广东省南执高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（ ）
A. m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s
【详解】由，得，则，即质点A在s时的瞬时速度为6 m/s.故选：C.
2．某体育场的看台有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该看台第一排的座位数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【详解】若第一排座位数为，则，所以，可得.故选：A
3．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）．
A． B． C． D．
【详解】由题意知，则，，．所以．故A正确.故选：A.
4．已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C．若、独立，则 D．若、互斥，则
【详解】由，故选项A错误，选项B正确；
若、独立，则,，故C正确；
若、互斥，则，，D正确.故选：A
5.数列满足，，其前n项的积为，则（ ）
A．1 B．－6 C．2 D．3
【详解】由题意，，,,.,
因此数列是周期数列，且周期是4，而，所以．
故选：C．
6．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量(如下表所示).若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中
C．时，残差为0.02 D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量y与x正相关，故A正确；
对于B，由表中数据知，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，故B错误；
对于C，线性回归方程为，
所以，，故C正确；
对于D，当时该商场5G手机销量约为（千只），故D正确
故选B
7.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540 B．360 C．300 D．420
【详解】分两种情况讨论即可：
(i)②和④涂同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；
(ii)②和④涂不同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；
∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒
8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】由题意，存在实数，对任意，恒成立，即在上恒成立.设，则，故当时，，当时，，故在处取得最小值，故，所以的取值范围是，故选：B
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.已知函数，则（ ）
A．在处的切线为轴 B．是上的减函数
C．为的极值点 D．最小值为0
【详解】由题意知，故，
故在处的切线的斜率为，而，
故在处的切线方程为，即，
所以在处的切线为轴，A正确；
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，B错误；
由此可得为的极小值点，C正确；
由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，
最小值为，D正确，故选：
10.2024年5月南海区统考中，南执高级中学高二年级各班数学单科状元及分数如下表：
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班
姓名 邓声扬 曾文睿 陈永森 廖欣仪 郭庆琛 邓恒 邓志彬 伍志聪 黄锦国 邓俊壕
分数 113 104 103 104 81 89 86 99 81 96
班级 11班 12班 13班 14班 15班 16班 17班 18班 19班
姓名 尹铠 赵若冰 邹如玉 钟浩原 郑思凡 董景兆 梁美诗 罗煜琳 梁芷甄
分数 91 76 94 75 75 79 69 82 89
已知1-14班为文化班（其中1-9班为物理类，10-14班为历史类），15-19班为艺术班，且这19位状元分数的平均分约为88.74分，标准差约为12.12，假设他们的分数服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则，，
A．P（76.62＜X＜112.98）≈0.8186
B．现有2份不同的奖品，分给文化班和艺术班各1人，共有70种情况
C．宣传部想给这些同学拍照，要求100分以上的同学须站在一起，则有种情况
D．从中抽取2位同学发言，在都来自文化班的前提下，物理类和历史类各1人的概率为
【详解】对于A，由题意知，，所以，故A正确.
对于B，种，故B错误.
对于C，把100分以上的4人看成一个整体有种情况，再和另外的15人一起有种情况，故有种情况，故C错误.
对于D，两位同学都来自文化班有种情况， 而物理类和历史类各1人有，故概率为，故D正确，故答案为AD
11.已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C． D．
【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，①，②
①+②得：，即，
所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，
同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，故A，B正确；
所以
，故C错误；
又，∴，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 展开式中的常数项为______.
【详解】因为，
令，解得， 所以展开式中常数项为.
13. 已知函数的最小值为，则a的值为______．
【详解】函数的定义域为R，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的最小值为，
解得：.故答案为：-3.
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则；。
【详解】由题意，；
当时，
整理得，，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以
四、简答题（共5小题，共77分）
15. 公比不为1的正项等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，令，求的前n项和．
【详解】（1）设正项等比数列的公比为q（）.
因为，，成等差数列，所以，即.
因为，所以，解得：（舍去）.
又，所以，解得：（舍去）.
所以.
（2）由（1）可知，.
所以
①
①得：
②
②-①得：
所以
16.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB变为AB'，AB'交DC于点P，当凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽
【解析】（1）由题意，，．
因，故．
设，则．因△ADP≌△CB'P，故．
由，得．
（2）记凹多边形的面积为S，则
求导得，
当时，；当时，．
故函数S在上递增，在上递减．
所以当时，S取得最大值．
故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好．
17．疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在100名受访者中，60名接种灭活疫苗，剩余40名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性.
(1)求等高条形图中a的值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
抗体情况 灭活疫苗 核酸疫苗 总计
抗体为阳性
抗体为阴性
总计 100
(3)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断两种疫苗的预防效果存在差异
参考公式：，其中
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
【详解】（1）由题意，在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性，
故抗体阳性发生的概率为，
所以等高条形图中a的值为.
（2）由等高条形图知注射核酸疫苗的40人中，抗体阳性的为，
故可列联表如下：
抗体情况 灭活疫苗 核酸疫苗 总计
抗体为阳性
抗体为阴性
总计 60 40 100
（3），
所以没有证据认为两种疫苗的预防效果存在差异.
18.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数定义域为，.
当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；
当时，由得，由得.
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）解：由，即.
令，
因为，则，所以，函数在上单调递增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，
只需，
设，，在单调递增，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元，其中.
（i）求X的分布列：
（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，
则；
(2)（i）由已知X的取值可为1，2，3，4，5，6，7.
；
；
；
，
∴X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7
P
（ii）
的可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
∴.
∴小明同学能盈利.广东省南执高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（ ）
A. m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s
2．某体育场的看台有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该看台第一排的座位数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
3．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C．若、独立，则 D．若、互斥，则
5.数列满足，，其前n项的积为，则（ ）
A．1 B．－6 C．2 D．3
6．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量(如下表所示).若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．线性回归方程中
C．时，残差为0.02 D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
7.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540 B．360 C．300 D．420
8. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.已知函数，则（ ）
A．在处的切线为轴 B．是上的减函数
C．为的极值点 D．最小值为0
10.2024年5月南海区统考中，南执高级中学高二年级各班数学单科状元及分数如下表：
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班
姓名 邓声扬 曾文睿 陈永森 廖欣仪 郭庆琛 邓恒 邓志彬 伍志聪 黄锦国 邓俊壕
分数 113 104 103 104 81 89 86 99 81 96
班级 11班 12班 13班 14班 15班 16班 17班 18班 19班
姓名 尹铠 赵若冰 邹如玉 钟浩原 郑思凡 董景兆 梁美诗 罗煜琳 梁芷甄
分数 91 76 94 75 75 79 69 82 89
已知1-14班为文化班（其中1-9班为物理类，10-14班为历史类），15-19班为艺术班，且这19位状元分数的平均分约为88.74分，标准差约为12.12，假设他们的分数服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则，，
A．P（76.62＜X＜112.98）≈0.8186
B．现有2份不同的奖品，分给文化班和艺术班各1人，共有70种情况
C．宣传部想给这些同学拍照，要求100分以上的同学须站在一起，则有种情况
D．从中抽取2位同学发言，在都来自文化班的前提下，物理类和历史类各1人的概率为
11.已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列 C． D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 展开式中的常数项为______.
13. 已知函数的最小值为，则a的值为______．
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则；。
四、简答题（共5小题，共77分）
15. 公比不为1的正项等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式； （2）若，令，求的前n项和．
16.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB变为AB'，AB'交DC于点P，当凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽
17．疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在100名受访者中，60名接种灭活疫苗，剩余40名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性.
(1)求等高条形图中a的值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
(3)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断两种疫苗的预防效果存在差异
参考公式：，其中
18.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元，其中.
（i）求X的分布列：
（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
