福建省2024年中考真题数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·福建）下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·福建）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2021八下·槐荫期末）因式分解：x2+x=
12．（2024·福建）不等式的解集是 ．
13．（2024·福建）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
14．（2024·福建）如图，正方形的面积为4，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ．
15．（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
16．（2024·福建）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024·福建）计算：．
18．（2024·福建）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．
求证：．
19．（2024·福建）解方程：．
20．（2024·福建）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
21．（2024·福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
22．（2024·福建）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
23．（2024·福建）已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
24．（2024·福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
25．（2024·福建）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-3，0是整数，是分数，它们都是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：69610=6.961×104，
故答案为：C.
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形.
故答案为：C.
【分析】根据从上边向下看得到的正投影就是俯视图，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABF=60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠1=180°-60°-90°=30°．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，结合平角及垂直定义即可求解.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a4÷a2=a2，故此选项计算正确，符合题意；
C、（a3）2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、2a2-a2=a2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 （2，3） （，2，5）
3 （3，2） （3，5）
5 （5，2） （5，3）
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，
∴和是偶数的概率为.
故答案为：B.
【分析】先列表得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式即可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵C为的中点，∠AOB=72°，
∴∠AOC=∠BOC=36°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=72°，
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴∠OCM=90°，
∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°，
故答案为：A.
【分析】根据等弧所对的圆心角也相等可得∠AOC=∠BOC=36°，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠ACO=∠OAC=72°，由切线的性质得∠OCM=90°，最后根据∠ACM=∠OCM-∠ACO即可求解.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：（1+4.7%）x=120327.
故答案为：A.
【分析】根据今年第一季度社会消费品零售总额=去年第一季度社会消费品零售总额×（1+4.7%），即可列出关于x的一元一次方程.
9．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
11．【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x-2＜1，
3x＜1+2，
3x＜3，
x＜1，
∴不等式3x-2＜1的解集是：x＜1，
故答案为：x＜1.
【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤进行计算即可求解.
13．【答案】90
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：这12名学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90，因此中位数是，
故答案为：90.
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此并结合条形统计图提供的信息求解即可.
14．【答案】2
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接HF、EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分别为边BC、DA的中点，
∴AH=BF，AH∥BF，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB=HF，AB∥HF，
同理可得：BC=EG，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是；
故答案为：2.
【分析】连接HF、EG，根据正方形的对边平行且相等可得BC∥AD，BC=AD，根据一组对边且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等得出AB=HF，AB∥HF，同理得出BC=EG，BC∥EG，推得HF⊥EG，根据对角线互相垂直的四边形得面积等于两对角线乘积的一半即可求解.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；圆的对称性
【解析】【解答】解：根据圆和反比例函数都是轴对称图形，得点A与B关于直线y=x对称，
设直线AB的解析式为y=-x+b，
将点A（1，2）坐标代入得：2=-1+b，
解得：b=3，
∴直线AB解析式为：y=-x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为，
联立方程组得：，
解得：，；
∴B（2，1），
故答案为：（2，1）.
【分析】先根据反比例函数及圆的轴对称性得出点A与B关于直线y=x对称，根据互相垂直的直线比例系数乘积为“-1”根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据待定系数法求反比例函数的解析式，联立方程组，解方程组求出点B的坐标.
16．【答案】128
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠PDA=70°，∠PDQ=30°，
∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，
∵AB∥QD，
∴∠BAD=∠ADQ=40°，
在Rt△ABD中，F=AD=400，∠ABD=90°，
∴F2=BD=AD sin∠BAD=400 sin 40°=400×0.64=256，
由题意可知，BD⊥DQ，
∴∠BDC+∠1=90°，
∴∠BDC=90°-∠1=60°，
在Rt△BCD中，BD=256，∠BCD=90°，
∴，
故答案为：128.
【分析】先求出∠ADQ=40°，∠1=30°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠ADQ=40°，根据锐角三角函数求出F2=256，求出∠BDC=90°-∠1=60°，根据锐角三角函数即可求解.
17．【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）、负数的绝对值是其相反数、如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，先进行计算，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在和中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，对角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可证明.
19．【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
20．【答案】（1）解：由题意，得A地考生的数学平均分为（分）．
（2）解：不能，
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
．
因为，所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数列式计算即可求解；
（2）根据加权平均数的意义举例解答即可.
21．【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入 y=x2+bx+c ，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为 y=x2+x-2 .
（2）解：设 P（m，n）， 因为点在第二象限，所以m＜0，n＞0，
依题意，得，
即，
∴．
由已知，得，
所以，
由，
解得： m1=-3，m2=2 （舍去），
所以点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解.
22．【答案】（1）解：
所以直线就是所求作的直线．
（2）解：①当∠BAC=90°，AB=AC时，
∵l∥l1∥l2， 直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，
，
．
②当时，
分别过点作直线的垂线，垂足为，
．
∵l∥l1∥l2， 直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③当时，同理可得，．
综上所述，的面积为1或．
【知识点】平行线之间的距离；等腰直角三角形；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图方法，过直线l1上任意一点作l1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l；
（2）分①当∠BAC=90°，AB=AC时，②当∠ABC=90°，BA=BC时，③当∠ACB=90°，CA=CB时，三种情况画出图形，结合等腰直角三角形性质及三角形的面积公式计算即可.
23．【答案】（1）证明：因为，
所以b=a（3m+n），c=amn，
则
．
因为a，m，n是实数，
所以，
所以为非负数．
（2）解：不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题意，可得 b=a（3m+n），c=amn，将其代入原式进行因式分解，可得原式=a2（3m-n）2，结合a，m，n是实数，即可证明；
（2）根据若m，n都为整数的情况：①m，n都为奇数、②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数、分别进行分析即可求解.
24．【答案】（1）解：2.
（2）C
（3）解：需要卡纸如表所示；理由如下：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1=58（元）.
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图：
上述图形折叠后变成如图：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即 AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴，
∴的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，根据正方形的四条边都相等可得EM=EF，推得AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡 纸可制作1个正方体，即可求解.
25．【答案】（1）解：，且是的直径，
，
，
在中，．
，
在中，．
，
．
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，
∴∠BAE=∠ABM，∠AEO=∠BMO=90°．
∵AO=BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE=BM，OE=OM，
，
∴BM=2OE=EM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠MBE=∠ABC，
∴∠ABM=∠CBE，
∵∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°，
∴∠AEB=∠BEC，
∴△AEB∽△BEC.
（3）证明：连接DE，DF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=2BD，∠DAB=45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO=∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED=∠AEO=90°，
∴∠DEF=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°．
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先求得AC=2AO，再根据锐角三角函数得出，即可求解；
（2）过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠ABM，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AE=BM，OE=OM，推得BM=2OE=EM，根据等腰直角三角形的性质可推得∠MBE=∠ABC，即可得出∠ABM=∠CBE，∠AEB=∠BEC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（3）连接DE，DF，根据直角所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠AFB=90°，根据等腰直角三角形的性质可推得∠DAB=45°，根据相似三角形的对应边之比相等，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOE∽△BDE，根据相似三角形的对应角相等可得∠BED=∠AEO=90°，推得∠AFB=∠DEF，根据内错角相等，两直线平行可得AF∥DE，结合（2）中结论可得∠DFB=∠AEF，根据内错角相等，两直线平行可得AE∥FD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分即可证明.
1 / 1福建省2024年中考真题数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·福建）下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-3，0是整数，是分数，它们都是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2024·福建）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：69610=6.961×104，
故答案为：C.
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024·福建）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形.
故答案为：C.
【分析】根据从上边向下看得到的正投影就是俯视图，即可求解.
4．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABF=60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠1=180°-60°-90°=30°．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，结合平角及垂直定义即可求解.
5．（2024·福建）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a4÷a2=a2，故此选项计算正确，符合题意；
C、（a3）2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、2a2-a2=a2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，可判断D选项.
6．（2024·福建）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 （2，3） （，2，5）
3 （3，2） （3，5）
5 （5，2） （5，3）
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，
∴和是偶数的概率为.
故答案为：B.
【分析】先列表得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式即可求解.
7．（2024·福建）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵C为的中点，∠AOB=72°，
∴∠AOC=∠BOC=36°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=72°，
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴∠OCM=90°，
∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°，
故答案为：A.
【分析】根据等弧所对的圆心角也相等可得∠AOC=∠BOC=36°，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠ACO=∠OAC=72°，由切线的性质得∠OCM=90°，最后根据∠ACM=∠OCM-∠ACO即可求解.
8．（2024·福建）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：（1+4.7%）x=120327.
故答案为：A.
【分析】根据今年第一季度社会消费品零售总额=去年第一季度社会消费品零售总额×（1+4.7%），即可列出关于x的一元一次方程.
9．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
10．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（2021八下·槐荫期末）因式分解：x2+x=
【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
12．（2024·福建）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：3x-2＜1，
3x＜1+2，
3x＜3，
x＜1，
∴不等式3x-2＜1的解集是：x＜1，
故答案为：x＜1.
【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤进行计算即可求解.
13．（2024·福建）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
【答案】90
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：这12名学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90，因此中位数是，
故答案为：90.
【分析】中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此并结合条形统计图提供的信息求解即可.
14．（2024·福建）如图，正方形的面积为4，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接HF、EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分别为边BC、DA的中点，
∴AH=BF，AH∥BF，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB=HF，AB∥HF，
同理可得：BC=EG，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是；
故答案为：2.
【分析】连接HF、EG，根据正方形的对边平行且相等可得BC∥AD，BC=AD，根据一组对边且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等得出AB=HF，AB∥HF，同理得出BC=EG，BC∥EG，推得HF⊥EG，根据对角线互相垂直的四边形得面积等于两对角线乘积的一半即可求解.
15．（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；圆的对称性
【解析】【解答】解：根据圆和反比例函数都是轴对称图形，得点A与B关于直线y=x对称，
设直线AB的解析式为y=-x+b，
将点A（1，2）坐标代入得：2=-1+b，
解得：b=3，
∴直线AB解析式为：y=-x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为，
联立方程组得：，
解得：，；
∴B（2，1），
故答案为：（2，1）.
【分析】先根据反比例函数及圆的轴对称性得出点A与B关于直线y=x对称，根据互相垂直的直线比例系数乘积为“-1”根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据待定系数法求反比例函数的解析式，联立方程组，解方程组求出点B的坐标.
16．（2024·福建）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠PDA=70°，∠PDQ=30°，
∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，
∵AB∥QD，
∴∠BAD=∠ADQ=40°，
在Rt△ABD中，F=AD=400，∠ABD=90°，
∴F2=BD=AD sin∠BAD=400 sin 40°=400×0.64=256，
由题意可知，BD⊥DQ，
∴∠BDC+∠1=90°，
∴∠BDC=90°-∠1=60°，
在Rt△BCD中，BD=256，∠BCD=90°，
∴，
故答案为：128.
【分析】先求出∠ADQ=40°，∠1=30°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠ADQ=40°，根据锐角三角函数求出F2=256，求出∠BDC=90°-∠1=60°，根据锐角三角函数即可求解.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024·福建）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）、负数的绝对值是其相反数、如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，先进行计算，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可.
18．（2024·福建）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在和中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，对角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可证明.
19．（2024·福建）解方程：．
【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
20．（2024·福建）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
【答案】（1）解：由题意，得A地考生的数学平均分为（分）．
（2）解：不能，
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
．
因为，所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数列式计算即可求解；
（2）根据加权平均数的意义举例解答即可.
21．（2024·福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入 y=x2+bx+c ，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为 y=x2+x-2 .
（2）解：设 P（m，n）， 因为点在第二象限，所以m＜0，n＞0，
依题意，得，
即，
∴．
由已知，得，
所以，
由，
解得： m1=-3，m2=2 （舍去），
所以点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解.
22．（2024·福建）如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
【答案】（1）解：
所以直线就是所求作的直线．
（2）解：①当∠BAC=90°，AB=AC时，
∵l∥l1∥l2， 直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，
，
．
②当时，
分别过点作直线的垂线，垂足为，
．
∵l∥l1∥l2， 直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③当时，同理可得，．
综上所述，的面积为1或．
【知识点】平行线之间的距离；等腰直角三角形；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图方法，过直线l1上任意一点作l1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l；
（2）分①当∠BAC=90°，AB=AC时，②当∠ABC=90°，BA=BC时，③当∠ACB=90°，CA=CB时，三种情况画出图形，结合等腰直角三角形性质及三角形的面积公式计算即可.
23．（2024·福建）已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】（1）证明：因为，
所以b=a（3m+n），c=amn，
则
．
因为a，m，n是实数，
所以，
所以为非负数．
（2）解：不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题意，可得 b=a（3m+n），c=amn，将其代入原式进行因式分解，可得原式=a2（3m-n）2，结合a，m，n是实数，即可证明；
（2）根据若m，n都为整数的情况：①m，n都为奇数、②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数、分别进行分析即可求解.
24．（2024·福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】（1）解：2.
（2）C
（3）解：需要卡纸如表所示；理由如下：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1=58（元）.
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图：
上述图形折叠后变成如图：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即 AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴，
∴的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，根据正方形的四条边都相等可得EM=EF，推得AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡 纸可制作1个正方体，即可求解.
25．（2024·福建）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
【答案】（1）解：，且是的直径，
，
，
在中，．
，
在中，．
，
．
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，
∴∠BAE=∠ABM，∠AEO=∠BMO=90°．
∵AO=BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE=BM，OE=OM，
，
∴BM=2OE=EM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠MBE=∠ABC，
∴∠ABM=∠CBE，
∵∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°，
∴∠AEB=∠BEC，
∴△AEB∽△BEC.
（3）证明：连接DE，DF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=2BD，∠DAB=45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO=∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED=∠AEO=90°，
∴∠DEF=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°．
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先求得AC=2AO，再根据锐角三角函数得出，即可求解；
（2）过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠ABM，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AE=BM，OE=OM，推得BM=2OE=EM，根据等腰直角三角形的性质可推得∠MBE=∠ABC，即可得出∠ABM=∠CBE，∠AEB=∠BEC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（3）连接DE，DF，根据直角所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠AFB=90°，根据等腰直角三角形的性质可推得∠DAB=45°，根据相似三角形的对应边之比相等，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOE∽△BDE，根据相似三角形的对应角相等可得∠BED=∠AEO=90°，推得∠AFB=∠DEF，根据内错角相等，两直线平行可得AF∥DE，结合（2）中结论可得∠DFB=∠AEF，根据内错角相等，两直线平行可得AE∥FD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分即可证明.
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