中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 学案
（一）学习目标：
1、描点法画出二次函数y =ax2+bx+c的图象并掌握其性质。
2、在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3、体会合作学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：函数的性质
阅读课本，识记知识：
1.二次函数图象的画法：
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
3.二次函数解析式的表示方法
（1）一般式：（，，为常数，）；
（2）顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【例1】 抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴．
故选：C．
【例2】 如图，抛物线的对称轴是，则下列五个结论：①；②；③ ；④；⑤其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故①正确；
∵图象开口向下，
∴，
∵图象交轴于正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和之间，且开口向下，
∴时， ，故④正确；
由图象知:时， ，
∵，
∴，即，故⑤正确；
∴共个正确，
故选:.
选择题
1．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；
②；
③；
④（为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系、平方差公式等知识，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由与的关系及时可判断②；利用，根据时，时可判断③；由时取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，故②不正确；
∵，
且，，
∴，故③不正确；
∵时，为最小值，
∴，故④正确．
综上所述，结论正确的有①④．
故选：A．
2．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
3．已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图像和一次函数图像的关系，根据一次函数经过的象限判断字母的范围再根据字母的范围得到二次函数的图像．
【详解】解：直线经过第一、三、四象限，
故二次函数开口向上，对称轴在正半轴，且经过原点．
故选B．
4．若二次函数的图象经过三点，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【详解】解：二次函数的解析式为，
函数图象开口向下，对称轴为，
，，到对称轴的距离分别为：，，．
函数图象开口向下，
图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，
．
故选B．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长然后求得点坐标，继而求得直线的解析式，最后由抛物线经过点C，且顶点在直线上，求得答案
【详解】
四边形是菱形，
设直线的解析式为∶，
，
解得：，
直线的解析式为∶，
抛物线经过点，
，
顶点为∶，
顶点在直线上，
．
故选：B．
6．已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 3 …
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为
C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】将代入得：
解得：
∴抛物线开口向上，选项A错误，
将代入得
∴C错误，
∵抛物线经过，
∴抛物线对称轴为直线，
将代入得
∴函数最小值为，选项B错误，
∵抛物线对称轴为直线，
∴时，随增大而减小，选项D正确．
故选：D．
7．把抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为，
故选：C．
8．二次函数的图象上有两点， ，则a，b的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析判断出二次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：对于二次函数，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
故选:B．
9．抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求出函数顶点坐标即可判断出定点所在位置．
【详解】解：抛物线的顶点为，在y轴上，
故选D．
10．判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数在坐标平面上的图形有最高点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，理解二次函数系数与图象的关系是解题的关键．将二次函数化为一般形式，使其二次项系数为负数即可．
【详解】解：，
若使此二次函数图形有最高点，则图形的开口向下，即项系数为负数，
∴，
∴，
故选：A．
填空题
11．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移规律为：上加下减，左加右减是解题的关键．
根据上加下减，左加右减进行求解作答即可．
【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是，
故答案为：．
12．二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】解： 由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①符合题意；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②不符合题意；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③符合题意；
∵，，
∴，
又，
∴，故④不符合题意；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤不符合题意．
故答案为：①③．
13．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可．
【详解】解：把，代入，得：，
∴，
把，代入，得：；
故答案为：．
14．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是，
故答案为：．
15．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为，
∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确；
由函数图象可知，没有最大值，故②错误；
由函数图象可知，当，y随x增大而增大，
∴当时，，故③正确；
由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题
16．如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为．
(1)当时，______．
(2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
(3)当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)2或
【分析】本题考查了二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题．熟练掌握二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题是解题的关键．
（1）由题意知，当时，，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动；分当时，当时，两种情况求解，然后作答即可；
（3）由题意得，由直线把分成面积比为两部分，可知分当时，当时，两种情况求解：由当时，；可知该面积解析式不满足要求；分①当时，；②当时，；计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知，当时，，，
∴，
故答案为：2；
（2）解：由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动；
当时，，，；
当时，，，；
∴；
（3）解：由题意得，
∵直线把分成面积比为两部分，
∴分当时，当时，两种情况求解：
当时，不满足要求，舍去；
①当时，，
解得，或（舍去）；
②当时，，
解得，或（舍去）；
综上所述，t的值为2或．
17．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
(1)求、的值；
(2)当时，，则的取值范围是____________________；
(3)当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
(4)点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或2
(4)当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据二次函数的顶点列式即可解答；
（2）根据二次函数图像的性质即可解答；
（3）由题意可得点P的坐标为，再确定时x的值，然后分和两种情况解答即可；
（4）设矩形为，然后确定，；假设点M在抛物线上，求得m的值，然后结合函数图像即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为为，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
（3）解：∵点的横坐标为，
∴,
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，
如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数），经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若随的增大而减小，则的取值范围为__________；
(3)若该函数图象上的点，，当时，直接写出的取值范围为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的相关概念和性质．注意数形结合思想．
（1）把点代入即可求解；
（2）将抛物线由一般式化为顶点式即可知顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口方向即可求解；
（3）将点代入即可得，可得，令求得结合由抛物线开口方向即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点
解得∶，
故抛物线的解析式为；
（2）
顶点坐标为，对称轴为直线．
抛物线开口方向向上，
当时，函数值随的增大而减小，
（3）在抛物线上，
，
，
，
令即，
解得：，
抛物线开口方向向上，
时，或．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 学案
（一）学习目标：
1、描点法画出二次函数y =ax2+bx+c的图象并掌握其性质。
2、在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3、体会合作学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：函数的性质
阅读课本，识记知识：
1.二次函数图象的画法：
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
3.二次函数解析式的表示方法
（1）一般式：（，，为常数，）；
（2）顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【例1】 抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴．
故选：C．
【例2】 如图，抛物线的对称轴是，则下列五个结论：①；②；③ ；④；⑤其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故①正确；
∵图象开口向下，
∴，
∵图象交轴于正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，故③正确；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和之间，且开口向下，
∴时， ，故④正确；
由图象知:时， ，
∵，
∴，即，故⑤正确；
∴共个正确，
故选:.
选择题
1．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；
②；
③；
④（为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
2．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线经过第一、三、四象限，则抛物线可能是下列中的（ ）
A． B．
C． D．
4．若二次函数的图象经过三点，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 3 …
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为
C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小
7．把抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数的图象上有两点， ，则a，b的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
10．判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数在坐标平面上的图形有最高点（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
12．二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
13．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ．
14．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
15．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为．
(1)当时，______．
(2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
(3)当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值．
17．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
(1)求、的值；
(2)当时，，则的取值范围是____________________；
(3)当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
(4)点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数），经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若随的增大而减小，则的取值范围为__________；
(3)若该函数图象上的点，，当时，直接写出的取值范围为__________．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
