人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.1一元二次方程（二阶）
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
2．（2024八下·宁明期中）若方程（）中，a，b，c满足，，则此方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法确定
3．（2024九上·铜仁期末） 把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（ ）
A．， B．，1 C．， D．，1
4．（2024九上·威宁期末）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则＝（ ）
A．±1 B．1 C．0 D．－1
5．（2024·东莞模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程（1－k）x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1
6．若 是关于 的一元二次方程， 且 为非负整数，则 的值为（ ）
A．0 或 1 B．0 或 2
C．1 或 2 D．0 或 1 或 2
7．已知 为方程 的根， 那么 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
8．（2024八下·长兴期中）欧几里得的《原本》记载了形如的方程的图解法：画，使，，，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023九上·宁德开学考）若x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，则2023-6a+2b的值为 ．
10．（2024九上·龙岗期末）设、是方程的两根，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为 .
12．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的解是 则关于 x的一元二次方程 的解是 .
13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱的利润为 12元.为了扩大销售，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出 20 箱，如果要使每天销售饮料获利1 400元，那么每箱应降价多少元 设每箱应降价x 元，则可列方程为
.
阅卷人 三、解答题
得分
14．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
15．（2019八上·鸡东期末）已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋ ＝0，且ax2＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程（）中，a，b，c满足，
∴x2=1且x=1，
又∵满足，
∴x2=1且x=-1，
∴x1=1，x2=-1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得当， 有x2=1且x=1，当，有x2=1且x=-1，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化为一般式为，
二次项为 ，
一次项和常数项分别为 ，1.
故答案为：D.
【分析】将原方程转化为即可求解.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=0代入可得：k2-1=0，
解得：k=±1，
∵一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1，
∴k=-1，
故答案为：D.
【分析】先将x=0代入方程求出k的值，再利用一元二次方程的定义可得k-1≠0，求出k≠1，再求出k的值即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程的根
∴（1-k）+k2-1=0，解得k=0或1
∵是一元二次方程
∴1-k≠0，即k≠1
∴k=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的性质，将已知根代入方程，可得关于k的一元二次方程，解方程即可得关于k的一元二次方程；再根据一元二次方程的二次项系数不为0，进行验证即可求解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 是关于 的一元二次方程，由题意分三种情况讨论：
①当2a+b=2时，原方程为：（b-2）x2+3=0，
b-2≠0，则b≠2，
当b=0时，2a=2，则a=1，符合题意；
当b=1时，2a=1，则a=，与a、b为非负整数相矛盾，不符合题意；
∴b=0；
②当2a+b=1时，b=1，则a=0，符合题意；
∴b=1；
③当2a+b=0时，b=0，则a=0，符合题意；
∴b=0.
故答案为：A.
【分析】根据是关于x的一元二次方程，由题意分三种情况讨论：①当2a+b=2时，②当2a+b=1时，③当2a+b=0时，根据一元二次方程的定义并结合已知条件a、b为非负整数即可判断求解.
7．【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-3=0的根，
∴m2-2m-3=0，
∴m2=2m+3，
∴m-=
==2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，把x=m代入方程x2-2x-3=0并变形可得m2=2m+3，将所求代数式通分并整体代换计算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵，AC=b，，
∴
整理得AD2+aAD=b2，
∵AD2+aAD=b2与x2+ax=b2相同，且AD的长是正数，
∴AD是方程x2+ax=b2的一个正根.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，然后代入a、b整理可得AD2+aAD=b2，从而根据方程根的定义可得答案.
9．【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，
∴9a-3b=6即3a-b=2，
∴ 2023-6a+2b= 2023-2（3a-b）=2023-2×2=2019.
故答案为：2019.
【分析】将x=3代入方程，可求出3a-b的值，再将代数式转化为2023-2（3a-b），然后整体代入求值.
10．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵、是方程的两根 ，
∴， ，
∴，，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得， ，进而可得，，代入求值，即可求得.
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 常数项是0，
∴ a2-9=0，
∴ a=±3，
∵ 二次项系数a-3≠0，
∴ a≠3，
∴ a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据常数项可得a=±3，根据一元二次方程的定义可得a≠3，即可求得.
12．【答案】x =-5，x = - 2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程a(x-h)2+k=0的解是x1=-2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x +3=1，
解得x1=-5，x2=-2，
即关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解是x1=-5，x2=-2.
故答案为：x =-5，x = - 2.
【分析】把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，利用题意得到x+3=-2或x+3=1，然后解两个一次方程即可.
13．【答案】(12-x)(100+20x)=1400
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，
根据题意得：(12-x)(100+20x)=1400.
故答案为：(12-x)(100+20x)=1400.
【分析】设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，根据销售利润=每箱饮料利润×商场日销量，列出方程即可.
14．【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
15．【答案】解：依题意知(2－a)2≥0， ≥0， ≥0，
所以 解得
所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，
故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．
【知识点】一元二次方程的根；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质，列方程组，求出a、b、c的值，然后得到一元二次方程，整体代入求值即可.
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.1一元二次方程（二阶）
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
2．（2024八下·宁明期中）若方程（）中，a，b，c满足，，则此方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程（）中，a，b，c满足，
∴x2=1且x=1，
又∵满足，
∴x2=1且x=-1，
∴x1=1，x2=-1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得当， 有x2=1且x=1，当，有x2=1且x=-1，据此解答.
3．（2024九上·铜仁期末） 把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（ ）
A．， B．，1 C．， D．，1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化为一般式为，
二次项为 ，
一次项和常数项分别为 ，1.
故答案为：D.
【分析】将原方程转化为即可求解.
4．（2024九上·威宁期末）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则＝（ ）
A．±1 B．1 C．0 D．－1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=0代入可得：k2-1=0，
解得：k=±1，
∵一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1，
∴k=-1，
故答案为：D.
【分析】先将x=0代入方程求出k的值，再利用一元二次方程的定义可得k-1≠0，求出k≠1，再求出k的值即可.
5．（2024·东莞模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程（1－k）x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程的根
∴（1-k）+k2-1=0，解得k=0或1
∵是一元二次方程
∴1-k≠0，即k≠1
∴k=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的性质，将已知根代入方程，可得关于k的一元二次方程，解方程即可得关于k的一元二次方程；再根据一元二次方程的二次项系数不为0，进行验证即可求解.
6．若 是关于 的一元二次方程， 且 为非负整数，则 的值为（ ）
A．0 或 1 B．0 或 2
C．1 或 2 D．0 或 1 或 2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 是关于 的一元二次方程，由题意分三种情况讨论：
①当2a+b=2时，原方程为：（b-2）x2+3=0，
b-2≠0，则b≠2，
当b=0时，2a=2，则a=1，符合题意；
当b=1时，2a=1，则a=，与a、b为非负整数相矛盾，不符合题意；
∴b=0；
②当2a+b=1时，b=1，则a=0，符合题意；
∴b=1；
③当2a+b=0时，b=0，则a=0，符合题意；
∴b=0.
故答案为：A.
【分析】根据是关于x的一元二次方程，由题意分三种情况讨论：①当2a+b=2时，②当2a+b=1时，③当2a+b=0时，根据一元二次方程的定义并结合已知条件a、b为非负整数即可判断求解.
7．已知 为方程 的根， 那么 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-3=0的根，
∴m2-2m-3=0，
∴m2=2m+3，
∴m-=
==2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，把x=m代入方程x2-2x-3=0并变形可得m2=2m+3，将所求代数式通分并整体代换计算即可求解.
8．（2024八下·长兴期中）欧几里得的《原本》记载了形如的方程的图解法：画，使，，，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵，AC=b，，
∴
整理得AD2+aAD=b2，
∵AD2+aAD=b2与x2+ax=b2相同，且AD的长是正数，
∴AD是方程x2+ax=b2的一个正根.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，然后代入a、b整理可得AD2+aAD=b2，从而根据方程根的定义可得答案.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023九上·宁德开学考）若x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，则2023-6a+2b的值为 ．
【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，
∴9a-3b=6即3a-b=2，
∴ 2023-6a+2b= 2023-2（3a-b）=2023-2×2=2019.
故答案为：2019.
【分析】将x=3代入方程，可求出3a-b的值，再将代数式转化为2023-2（3a-b），然后整体代入求值.
10．（2024九上·龙岗期末）设、是方程的两根，则 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵、是方程的两根 ，
∴， ，
∴，，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得， ，进而可得，，代入求值，即可求得.
11．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 常数项是0，
∴ a2-9=0，
∴ a=±3，
∵ 二次项系数a-3≠0，
∴ a≠3，
∴ a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据常数项可得a=±3，根据一元二次方程的定义可得a≠3，即可求得.
12．若关于x的一元二次方程 （a≠0）的解是 则关于 x的一元二次方程 的解是 .
【答案】x =-5，x = - 2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程a(x-h)2+k=0的解是x1=-2，x2=1，
∴关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x +3=1，
解得x1=-5，x2=-2，
即关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0的解是x1=-5，x2=-2.
故答案为：x =-5，x = - 2.
【分析】把关于x的一元二次方程a(x-h+3)2+k=0看作关于x+3的一元二次方程，利用题意得到x+3=-2或x+3=1，然后解两个一次方程即可.
13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱的利润为 12元.为了扩大销售，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出 20 箱，如果要使每天销售饮料获利1 400元，那么每箱应降价多少元 设每箱应降价x 元，则可列方程为
.
【答案】(12-x)(100+20x)=1400
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，
根据题意得：(12-x)(100+20x)=1400.
故答案为：(12-x)(100+20x)=1400.
【分析】设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，根据销售利润=每箱饮料利润×商场日销量，列出方程即可.
阅卷人 三、解答题
得分
14．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
15．（2019八上·鸡东期末）已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋ ＝0，且ax2＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋1的值．
【答案】解：依题意知(2－a)2≥0， ≥0， ≥0，
所以 解得
所以ax2＋bc＋c＝0即为2x2＋4x－8＝0，可化为x2＋2x＝4，
故3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．
【知识点】一元二次方程的根；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质，列方程组，求出a、b、c的值，然后得到一元二次方程，整体代入求值即可.
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