江苏省连云港市2024年中考数学试卷
1．（2024·连云港） 的相反数是（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-的相反数是，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．（2024·连云港）2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 28000=.
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．（2024·连云港）下列运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，错误，不符合题意；
对于B，，错误，不符合题意；
对于C，，正确，符合题意；
对于D，，错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算及合并同类项逐一计算检验即可.
4．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
5．（2024·连云港）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：依题意，固定一点O，OA=OB，
符合圆的定义，
∴运动路径为圆的一部分，即圆弧，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合圆的定义分析其运动路径为圆弧.
6．（2024·连云港）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：对于A，摸彩票事件为等可能事件，即每人摸到的概率同为，故A错误，不符合题意；
对于B，在5个数中，奇数有3个，偶数有2个，故摸到奇数的概率大于偶数的概率，故A错误，不符合题意；
对于C，筛子中3颗全是6点朝上为随机事件中的小概率事件，故C正确，符合题意；
对于D，抛硬币正面朝上的概率为，但实际操作中正面朝上的频率可以为0，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据随机事件概率定义及其计算逐一判断即可.
7．（2024·连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：将阴影部分图形中间部分边长往四周平移，即中间左侧边长往左侧平移，同理，
推理计算得：.
故答案为：A.
【分析】在已知正方形的边长基础上，将阴影部分周长通过平移转换至正方形周长进行推理计算.
8．（2024·连云港）已知抛物线是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；
③若的一个根为3，则；
④拋物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵是常数，的顶点为．
∴，即，
对于①，∵，
∴，，
∵c的正负符号不确定，即可正可负，故①错误，不符合题意；
对于②，，对称轴所在直线x=1，故当时，随的增大而减小，故②正确，符合题意；
对于③，若x=3时一元二次方程的根，即是的根，
∴，解得，故③正确，符合题意；
对于④， 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
此时顶点坐标为，即得到抛物线为，故④错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据已知函数顶点得出顶点式，即进一步消元可以用含a的式子表示b和c，根据对称轴与开口判断①②，由方程根代入求出a值判断③，由函数平移判断④.
9．（2024·连云港）如果公元前年记作-121年，那么公元2024年应记作 年．
【答案】+2024
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据负数的相反意义进行表示，
故公元2024可记作：+2024
故答案为：+2024.
【分析】由相反意义的量表示即可.
10．（2024·连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，在实数范围内有意义，
∴，解得x≥2.
【分析】由二次根式有意义，即被开方数为非负数解之即可.
11．（2024·连云港）如图，直线，直线，则 °.
【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l⊥a，
∴∠4=90°，
又∵ 直线，
∴∠3=∠4=90°，
又∵∠1=∠2+∠3，
∴∠2=∠1-∠3=120°-90°=30°，
故答案为：30.
【分析】由平行线的性质及三角形内角和或内角和的推论逐一求角往目标角靠拢即可.
12．（2024·连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
13．（2024·连云港）杜杆平衡时，“阻力阻力臂=动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：依题意，Fl=1600×0.5=800，
∴，
故答案为：.
【分析】根据杠杆平衡公式代入即得出F与l的函数关系.
14．（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则 .
【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ AB是圆的直径 ，
∴∠ACB=90°，
又∵，
∴∠DCE=∠2，
同理，∠ECF=∠3，∠BCF=∠4，
∴
故答案为：90°.
【分析】利用圆的性质将圆上角进行转移聚集，进而由直径所对圆周角得出结论.
15．（2024·连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点落在BF上的点处，折痕为AG．若点恰好为线段BC最靠近点的一个五等分点，，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设BG=a，则CG=4a，BC=5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABG=∠C=90°，CD∥AB，
由折叠可知，，
∠AHG=∠ABG=90°，AG⊥BH，
CF=，
又∵∠ABF+∠BAG=∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∴，即，解得，
∴BC=5a=.
故答案为：.
【分析】由矩形折叠倒角得出同角余角相同，利用设元以同角三角函数值建立等量关系求出边长即可.
16．（2024·连云港）如图，在中，．点在边AC上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接PF，取PF的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，
在Rt中，．
∴，.
同理在含30°的Rt△ADP和Rt△BFD中，
设AD=2a，则BD=4-2a，AP=4a，
∴CP=2-4a，DF=，，
∴CF=BC-BF=，
∴，
又∵E是PF中点，
∴，其中，即，
令x=，y=1-2a，，即，
∴，
变式得：，
∴点E的运动轨迹为定线段，
当x=0时，y=1；当x=时，y=0，；
由勾股定理得，E的运动路径长为：
故答案为：.
【分析】由特殊三角形的边角关系，可直接建系通过代数表达得出动点E坐标从而得出其运动轨迹为线段，进而求出该线段长即可，需注意该线段的取值范围.
17．（2024·连云港）计算．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值、零指数幂及算术平方根运算法则计算结果.
18．（2024·连云港）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】结合解不等式组的一般步骤解不等式组并表示在数轴上即可.
19．（2024·连云港）下面是某同学计算的解题过程：
解：
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
【答案】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】利用平方差公式找出分式的最简公分母进行通分，注意前后式子等式关系注意检查错误即可.
20．（2024·连云港）如图，AB与CD相交于点．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点在AC上，点在BD上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】（1）证明：.
在和中，
（2）解：尺规作图如图所示.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由初始条件分析结合平行线的性质证出全等；
（2）在（1）的基础上分析易得出此时菱形的中点为E，即一组互相平分，结合菱形的判定只需过点E作CD的中垂线即可.
21．（2024·连云港）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩(单位：分)进行了统计分析：
【收集数据】
【整理数据】
该校规定为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 a 0.20
良好 10 0.50
优秀 5 b
合计 20 1.00
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是；
【解决问题】
（1）填空： ， ， ；
（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法．
【答案】（1）4；0.25；83
（2）解：300×0.25=75(人).
答：估计七年级300名男生中约有75人体能测试能达到优秀；
（3）应加强体能训练等；
【知识点】利用频率估计概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）a=20-10-5-1=4，
b=，
按20个数据从小到大的中位数分析，其中位数第11个数据和第12个数据在“良好”列的第五个和第六个数值，
即成绩“良好”从小到大排列为：76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，
故此时的第五个和第六个数值，故中位数c=83.
故答案为：4，0.25，83.
【分析】（1）由总数20对缺失数据进行简单计算，其中，中位数需按照从小到大排列找出；
（2）用频率估计概率，以20名数据中成绩“优秀”=0.25估计全校300名成绩“优秀”人数；
（3）言之有理即可.
22．（2024·连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种.
(小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”.
答：小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）共有4种可能，其中“数学名词”为 字谜、字谜 ，共2种可能，
∴，
【分析】（1）由简单随机事件概率公式计算即可；
（2）利用树状图或列表列举所有事件组合情况，并找出符合题意的事件从而计算出概率.
23．（2024·连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 1~99 100以上（含100）
邮寄费用 总价的10% 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，
解得．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，根据计算费用的方式不同进行分类考虑，后利用一元一次方程对总费用进行代数表达解出符合题意的结果.
24．（2024·连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点，点的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点，与轴交于点，再将函数的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：点在的图像上，当时，．
将点代入，得．
（2）解：或．
由(1)得，，解得或，
∴点B(-3，-2)
由图像分析可知，当，故或．
（3）解：由题意可知．
如图，过点作，垂足为，可求得．
又．
由平移性质可知，阴影部分面积就是的面积，即．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据题意，利用已知反比例函数关系式先求出A点坐标，后代入一次函数中即求得k值；
（2）先求出交点坐标，后根据函数值大小结合交点横坐标得出x取值范围；
（3）由平移的性质及不规则图形割补法分析，只需求平行四边形ACFD的面积，其次利用一次函数45°特殊角求出其高即可.
25．（2024·连云港）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城，的边长为长，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1） ；
（2）求点到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响
（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）90；76
（2）解：过点作，垂足为．
在Rt中，，
．
在Rt中，易知，
．
答：点到道路BC的距离为2.0千米．
（3）解：连接并延长交BM于点，延长交BE于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为在Rt中，．
又，
．
由题意可知，Rt，即，
．
答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）八边形外角=，
∴，，
【分析】（1）先计算得出正八边形外角，进而利用外角结合方向角推理出对应目标角；
（2）在（1）Rt△A1A2C及正八边形边长基础上利用锐角三角函数值解出A1C，后通过对目标BC作垂得出点到道路BC的距离；
（3）结合草图分析，为观察不受影响，即临界分析为C，A8，E三点共线，在（2）得出的边角信息的基础上，逐一求解线条并利用相似三角形进一步解形得出目标线段即可.
26．（2024·连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为常数，．
（1）若抛物线与轴交于两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分；
（3）当时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若GH的最大值为4，求的值．
【答案】（1）解：分别将代入，
得解得函数表达式为．
（2）解：．
当时，，即点，当时，，即点．
，
在Rt中，．
．
．
平分．
（3）解：设，则．
当时，．
令，解得．
点在的上方（如图1）．
设，故，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知：当时，取得最大值．
解得或（舍去）．
②当时，得，
由图3可知：当时，取得最大值．
解得（舍去）．
综上所述，的值为-3．
【知识点】列二次函数关系式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将两点代入抛物线中得出等量关系联立方程组，解之即得函数表达式；
（2）在平行条件和目标证角平分线等角分析上，将目标问题转化为证等腰三角形，即MN=DN，进而利用点的坐标进行代数表达得出线段，推理得证；
（3）为便于画出草图分析，先联立直线与抛物线得出其交点位置，并结合b的取值即上一点进行分析，设点，将目标GH用代数表达为，后利用二次函数对部分函数图象最值分类讨论并解出b即可，需特别注意其取值范围.
27．（2024·连云港）（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍 小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
【答案】（1）2
（2）解：或写成；
（3）解：绕着点逆时针旋转，
点在以为圆心，PD长为半径的圆上运动．
又点是外的一个定点，
由图1可得：当AD与相切时，最大．
．
由（2）中图形变化过程可知，．
在Rt和Rt中，
．
（4）解：如图2，将沿BC翻折，使得点落在处，将沿AC翻折，使得点落在处，连接，将沿AC方向平移，使得点与点重合，得（如图3）．
由（2）中图形变化过程可知，，
当三点共线时，最小．
．
在Rt中，的最小值为．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】解：（1）观察可知，小正方形是大正方形的中点四边形，
设大正方形边长为2a，则，.
故 大正方形面积是小正方形面积的2倍.
（2）如图，
由图形变化过程可知，AE=DF，BE=CF，
由勾股定理可知，，，
，，
∴，，
故，即.
【分析】（1）由图形变化易观察其面积的倍数关系，也可以利用割补法推理等；
（2）由勾股定理结合矩形的性质推理出线段的数量关系；
（3）四边均固定，在旋转过程中，其变化为圆，推理得出当AD与圆相切时，其∠DAP最大，进一步利用（2）的结论结合勾股定理计算即可；
（4）结合直角利用对称将线段和转换成单线段定值，进一步将目标线段平移衔接，即最终转化为两点之间线段最短；
1 / 1江苏省连云港市2024年中考数学试卷
1．（2024·连云港） 的相反数是（ ）
A． B． C．-2 D．2
2．（2024·连云港）2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·连云港）下列运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
5．（2024·连云港）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
6．（2024·连云港）下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
7．（2024·连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·连云港）已知抛物线是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；
③若的一个根为3，则；
④拋物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．（2024·连云港）如果公元前年记作-121年，那么公元2024年应记作 年．
10．（2024·连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2024·连云港）如图，直线，直线，则 °.
12．（2024·连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．（2024·连云港）杜杆平衡时，“阻力阻力臂=动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
14．（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则 .
15．（2024·连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点落在BF上的点处，折痕为AG．若点恰好为线段BC最靠近点的一个五等分点，，则BC的长为 ．
16．（2024·连云港）如图，在中，．点在边AC上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接PF，取PF的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为 .
17．（2024·连云港）计算．
18．（2024·连云港）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
19．（2024·连云港）下面是某同学计算的解题过程：
解：
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
20．（2024·连云港）如图，AB与CD相交于点．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点在AC上，点在BD上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
21．（2024·连云港）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩(单位：分)进行了统计分析：
【收集数据】
【整理数据】
该校规定为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 a 0.20
良好 10 0.50
优秀 5 b
合计 20 1.00
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是；
【解决问题】
（1）填空： ， ， ；
（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法．
22．（2024·连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
23．（2024·连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 1~99 100以上（含100）
邮寄费用 总价的10% 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
24．（2024·连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点，点的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点，与轴交于点，再将函数的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
25．（2024·连云港）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城，的边长为长，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1） ；
（2）求点到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响
（结果精确到，参考数据：）
26．（2024·连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为常数，．
（1）若抛物线与轴交于两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当时，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分；
（3）当时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若GH的最大值为4，求的值．
27．（2024·连云港）（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍 小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵-的相反数是，
故答案为：A.
【分析】相反数：数值相同，符号相反的两个数，由此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 28000=.
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，错误，不符合题意；
对于B，，错误，不符合题意；
对于C，，正确，符合题意；
对于D，，错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算及合并同类项逐一计算检验即可.
4．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
5．【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：依题意，固定一点O，OA=OB，
符合圆的定义，
∴运动路径为圆的一部分，即圆弧，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合圆的定义分析其运动路径为圆弧.
6．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：对于A，摸彩票事件为等可能事件，即每人摸到的概率同为，故A错误，不符合题意；
对于B，在5个数中，奇数有3个，偶数有2个，故摸到奇数的概率大于偶数的概率，故A错误，不符合题意；
对于C，筛子中3颗全是6点朝上为随机事件中的小概率事件，故C正确，符合题意；
对于D，抛硬币正面朝上的概率为，但实际操作中正面朝上的频率可以为0，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据随机事件概率定义及其计算逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：将阴影部分图形中间部分边长往四周平移，即中间左侧边长往左侧平移，同理，
推理计算得：.
故答案为：A.
【分析】在已知正方形的边长基础上，将阴影部分周长通过平移转换至正方形周长进行推理计算.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵是常数，的顶点为．
∴，即，
对于①，∵，
∴，，
∵c的正负符号不确定，即可正可负，故①错误，不符合题意；
对于②，，对称轴所在直线x=1，故当时，随的增大而减小，故②正确，符合题意；
对于③，若x=3时一元二次方程的根，即是的根，
∴，解得，故③正确，符合题意；
对于④， 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
此时顶点坐标为，即得到抛物线为，故④错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据已知函数顶点得出顶点式，即进一步消元可以用含a的式子表示b和c，根据对称轴与开口判断①②，由方程根代入求出a值判断③，由函数平移判断④.
9．【答案】+2024
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据负数的相反意义进行表示，
故公元2024可记作：+2024
故答案为：+2024.
【分析】由相反意义的量表示即可.
10．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，在实数范围内有意义，
∴，解得x≥2.
【分析】由二次根式有意义，即被开方数为非负数解之即可.
11．【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l⊥a，
∴∠4=90°，
又∵ 直线，
∴∠3=∠4=90°，
又∵∠1=∠2+∠3，
∴∠2=∠1-∠3=120°-90°=30°，
故答案为：30.
【分析】由平行线的性质及三角形内角和或内角和的推论逐一求角往目标角靠拢即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
13．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：依题意，Fl=1600×0.5=800，
∴，
故答案为：.
【分析】根据杠杆平衡公式代入即得出F与l的函数关系.
14．【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ AB是圆的直径 ，
∴∠ACB=90°，
又∵，
∴∠DCE=∠2，
同理，∠ECF=∠3，∠BCF=∠4，
∴
故答案为：90°.
【分析】利用圆的性质将圆上角进行转移聚集，进而由直径所对圆周角得出结论.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设BG=a，则CG=4a，BC=5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABG=∠C=90°，CD∥AB，
由折叠可知，，
∠AHG=∠ABG=90°，AG⊥BH，
CF=，
又∵∠ABF+∠BAG=∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∴，即，解得，
∴BC=5a=.
故答案为：.
【分析】由矩形折叠倒角得出同角余角相同，利用设元以同角三角函数值建立等量关系求出边长即可.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，
在Rt中，．
∴，.
同理在含30°的Rt△ADP和Rt△BFD中，
设AD=2a，则BD=4-2a，AP=4a，
∴CP=2-4a，DF=，，
∴CF=BC-BF=，
∴，
又∵E是PF中点，
∴，其中，即，
令x=，y=1-2a，，即，
∴，
变式得：，
∴点E的运动轨迹为定线段，
当x=0时，y=1；当x=时，y=0，；
由勾股定理得，E的运动路径长为：
故答案为：.
【分析】由特殊三角形的边角关系，可直接建系通过代数表达得出动点E坐标从而得出其运动轨迹为线段，进而求出该线段长即可，需注意该线段的取值范围.
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值、零指数幂及算术平方根运算法则计算结果.
18．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】结合解不等式组的一般步骤解不等式组并表示在数轴上即可.
19．【答案】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】利用平方差公式找出分式的最简公分母进行通分，注意前后式子等式关系注意检查错误即可.
20．【答案】（1）证明：.
在和中，
（2）解：尺规作图如图所示.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由初始条件分析结合平行线的性质证出全等；
（2）在（1）的基础上分析易得出此时菱形的中点为E，即一组互相平分，结合菱形的判定只需过点E作CD的中垂线即可.
21．【答案】（1）4；0.25；83
（2）解：300×0.25=75(人).
答：估计七年级300名男生中约有75人体能测试能达到优秀；
（3）应加强体能训练等；
【知识点】利用频率估计概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）a=20-10-5-1=4，
b=，
按20个数据从小到大的中位数分析，其中位数第11个数据和第12个数据在“良好”列的第五个和第六个数值，
即成绩“良好”从小到大排列为：76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，
故此时的第五个和第六个数值，故中位数c=83.
故答案为：4，0.25，83.
【分析】（1）由总数20对缺失数据进行简单计算，其中，中位数需按照从小到大排列找出；
（2）用频率估计概率，以20名数据中成绩“优秀”=0.25估计全校300名成绩“优秀”人数；
（3）言之有理即可.
22．【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种.
(小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”.
答：小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）共有4种可能，其中“数学名词”为 字谜、字谜 ，共2种可能，
∴，
【分析】（1）由简单随机事件概率公式计算即可；
（2）利用树状图或列表列举所有事件组合情况，并找出符合题意的事件从而计算出概率.
23．【答案】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，
解得．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，根据计算费用的方式不同进行分类考虑，后利用一元一次方程对总费用进行代数表达解出符合题意的结果.
24．【答案】（1）解：点在的图像上，当时，．
将点代入，得．
（2）解：或．
由(1)得，，解得或，
∴点B(-3，-2)
由图像分析可知，当，故或．
（3）解：由题意可知．
如图，过点作，垂足为，可求得．
又．
由平移性质可知，阴影部分面积就是的面积，即．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据题意，利用已知反比例函数关系式先求出A点坐标，后代入一次函数中即求得k值；
（2）先求出交点坐标，后根据函数值大小结合交点横坐标得出x取值范围；
（3）由平移的性质及不规则图形割补法分析，只需求平行四边形ACFD的面积，其次利用一次函数45°特殊角求出其高即可.
25．【答案】（1）90；76
（2）解：过点作，垂足为．
在Rt中，，
．
在Rt中，易知，
．
答：点到道路BC的距离为2.0千米．
（3）解：连接并延长交BM于点，延长交BE于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为在Rt中，．
又，
．
由题意可知，Rt，即，
．
答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）八边形外角=，
∴，，
【分析】（1）先计算得出正八边形外角，进而利用外角结合方向角推理出对应目标角；
（2）在（1）Rt△A1A2C及正八边形边长基础上利用锐角三角函数值解出A1C，后通过对目标BC作垂得出点到道路BC的距离；
（3）结合草图分析，为观察不受影响，即临界分析为C，A8，E三点共线，在（2）得出的边角信息的基础上，逐一求解线条并利用相似三角形进一步解形得出目标线段即可.
26．【答案】（1）解：分别将代入，
得解得函数表达式为．
（2）解：．
当时，，即点，当时，，即点．
，
在Rt中，．
．
．
平分．
（3）解：设，则．
当时，．
令，解得．
点在的上方（如图1）．
设，故，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知：当时，取得最大值．
解得或（舍去）．
②当时，得，
由图3可知：当时，取得最大值．
解得（舍去）．
综上所述，的值为-3．
【知识点】列二次函数关系式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将两点代入抛物线中得出等量关系联立方程组，解之即得函数表达式；
（2）在平行条件和目标证角平分线等角分析上，将目标问题转化为证等腰三角形，即MN=DN，进而利用点的坐标进行代数表达得出线段，推理得证；
（3）为便于画出草图分析，先联立直线与抛物线得出其交点位置，并结合b的取值即上一点进行分析，设点，将目标GH用代数表达为，后利用二次函数对部分函数图象最值分类讨论并解出b即可，需特别注意其取值范围.
27．【答案】（1）2
（2）解：或写成；
（3）解：绕着点逆时针旋转，
点在以为圆心，PD长为半径的圆上运动．
又点是外的一个定点，
由图1可得：当AD与相切时，最大．
．
由（2）中图形变化过程可知，．
在Rt和Rt中，
．
（4）解：如图2，将沿BC翻折，使得点落在处，将沿AC翻折，使得点落在处，连接，将沿AC方向平移，使得点与点重合，得（如图3）．
由（2）中图形变化过程可知，，
当三点共线时，最小．
．
在Rt中，的最小值为．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】解：（1）观察可知，小正方形是大正方形的中点四边形，
设大正方形边长为2a，则，.
故 大正方形面积是小正方形面积的2倍.
（2）如图，
由图形变化过程可知，AE=DF，BE=CF，
由勾股定理可知，，，
，，
∴，，
故，即.
【分析】（1）由图形变化易观察其面积的倍数关系，也可以利用割补法推理等；
（2）由勾股定理结合矩形的性质推理出线段的数量关系；
（3）四边均固定，在旋转过程中，其变化为圆，推理得出当AD与圆相切时，其∠DAP最大，进一步利用（2）的结论结合勾股定理计算即可；
（4）结合直角利用对称将线段和转换成单线段定值，进一步将目标线段平移衔接，即最终转化为两点之间线段最短；
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