21.2 解一元二次方程 课件 人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程

(共28张PPT)
21.2 解一元二次方程
2024—2025学年人教版
九年级上册
第二十一章 一元二次方程
前面学习了方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间还有什么关系呢？
x-x1)(x-x2)=0(两根x1，x2)
x2+px+q=0
x1+x2=-p
x1x2=q
知识回顾
根据求根公式可知，
由此可知
根与系数
的关系
了解分解因式法解一元二次方程的概念,并会用分解因式法解某些一元二次方程.
方程 x1 x2 x1+ x2 x1·x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
问题：你发现这些一元二次方程的两根
x1+ x2，与x1 x2系数有什么规律？
猜想：当二次项系数为1时，方程
x2+px+q=0的两根为x1,, x2
2 1
3
2
-1 3
2
-3
1 4
5
4
三、导入新课
方 程
-2
x1+ x2，x1 x2与系数有什么规律
求根公式的推导
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0).
二次项系数化为1，得
解：
移项，得
配方，得
即 ①
问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0，∴4a2>0.
式子b2-4ac 的值有一下三种情况：
（1）b2-4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
（2）b2-4ac =0
这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1=x2=- .
（3）b2-4ac ＜0
这时 ＜0，由①可知 ＜0 ，而x取任何实数都不能使 ＜0 ，因此方程无实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
一元二次方程根的判别式
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=
5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
典例精析
例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9；
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，
∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3） 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
b2 - 4ac > 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac＜ 0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A.q≤4 B.q≥4
C.q<16 D.q>16
C
析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，即 .解得q＜16，故选C.
典例精析
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
B
当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.
归纳
方程有两个不相等的实数根
分析：
二次项系数不为0
k≠0
k>-1且k≠0
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k≥-1 B.k≥-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
分析：
分类讨论
k=0
k≠0
原方程变形为-2x-1=0，有实数根
b2-4ac≥0
k≥-1
A
由上可知，当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式.
注意
运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2 - 4ac ≥0时，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解方程
例4 用公式法解下列方程：
典例精析
（1）x2-4x-7=0;
方程有两个不相等的实数根.
解：a=1，b=-4，c=-7
b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.
即
方程有两个相等的实数根
x1=x2
（3）5x2－3x=x+1;
方程有两个不相等的实数根
=
即
a=5，b=－4，c=－1
b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.
解：方程化为 5x2－4x－1=0
（4）x2+17=8x.
方程无实数根.
a=1，b=－8，c=17
b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.
解：方程化为 x2－8x+17=0
要点归纳
公式法解方程的步骤
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2-4ac的值；
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出；
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
x2-5x+6=0
课堂练习：
1.甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为_____________________
（还有其他解法吗？)
-3
3、已知3是方程 x2-mx-3=0的一根，求m及另一根.
3
2
2、如果－1是方程的一个根，2x2-x+m=0则另一个根是____ ｍ=____。
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
课堂小结
一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{
21.2 解一元二次方程
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