滨州市北镇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．相关指数变大
C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
4．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的值域为，若，，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．20
6．已知，则下列描述正确的是（ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
7．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则满足不等式的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的定义域为，则函数的定义域为
C．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
D．函数的值域为
10．对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
13．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
14．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为 .
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
(1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16．某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
17．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．滨州市北镇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B
9．ABD 10．BD 11．AD
12． 0（答案不唯一） 1 13． 24 112 14．
15．(1)更适合 (2) (3)能
【详解】（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）由，得，依题意得，
，所以，即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.10.
16．(1)答案见解析 (2)60
【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的数学期望为，方差为；
方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则，
，，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为，
方差，
，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小，稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好.
（2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖，
其中中奖2次的人数，
恰有人中奖2次的概率为，，，
令，解得，
于是，当时，；
当时，，故当时，最大，
所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大.
17．(1) (2)增区间为，减区间为； (3)
【详解】（1）解：（1）由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）解：由题可知的定义域为，，
令，则，解得或，
因为所以，所以，令，即，解得：，
令，即，解得：或，又的定义域为，
所以，增区间为，减区间为．
（3）解：题设条件等价于在上的最大值小于在上的最大值．
因为，所以函数在区间的最大值为，
由（2）得函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是．
18．(1)(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理，
因为，则，，则，应该由甲参加第一阶段比赛.
19．【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
