人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.2解一元二次方程（二阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八下·平湖期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【知识点】配方法的应用
2．（2021九上·南宁月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
3．（2024九下·建邺模拟）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
4．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
5．（2024九下·旺苍模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．（2024八下·霍邱月考）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．（2024九下·金乡县模拟）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
8．（2020·高安模拟）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0 B．
C． D． ， 都是正数
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴
∴ ，故A错
∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
∴ ，故B，C不符合题意；
∵
∴ 同为正数，故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义及根与系数的关系逐一判断即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
10．（2024九下·聊城模拟）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
11．（2024九下·禅城模拟）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
12．（2020九上·铁锋期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【分析】利用因式分解法求出x2-16x+60=0的根为6或10，从而可得第三边长为6或10，分别解答即可.
13．（2024九下·内江模拟）已知实数，满足，，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
15．（2024八下·沈阳期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：（应用配方法）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式中，的值．
【答案】（1）
（2）当时，多项式有最大值，最大值是7
（3），
【知识点】因式分解﹣公式法；配方法的应用
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.2解一元二次方程（二阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八下·平湖期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
2．（2021九上·南宁月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
3．（2024九下·建邺模拟）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（2024九下·旺苍模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1 x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
6．（2024八下·霍邱月考）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．
7．（2024九下·金乡县模拟）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·高安模拟）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0 B．
C． D． ， 都是正数
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
10．（2024九下·聊城模拟）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ．
11．（2024九下·禅城模拟）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
12．（2020九上·铁锋期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
13．（2024九下·内江模拟）已知实数，满足，，则 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
15．（2024八下·沈阳期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：（应用配方法）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式中，的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法的应用
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】A
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴
∴ ，故A错
∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
∴ ，故B，C不符合题意；
∵
∴ 同为正数，故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义及根与系数的关系逐一判断即可.
9．【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
10．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
11．【答案】2，24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
12．【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【分析】利用因式分解法求出x2-16x+60=0的根为6或10，从而可得第三边长为6或10，分别解答即可.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
15．【答案】（1）
（2）当时，多项式有最大值，最大值是7
（3），
【知识点】因式分解﹣公式法；配方法的应用
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