人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.2解一元二次方程（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
2．（2024·沧州模拟）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，
b(a2+2a+1)=a2﹣a﹣1，
b(a+1)2=a2﹣a﹣1，
当a+1=0时，即a=-1时，
左边=0，右边a2﹣a﹣1=1+1-1=1，
左边≠右边，
a=-1（舍去），
当a+1≠0时，
，
，
故符合题意的选项为B.
故答案为：B.
【分析】先将等式a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1变形为b(a+1)2=a2﹣a﹣1，再分两种情况讨论，当a+1=0时，得出等号左边≠右边，应舍去；当a+1≠0时，得到，将其变形为，再根据非负性得到b≥ ，然后结合选项即可得到答案.
3．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
4．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
5．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
6．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
7．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
8．（2017·保定模拟）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】将9n 2+2010n+5=0变形得：5×（ ） 2+2010× +9=0，
又5m2+2010m+9=0，
∴m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，
则m = = ．
故答案为：C
【分析】将9n2+2010n+5=0这个式两边同时除以n2，变形后与第一个式子结合起来，得出m与 1n为方程5x2+2010x+9=0的两个根，再根据根与系数的关系得出答案即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．设关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，且则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
，
或，
解得，
，
，
，
，，
，
当时，则，不成立；
当时，则，
.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出关于a的不等式，解得，再通过韦达定理得到，，进而求得.
10．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
【答案】③④
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
11．（2023八上·黄浦期中）已知，且有及，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题可知y≠0，所以 ，两边同时除以y2可得：
∴x和，是方程 的两根，
∴
故答案为：10.
【分析】对边两个方程，发现系数有一定的联系，第二个方程两边同时除以y的平方，恰好发现y的倒数满足第一方程，也就是说第一个方程的两根是x和然后根据根与系数的关系可得两根积，也即x：y的值。
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．（2020九上·东台期末）若a≠b，且 则 的值为
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
【分析】由 ，得到 的两个根，由此根据根与系数的关系即可解答.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九上·乐山期末）阅读下列材料，解答问题：
材料：若为一元二次方程的两个实数根，则．
（1）已知实数满足，且，求的值．
解：根据题意，可将看作方程的两个实数根．
∴ ， ．
∴ ．
（2）已知实数满足，且，求的值．
（3）已知实数满足，求实数的最大整数值．
【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴
∵
∴是一元二次方程的不相等的两个实数根
整理方程得：，
∴
∴
（3）解：∵，
∴可得：，
即：
可得：，
即：
∴可以看作是一元二次方程的两个实数根
∴
化简得：，
解得：，
∴实数的最大整数值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴
故答案为：，，
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解；
（2）先根据可得，进而即可得到是一元二次方程的不相等的两个实数根，从而即可求解；
（3）由题意可得、，进而得到可以看作是一元二次方程的两个实数根，从而根据一元二次方根的判别式得到，再结合题意即可求解。
15．（2020九上·浙江期末）设a，b为实数，关于x的方程 无实数根，求代数式 的值.
【答案】解： ，
去分母：x(x-1)( )= ，
x2+(x-1)2=a+bx，
2x2-(b+2)x+1-a=0，
∵方程无实根，
∴①当△=b2-4ac=(b+2)2-8(1-a)=b2+4b-4+8a＜0，
∴8a+4b＜4-b2＜4
∴8a+4b+ =8a+4b-(8a+4b-5)=5.
②当△≥0，有x(x-1)=0，
∴x=0，x=1，
∴当x=0， 2×0-(b-2)×0+1-a=0，
解得a=1，
∴x=1， 2×1-(b+2)×1+1-a=0，
解得b=0，
∴
=8+3
=11.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；绝对值的非负性
【解析】【分析】把原分式方程去分母，合并同类项化为整式方程，因为分式方程无解，得到x=1或x=0， 据此求出a，b， 代入原式求值即可.
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.2解一元二次方程（三阶）
数学考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
2．（2024·沧州模拟）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
3．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
4．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
5．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
6．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
7．（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
8．（2017·保定模拟）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．设关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，且则实数a 的取值范围是 .
10．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
11．（2023八上·黄浦期中）已知，且有及，则的值为 ．
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
13．（2020九上·东台期末）若a≠b，且 则 的值为
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024九上·乐山期末）阅读下列材料，解答问题：
材料：若为一元二次方程的两个实数根，则．
（1）已知实数满足，且，求的值．
解：根据题意，可将看作方程的两个实数根．
∴ ， ．
∴ ．
（2）已知实数满足，且，求的值．
（3）已知实数满足，求实数的最大整数值．
15．（2020九上·浙江期末）设a，b为实数，关于x的方程 无实数根，求代数式 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，
b(a2+2a+1)=a2﹣a﹣1，
b(a+1)2=a2﹣a﹣1，
当a+1=0时，即a=-1时，
左边=0，右边a2﹣a﹣1=1+1-1=1，
左边≠右边，
a=-1（舍去），
当a+1≠0时，
，
，
故符合题意的选项为B.
故答案为：B.
【分析】先将等式a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1变形为b(a+1)2=a2﹣a﹣1，再分两种情况讨论，当a+1=0时，得出等号左边≠右边，应舍去；当a+1≠0时，得到，将其变形为，再根据非负性得到b≥ ，然后结合选项即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
7．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】将9n 2+2010n+5=0变形得：5×（ ） 2+2010× +9=0，
又5m2+2010m+9=0，
∴m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，
则m = = ．
故答案为：C
【分析】将9n2+2010n+5=0这个式两边同时除以n2，变形后与第一个式子结合起来，得出m与 1n为方程5x2+2010x+9=0的两个根，再根据根与系数的关系得出答案即可.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
，
或，
解得，
，
，
，
，，
，
当时，则，不成立；
当时，则，
.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出关于a的不等式，解得，再通过韦达定理得到，，进而求得.
10．【答案】③④
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
11．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题可知y≠0，所以 ，两边同时除以y2可得：
∴x和，是方程 的两根，
∴
故答案为：10.
【分析】对边两个方程，发现系数有一定的联系，第二个方程两边同时除以y的平方，恰好发现y的倒数满足第一方程，也就是说第一个方程的两根是x和然后根据根与系数的关系可得两根积，也即x：y的值。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
【分析】由 ，得到 的两个根，由此根据根与系数的关系即可解答.
14．【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴
∵
∴是一元二次方程的不相等的两个实数根
整理方程得：，
∴
∴
（3）解：∵，
∴可得：，
即：
可得：，
即：
∴可以看作是一元二次方程的两个实数根
∴
化简得：，
解得：，
∴实数的最大整数值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴
故答案为：，，
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解；
（2）先根据可得，进而即可得到是一元二次方程的不相等的两个实数根，从而即可求解；
（3）由题意可得、，进而得到可以看作是一元二次方程的两个实数根，从而根据一元二次方根的判别式得到，再结合题意即可求解。
15．【答案】解： ，
去分母：x(x-1)( )= ，
x2+(x-1)2=a+bx，
2x2-(b+2)x+1-a=0，
∵方程无实根，
∴①当△=b2-4ac=(b+2)2-8(1-a)=b2+4b-4+8a＜0，
∴8a+4b＜4-b2＜4
∴8a+4b+ =8a+4b-(8a+4b-5)=5.
②当△≥0，有x(x-1)=0，
∴x=0，x=1，
∴当x=0， 2×0-(b-2)×0+1-a=0，
解得a=1，
∴x=1， 2×1-(b+2)×1+1-a=0，
解得b=0，
∴
=8+3
=11.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；绝对值的非负性
【解析】【分析】把原分式方程去分母，合并同类项化为整式方程，因为分式方程无解，得到x=1或x=0， 据此求出a，b， 代入原式求值即可.
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