21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计 人教版数学九年级上册

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21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计
人教版数学九年级上册
【学情分析】
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点．它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型．
【教学目标】
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会一元二次方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.
2.熟练掌握“增长率”型问题的解题规律，会检验所得结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力.
【重点难点】
重点：列一元二次方程解决实际应用问题.
难点：寻找问题中的等量关系.
【新课导入】
问题：谚语“一传十、十传百、百传千千万”的意思是什么？
学生自主思考后，小组内讨论交流，形成思维上的模型．
问题：若A同学患了流感，每轮传染中能传染6个人，且受感染的其他同学每轮也以相同的速度传染其他人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感呢？
师生共同讨论，运用表格或图形的方式给予表示，从表格中得到问题的答案.
【新课讲解】
【探究1】问题：(1)若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能够传染6个人，经过几轮传染后，班级内的56名同学都患上流感？(2)若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能传染x个人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感？按照这样的传染速度，n轮传染过后共有多少人患了流感？师生活动：学生独立思考以上问题，教师给予充分的时间，在得到各自的答案后，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导，最后总结出规律．被传染数＝传染源数×传染倍数．【探究2】问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？师生活动：教师指导学生进行审题，并进行解答．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．教师出示问题：(1)第一轮后被传染的人数有多少？传染的倍数是多少？(2)第二轮传染的传染源数是多少？传染的倍数是多少？教师引导学生注意本问题中第一轮的传染源有1人，第二轮的传染源有(x＋1)人．1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．最后作答．教师总结：解一元二次方程很多时候有两个解，可能其中一个解不符合问题的实际意义需要舍去．传染源数×传染倍数＝被传染数(传染倍数为x).
【典型例题】例1　某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0.解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．答：每个枝干长出9个小分支．例2　在李老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？解：设李老师所教班共有x名学生，依题意，得x(x－1)＝780，即(x－40)(x＋39)＝0，解得x＝40或x＝－39(舍去)．答：李老师所教班共有40名学生．【变式训练】1．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共有7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为＝28.解得x1＝8，x2＝－7(舍去)．答：比赛组织者应邀请8队参赛．2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数．解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为(6－x)．根据题意，得[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1 008，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.∴6－x＝4或6－x＝2.∴10(6－x)＋x＝42或10(6－x)＋x＝24.答：这个两位数是42或24.
【课堂小结】
1.本节课我们学习了哪种类型的应用题
2.请把本节课的涉及增长率和利润的关系式总结并阐述它们的意义？
【布置作业】
1.某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20% B．80% C．180% D．20%或180%
2.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ）
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500 (1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
3.为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝30000
4.小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元，如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是（ ）
A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件
5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使设每盆多植x株，则一株的盈利为 元．
6.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 __________________。
7.一家特色小面店希望在旅游旺季期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗售价为25元，平均每天可销售300碗，售价每降低1元，平均每天可多销售30碗．设每碗售价降低x元．
（1）平均每天可销售 碗（用含x的代数式表示）；
（2）为了维护城市形象，规定每碗售价不得超过20元，那么当每碗售价定为多少元时，店家才能每天盈利6300元？
8.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成 该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
21.3 第2课时 增长率和销售类问题
达标测试
1. A
2. B
3.C
4. A 设小强购买了这种服装 x 件，
由题意得：[80﹣2（x﹣10）]×x＝1200，
解之，得x1＝20，x2＝30，
∵80﹣2（x﹣10）≥50，∴x≤25，∴x＝20，故选：A．
5. （4﹣0.5x）解析:根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元
6. 2（1+x)+2(1+x)2=8
7.解：（1）设每碗售价降低x元．
平均每天可销售（300+30x）碗．
故答案为：（300+30x）；
（2）设每碗售价降低x元．店家才能实现每天利润6300元，依题意有：
（25﹣x﹣6）（300+30x）＝6300，
解得x1＝4，x2＝5，
当x＝4时，售价为21元，
当x＝5时，售价为20元，
∵每碗售价不得超过20元，
∴x＝5．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
8.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得 5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
答：平均每次下调的百分率为20%;
（2）方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
【板书设计】
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决传播问题
1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答．
2．传播问题应用公式：被传染数＝传染源数×传染倍数.
【教学反思】
(1)面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的实际问题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
(2)列一元二次方程解决实际问题是让数学回归生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解决实际问题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解决实际问题是下章中学习用二次函数解决问题的基础.