x18.二次函数y=x2,当1≤y≤9时,自变量x的取值范围是( )
A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3
C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或0【答案】 C ∵y=x2,∴该函数图象开口向上,对称轴为y轴,当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小.∵当y=1时,x=±1;当y=9时,x=±3,∴当1≤y≤9时,自变量x的取值范围是-3≤x≤-1或1≤x≤3.
9.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.≤a≤3 B.≤a≤1 C.≤a≤3 D.≤a≤1
【答案】A 当抛物线经过(1,3)时,a=3;当抛物线经过(3,1)时,a=.若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则≤a≤3,故选A.
填空题
10.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
【答案】向上；y轴；(0,0)；减小；增大
11.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
【答案】向下；y轴；(0,0)；增大；减小
12.如图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
【答案】k>1
三、解答题
13.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
【解答】解：在二次函数y=x2中，a=1＞0
因此当x=0时，y有最小值.
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
14.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
【答案】解：由题意得
解得
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.
因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
3、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
（二）学习重难点：
学习重点：二次函数y=ax2的图像及性质
学习难点：二次函数y=ax2的图像及性质
阅读课本，识记知识：
1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 的性质：上加下减。
例1.[直观想象]定义运算“※”:a※b=如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4,则函数y=2※x的图象大致是( )
A B
C D
【答案】C y=2※x=当x>0时,图象是函数y=2x2图象的对称轴右侧的部分;当x≤0时,图象是y=-2x2图象的对称轴上及其左侧的部分,故选C.
例2.[逻辑推理]如图,在抛物线y=ax2上有点A(-2,4),过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,点C为抛物线上的动点(不与点A、B重合),连接CA,BC,取线段AC,BC的中点D,E,连接DE.当点C在抛物线上运动时,下列结论正确的为 .(填写序号即可)
①AB=4;②DE=2;③S△CAB=8;④S△CDE=2;⑤△ACB的周长为4+4.
【答案】①②
解析 ∵抛物线y=ax2关于y轴对称,AB∥x轴,∴点B与点A关于y轴对称,又∵点A的坐标为(-2,4),∴点B的坐标为(2,4),∴AB=4,故①正确;∵D,E分别为AC,BC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=AB=2,故②正确;∵点C为动点,∴点C到AB、DE的距离不确定,∴△CAB和△CDE的面积不确定,故③④错误;∵点C是动点,∴AC+BC不确定,∴△ACB的周长不确定,故⑤错误(当点C与点O重合时,△ACB的周长为4+4).
选择题
1.下列抛物线中,开口向下的有( )
①y=-x2;②y=x2;③y=10x2;④y=-x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列抛物线中,开口最窄的是( )
A.y=-x2 B.y=-2x2
C.y=3x2 D.y=5x2
3.下表是二次函数y=ax2的部分x,y的对应值:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
则下列说法不正确的是( )
A.图象开口向上 B.图象对称轴是y轴
C.图象顶点是原点 D.图象经过点(-3,6)
4.抛物线y=x2,y=-3x2,y=x2的共同性质是( )
A.开口都向上 B.都有最大值
C.对称轴都是x轴 D.顶点都是原点
5.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致为( )
A B
C D
6.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1
7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上,且x1A.y18.二次函数y=x2,当1≤y≤9时,自变量x的取值范围是( )
A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3
C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或09.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.≤a≤3 B.≤a≤1 C.≤a≤3 D.≤a≤1
填空题
10.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
11.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
12.如图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
三、解答题
13.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
14.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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