21.3 实际问题与一元二次方程 课件 人教版数学九年级上册

(共26张PPT)
21.3 实际问题与一元二次方程
2024—2025学年
人教版数学九年级上册
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：设未知数(单位名称);
第二步：列出方程；
第三步：解这个方程，求出未知数的值；
第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等;
第五步：答题完整（单位名称）。
知识回顾:
学习目标：继续探究实际问题的数量关系，列出一元二次方程并求解，根据问题实际意义检验结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力.
学习重点：建立一元二次方程数学模型解决实际问题.
(1)汽车匀速行驶时的速度______m/s.
(2)汽车从刹车到停止运动需要______s.
(3)刹车后汽车共行驶了_______m.
解:(1) 当t=0时，v=8m/s.
(2) 当v=0时，t=20s.
(3)路程=速度×时间
=4×20=80m.
运动时间(s) 0s 20s
即时速度(m/s) 8 0
情境引入
在平直公路上匀速行驶的汽车，刹车后速度v(m/s) 随时间t(s)的变
化规律为v=8-0.4t .（提示：匀变速直线运动平均速度= )
20
8
80
0~20s时平均速度=
=4m/s
=平均速度×20
几何图形与一元二次方程
引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
合作探究
分析：这本书的长宽之比 ： ，正中央的矩形长宽之比 ： .
9 7
9 7
27cm
21cm
设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：
27cm
21cm
设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27cm
21cm
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
于是可列出方程
整理，得 16x2-48x+9=0
解：设正中央的矩形两边别为9x cm，7x cm.依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米.
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
还有其他解法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米.
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
20
32
x
x
x
20-x
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
32-2x
20
32
x
x
x
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米.
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
32cm
20cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(32-4x)(20-6x)= —×20×32
20㎝
32㎝
3x
2x
32-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
32-4x
20-6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
解：设AB长是x m.
(58-2x)x=200
x2-29x+100=0
x1=25，x2=4
x=25时，58-2x=8
x=4时，58-2x=50
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
D
C
B
A
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
解：设AB长是x m.
(80-2x)x=600
x2-40x+300=0
x1=10，x2=30
x=10时，80-2x=60>25，(舍去)
x=30时，80-2x=20<25，
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
D
C
B
A
25 m
变式 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
变式 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
化简，得 x2-13x+40=0
解得 x1=5，x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
1.如图（1），宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
A
B
图（1）
图（2）
练习
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】
A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
C
a
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
图（3）
图（4）
课堂小结
用方程解决实际问题的基本步骤
实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的答案
21.3 实际问题与一元二次方程
谢 谢 聆 听