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22.2 二次函数与一元二次方程 学案
（一）学习目标：
通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想
通过对生活实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的知识解决实际问题
3、通过解决实际问题，体会数学加持，从而提高学生学习数学知识兴趣
（二）学习重难点：
学习重点：运用函数知识解决实际问题
学习难点：把实际问题转化成函数关系
阅读课本，识记知识：
1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
【例1】 关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义；
分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，可得，求出和，再根据确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可．
【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故选：D．
【例2】 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象判断①，点的位置，判断②，对称轴判断③，根与系数的关系判断④．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于负半轴，
∴，，；
∴，故①正确；
当时，，
∴，
∵，
∴
由图象可知，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③错误；
∵有一个根为，设另一个根为，
则：，
∴，故④正确；
综上：正确的是①②④．
故选A．
选择题
1．如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题；
结合函数图象，利用二次函数的对称性，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．
【详解】二次函数的图象经过点A，B，C，由此可知，抛物线开口向下，所以①正确；
若当时，取最大值，则由于点和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，图中点A和点C的纵坐标相等，所以②正确；
当时，二次函数的图象与有两个交点，则关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；所以③是正确的；
直线经过点A，B，当时，的取值范围是或，从而④错误；
故选：B．
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点坐标．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．当时，，然后作答即可．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故选：B．
3．已知二次函数的图象与x轴最多有一个公共点，现有三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴的左侧；②关于x的方程无实数根；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据的符号判断①；根据抛物线与x轴交点情况及开口方向判断②；根据时对应的函数值判断③．
【详解】解：，
，
抛物线的对称轴：直线在y轴的左侧，故①正确；
的图象与x轴最多有一个公共点，
对于任意的x，都有，
，
关于x的方程无实数根，故②正确；
的图象与x轴最多有一个公共点，，
对于任意的x，，
令，得，故③正确；
综上可知，正确的有①②③．
故选D．
4．将7个分别标有数字，，，0，1，2，3的小球放到一个不透明的袋子里，它们大小相同，随机摸取一个小球将其标记的数字记为m，则使得二次函数与x轴有交点，且关于x的分式方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题、分式方程、简单的概率计算，根据抛物线与x轴有交点，计算出，根据分式方程有解，计算出，再在中找出满足的数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：与x轴有交点，
∴，
解得：，
去分母得：
∴，
∵关于x的分式方程有解，
∴且
∴且，
在，，，0，1，2，3中，满足且有：，
共5个，
∴随机摸取一个小球将其标记的数字记为m，则使得二次函数与x轴有交点，且关于x的分式方程有解的概率为，
故选：B．
5．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①；②；③；④；⑤
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点，
∴，
，
，
，
∴，故①正确，
∵抛物线对称轴，经过点，
∴和关于对称轴对称，
时，，
∴，故②正确，
∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴，
抛物线与x轴的另外一个交点为，
时，，
，
，
，即，故③错误，
抛物线与x轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故④正确，
，
，故⑤正确，
故正确的有4个，
故选：C．
6．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上；
B．抛物线的对称轴是直线；
C．当时，y随x的增大而减小；
D．抛物线与y轴的交点坐标为．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是将二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的图像和性质．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的开口向下，抛物线的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C不符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项D符合题意．
故选：D．
7．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围．
【详解】解：时，；
时，，
∴当时，的值可以等于0，
∴方程的一个解的范围是．
故选：B．
8．如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且，与y轴相交于点E，过点E的直线平行于x轴，与抛物线相交于P，Q两点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出三点的坐标，进一步可得点的坐标；再利用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标，从而可得点的坐标，即可求解．
【详解】解：令，则，
令，则，解得：，
∴，
∵，
令，则，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴，
∵过点E的直线平行于x轴，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及抛物线上点的坐标，解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
9．已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为，
，
故选D．
10．下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．
【详解】观察图表的，得与零的距离最小，
方程 的近似根的是：
故选B．
填空题
11．抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性即可求解.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
根据对称性，则点，
故答案为：.
12．小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与方程的关系，求得函数的顶点坐标，然后结合图像即可求解．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为
∴与直线有3个交点，
观察图像，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是为或，
故答案为：或．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接，．
（1）的度数是 ；
（2）若点P是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】 90 /
【分析】本题考查了二次函数的综合题，抛物线与坐标轴的交点，二次函数求最值：
（1）分别求出点A、B、C的坐标，判断是直角三角形即可得到答案；
（2）依据垂线段最短，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
点B在点A的左侧，
点B的坐标为，点A的坐标为，
，
当时，，
点C的坐标为，
由勾股定理得，，
，
是直角三角形，且，
故答案为：90；
（2）当时，取最小值，
则，
，
解得：，即的最小值为，
故答案为：．
14．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法．
【详解】解∶由可得：
，
当时，，
当时，，
故的一个近似根，
距离x轴更近，
的一个近似根是，
的另一个近似根是
故答案为：或
15．二次函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标与y轴的交点坐标，把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标，再求出当时y的值即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴该二次函数的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴该二次函数与轴的交点坐标是，
故答案为：，．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）令求出x的值，即可求解.
【详解】（1）解：将点代入得：
，
解得：
.
（2）令即，
解得：，
抛物线开口向上，
时，。
17．如图，抛物线与直线交于点和．
(1)求a、b的值；
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时，x的取值范围是
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式：
（1）把点和代入，解出，；再把点A和点B代入，即可作答；
（2）结合图象以及点和，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把点和代入，
得，；
∴点和．
（2）解：结合图象，
当时，x的取值范围是．
18．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)a的取值范围是或
(3)或
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
（1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据确定m的取值范围．
【详解】（1）解：∵，为抛物线上的对称点，
∴，
抛物线的对称轴；
（2）解：∵过，，
∴，，，
∴对称轴．
①当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
②当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴，
综上：a的取值范围是或；
（3）解：∵点在抛物线上，
，
∵点，在抛物线上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为或．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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22.2 二次函数与一元二次方程 学案
（一）学习目标：
通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想
通过对生活实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的知识解决实际问题
3、通过解决实际问题，体会数学加持，从而提高学生学习数学知识兴趣
（二）学习重难点：
学习重点：运用函数知识解决实际问题
学习难点：把实际问题转化成函数关系
阅读课本，识记知识：
1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
【例1】 关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义；
分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，可得，求出和，再根据确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可．
【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故选：D．
【例2】 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象判断①，点的位置，判断②，对称轴判断③，根与系数的关系判断④．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于负半轴，
∴，，；
∴，故①正确；
当时，，
∴，
∵，
∴
由图象可知，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③错误；
∵有一个根为，设另一个根为，
则：，
∴，故④正确；
综上：正确的是①②④．
故选A．
选择题
1．如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象与x轴最多有一个公共点，现有三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴的左侧；②关于x的方程无实数根；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．将7个分别标有数字，，，0，1，2，3的小球放到一个不透明的袋子里，它们大小相同，随机摸取一个小球将其标记的数字记为m，则使得二次函数与x轴有交点，且关于x的分式方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①；②；③；④；⑤
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上；
B．抛物线的对称轴是直线；
C．当时，y随x的增大而减小；
D．抛物线与y轴的交点坐标为．
7．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
8．如图所示，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且，与y轴相交于点E，过点E的直线平行于x轴，与抛物线相交于P，Q两点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）
A． B． C． D．
10．下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项中可能是方程 的近似根的是（ ）
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
填空题
11．抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
12．小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接，．
（1）的度数是 ；
（2）若点P是上一动点，则的最小值为 ．
14．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
15．二次函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
17．如图，抛物线与直线交于点和．
(1)求a、b的值；
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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