江西省景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

景德镇市2023-2024学年高二下学期期末质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
2.设函数，则（ ）
A. B.2 C. D.1
3.在等差数列中，若，则其前7项和为（ ）
A.7 B.9 C.14 D.18
4.一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（ ）
A.元 B.元 C.元 D.元
5.下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（ ）
A. B.
C. D.
6.对于数列，若存在正整数，使得，则称是“谷值数列”，是数列的“谷值点”.现有数列，其通项，则该数列所有“谷值点”之和为（ ）
A.3 B.9 C.10 D.12
7.设，且，其中是自然常数，则（ ）
A. B.
C. D.
8.将函数的图像绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.1
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.数列的前项和，则（ ）
A. B.
C.数列有最小项 D.是等差数列
10.三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ）
A.有唯一的极值
B.
C.存在等差数列，使
D.过点可作曲线的两条切线
11.下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若是等比数列，，则
D.若，则数列单调递增
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.记为等比数列的前项和，若，则公比为__________.
13.已知函数的图像如下，则不等式的解集为__________.
14.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的用“作切线”来近似求函数零点的一种方法，已知函数，在图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，称为“牛顿数列”.现取，则可知与的大小关系是__________，其中__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）已知函数.
（1）求的极值点；
（2）判断方程在区间上的解的个数，并说明理由.
17.（本小题满分15分）设为数列的前项和，且.
（1）为何值时，是等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
18.（本小题满分17分）设函数，其中为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为.
（1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点；
（2）已知，记质点从原点0运动到的位置的方法种数为，概率为.
（i）求；
（ii）证明：是等比数列，并求.
景德镇市2023-2024学年下学期期末质量检测卷
高二数学参考
答案制作人：郭红兵（昌江一中）
一二 选择题：本大题共11小题，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A C D B B A A AD BCD ABD
【命题意图】
1.考查和正奇数的表示法.
2.考查导数的代数概念：，回归教材概念并会对简单的组合函数进行求导.
3.考查等差数列的性质，前项和公式.
4.考查数列在生活中的运用：复利.
5.考查函数的零点概念 简单的求零点方法：令和数形结合思想，熟练掌握指对数切线不等式，如等，最好还能对以上不等式进行拓展变形.
函数的零点问题，可参考使用以下方法：
①解方程，如
②画出的图像，如
③数形结合，如
④等价变形（分离参数），如
6.考查数列中的“极小值点”和数形结合思想，根据对勾函数的图像，将图像进行平移 翻折，利用图形得出“极小值点”所在位置.
7.考查对数的运算性质：，和构造函数思想，借运算性质的灵活性进行掩盖，需要学生进行两边对
比转化建立函数或者函数（将右边-1移到左边），再通过函数的单调性比较大小.
8.考查复合函数的求导 函数变化率的快慢（导数的大小变化，即函数的凹凸性）和函数的概念：与轴垂直的直线最多和函数图像有一个交点.已知函数递增，且递增趋势越来越快，所以当逆时针旋转时，右端点最易受限，得先考虑.又因为右端点的导数值为2，故切线斜率为2，根据互余的两个角的正切值互为倒数，故最大旋转角正切值为.本题属于典型的思维量大，计算量小.
9.考查等差数列通项公式 前项和的函数特征：，以及二次函数的最值.
10.考查经典三次函数的相关内容：切线，单调性，极值，最值，零点，对称中心，意在通过画图得出各选项答案.
11.考查数列的一些其他问题：周期数列，等比数列的定义，等比数列的前项和性质：成等比，根据前项和 积求通项（要分类和计算初始值，如）以及数列的增减性.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分.
12. 13.或 14.；（第一空2分，第二空3分）
【命题意图】
12.考查等比数列中对基本要素：首项和公比的计算.
13.考查函数和导数的关系：函数的增减决定导数的正负，导数的正负确定函数的增减，考查简单不等式的求解.
14.本题来源于人教版教材中的阅读材料：牛顿迭代法，考查题目理解能力和运算能力，考查函数的切线方程的求法，迭代思想（同理重复），数形结合思想：利用函数图像多次作切线直观判断大小.
其中的迭代方程为：，本题还可以题外拓展为以下问题：说一说你所掌握的近似求函数零点的其他方法.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.
15.（13分）解：
（1）
又
（2）原式
【命题意图】
考查等差数列的概念，等差中项和其通项公式，数列求和方法之裂项相消法.
16.（15分）解：
（1）
当时，；当时，
在递增，递减
的极大值点为1，无极小值点
（2）由（1）可知，在递增，递减
又
的值域为
【命题意图】
意在考查几大经典函数模型：，的图像画法，并据此也会对他们简单的变化进行分析，掌握根据导数求函数的单调性，并得出极值，再得到最值这样的解题顺序.
17.（15分）解：
（1）当时，
当时，
即
当时，是等比数列，首项为6，公比为3
（2）
故
【命题意图】
考查数列中已知和的关系式求的能力，考查简单的用待定系数法构造新数列的能力，和数列求和中的错位相消法（来源于等比数列前项和的推导），考查分类讨论和数据运算能力.这几个内容都是数列中的常考且重要的内容，需熟练掌握.
18.（17分）解：
（1），其中.
当时，
在上单调递减
当时，，且
在，在
（2）方法一：
令，则
取，则恒成立
，又
当时，；当时，
在，在
方法二：
令，则，下证时恒成立即.
设，则
当时，，故
当时，
Л，有
在
综上，，即恒成立
又
符合
【命题意图】
考查函数单调性的分类，不等式恒成立求参.本题蕴含了以下知识点：，含参问题的不同处理方法（直接构造，数形结合，分离参数），函数的增减性与导数的正负是直接发生关联的，故分析导数时可按以下顺序分析：
考查分类讨论，逻辑推理及数据运算能力.导数的最大作用，是其工具性功能，即它可以解决一些“超越函数”的单调性，从而辅助作图.现在的高考，可能也会慢慢调整导数题的定位，更注重其工具性.
19.（17分）解：
（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位
在，在
，此时
（2）（i）
法一：
法二：
（ii）由题意，
是等比数列，首项为，公比为
【命题意图】
根据2018年 2019年和2023年高考题改编而来，借马尔科夫链把概率 数列 导数综合在在一起.考查二项分布的概率模型，导数的应用之函数的最值，斐波那契数列，计数原理，数列的递推公式，数列的构造，数列通项求法中的累加法（来源于等差数列通项的推导），等比数列求和公式.考查数学抽象，逻辑推理，问题的转化能力，递推关系的获得能力，及数据运算能力.通过多问设问，引导学生快速准确获得其中的递归.老师们应多关注每年高考试题动态，能熟知各年份的各题型，做不到先知先觉，但可以做到后知后觉.